ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 2, с. 217-224
УДК 66.067.011.57
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТЕПЕНИ КОНЦЕНТРАЦИОННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ В ПРОЦЕССАХ ПРОТОЧНОЙ МИКРОФИЛЬТРАЦИИ
ВЫСОКОВЯЗКИХ СРЕД
© 2007 г. С. П. Агашичев
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва
agashichev@yahoo. сот Поступила в редакцию 21.01.2005 г.
Представлена модель для расчета профиля концентрационной поляризации (КП) в процессах проточной микрофильтрации в плоскорамном модуле для случаев, когда коэффициент диффузии зависит от скорости деформации среды. С помощью полученной модели возможен анализ влияния гидродинамических условий, концентрации и геометрических характеристик на поведение степени концентрационной поляризации. Предлагаемое решение представляет собой субмодель, которая может быть использована при создании системной методологии расчета процессов ультра- и микрофильтрации. Предложены рассчитанные проекции концентрационного профиля.
В последние годы наблюдается активное развитие нового поколения мембранных процессов и расширение область их применения, что в свою очередь диктует необходимость разработки и создания новых подходов к моделированию, научно обоснованных и адекватных физическому поведению объекта. В частности, наблюдается все более широкое применение процесса проточной микрофильтрации для разделения реологически аномальных систем, когда кажущаяся вязкость и коэффициент диффузии зависят от скорости деформации среды. Данное явление влияет на характеристики процесса, что диктует необходимость его количественного моделирования и расчета.
СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ И ЦЕЛЬ ДАННОЙ РАБОТЫ
Баромембранные процессы сопровождаются явлением концентрационной поляризации, что является следствием несбалансированности транспорта между поверхностью мембраны и ядром. Это в свою очередь создает физические предпосылки для формирования слоя геля или осадка.
Большинство существующих методов расчета обратного потока базируются на броуновском механизме, предполагающем постоянство коэффициента диффузии, однако наряду с броуновской диффузией существуют случаи, когда имеет место зависимость коэффициента диффузии от скорости деформации. В работе [1] рассмотрены различные механизмы обратного транспорта от поверхности мембраны. Механизм обратного транспорта зависит от размера и типа частиц, а также от скорости деформации на поверхности мембраны. Согласно данным [2], броуновский ме-
ханизм обратного транспорта преобладает для частиц малого размера при низких скоростях деформации. однако при разделении ряда суспензий и коллоидных систем, особенно содержащих асимметричные частицы, имеет место зависимость коэффициента диффузии от скорости деформации, где частицы имеют тенденцию мигрировать в зону низких значений скорости деформации. В работе [3] указывается, что вклад данного механизм становится доминирующим для частиц в диапазоне от 0.5 до 30 мк. В работе [4] рассмотрено экспериментальное определение зависимости диффузии от скорости деформации. Согласно [5], зависимость диффузии от скорости деформации характерна для частиц, масса которых превышает 6000 Дальтон, что наблюдается для гумино-вых кислот и продуктов декомпозиции целлюлозы, которые являются основными загрязняющими факторами. Скорость деформации имеет важное значение для оценки динамики загрязнений поверхности мембраны, а также структуры образовавшегося осадка. Влияние скорости деформации на скорость загрянений и регенерации мембраны рассмотрены в работах [6-10].
Решения, полученные на основе классической пленочной модели [11-13], предполагающие существование броуновской диффузии, показывают сильно заниженные значения степени концентрационного профиля. Новая модель концентрационной поляризации для процессов проточной микрофильтрации представлена в [14, 15]. Предложенная модель базируется на классическом решении Левека, однако в отличие от традиционного подхода, в рамках предложенной модели учитывается зависимость коэффициента диффузии от скорости деформации. Вместо коэффициента
C1M - 1 Сконв (п)
—Сдиф (п)
С(П)
п п - 1 п - 0 C1
z - 0 z - H z
V(n)
V(n = 1) - Vmax V(n = 0) - 0
Рис. 1. Физические транспортные механизмы.
броуновской диффузии авторами предложено использовать диффузию усиленную сдвиговым напряжением. Численное значение коэффициента диффузии оценивались на основании экспериментальных данных, представленных в работе [16]. В более поздних работах происходит терминологи-ческия замена "shear enhanced" particle diffusivity на "shear-induced" particle diffusivity. В данной работе предпочтение отдается последней формулировке, а именно, коэффициент диффузии обусловленный сдвиговым напряжением. Для количественной оценки коэффициента диффузии в работе [16] предложено использовать выражение:
D(j) = 0.003r2y,
где r - радиус суспендированной частицы, у - скорость деформации.
В работе [15] показано, что подставив поверхностное значение скорости деформации у - y1M в данное выражение, получим удовлетворительное согласование с экспериментальными результатами, представленными в работе [16]. Учет влияния концентрации на кажущуюся вязкость и коэффициент диффузии (когда объемная доля диспергированной фазы составляет более 0.20) представлен в работе [17]. Дальнейшее развитие данного подхода в работах [18, 19]. Приводит пример расчета для частиц радиусом r - 10-6 м при скорости деформации у - 103с-1 что характерно
для условий проточной микрофильтрации предложен в [19]. Согласно этому расчету, коэффициент диффузии, зависящий от скорости деформации Ц( у), превышает коэффициент броуновской диффузии Цбр, в 250 раз. Соотношение оценивали следующим образом: Ц(у уЦбр = пу г3/кТ [19]. Полученные результаты подтверждают необходимость учета данного механизма при моделировании и расчете процесса проточной микрофильтрации особенно при высоких скоростях деформации.
Количественное моделирование концентрационной поляризации, когда коэффициент диффузии зависит от скорости деформации среды, представляет собой один из наименее исследованных аспектов мембранной технологии.
Традиционный подход к получению концентрационного профиля основан на преобразовании выражения, описывающего перенос в пленке, и предположение, что конвективный перенос к мембране Ус уравновешен обратным диффузионным потоком Б(ёс/ё£).
ас
Ус - Ц^ = 0, (1)
аг
где У - поперечный (трансмембранный) поток, Ц -коэффициент диффузии, с - локальная концентрация.
При традиционном преобразовании данного выражения предполагается постоянство коэффициента диффузии Ц, и поперечного потока У. Однако в ряде случаев данные предпосылки приводят к необоснованно упрощенной математической модели.
В отличие от традиционных подходов, в данной работе представлена попытка моделирования степени концентрационной поляризации для случаев переменного поперечного потока У(п), а также, когда коэффициент диффузии зависит от
скорости деформации среды Ц( у).
УПРОЩАЮЩИЕ ДОПУЩЕНИЯ И ИСХОДНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛИРОВКИ
Физические транспортные механизмы приведены на рис. 1. В работе рассмотрен плоский канал. Элементарный параллелепипед выбран в качестве контрольного объема. Пересечения плоскостей симметрии контрольного объема с плоскостью чертежа показаны на рисунке. В основе модели лежат следующие упрощающие допущения и предпосылки.
Рассмотрен ламинарный режим течения, поскольку при турбулентном течении сопротивление слоя концентрационного профиля не является лимитирующим; именно ламинарный режим предпо-
чтителен с точки зрения энергозатрат [12, 20]. Предполагается существование развитого слоя по длине фильтрующей поверхности;
расстояние между поверхностью мембраны и осью симметрии канала Н равно величинам динамического и концентрационного 5с слоев.
предполагается существование несжимаемого изотермического потока при установившихся условиях.
Для упрощения математических преобразований и описания переноса были использованы следующие вспомогательные переменные и профильные выражения.
Безразмерная переменная т, масштаб которой равен полувысоте канала Н. Начало координат данной переменной расположено на оси симметрии канала.
П = (Н - г) /Н,
(2)
¥(ц) = ¥„
п 2Ч Яе _ 3 . 7Ч
2(3-П )-280(2П-3П + П )
, (3)
где Яег - критерий Рейнолдса для поперечного потока Яе2 = НКтахр/|1.
Поперечная составляющая скорости изменяется от ¥(П = 0) = 0 на оси канала до своего максимального значения У(
(п
1) = ^тах на поверхности
У(Л) = -
х, П ) =
Нйп\
и
Н
-2\ + Яе0(18п - 42п5)
(4)
: 1)
Н
24— 420
на поверх-
У( п )
V
переменная п изменяется от пг = 0 на оси симметрии до п2=Н = 1, на поверхности мембраны, (рис. 1) Подобный подход представлен в работе [21]. Профиль поперечной скорости У(ц), математическая формулировка которой была предложена в работе [22].
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
х
Рис. 2. Профиль поперечной скорости при значениях Яег = 0 (кривая 1) и Яег = 25 (кривая 2).
ности мембраны при п = 1. Расчетные проекции при различных Яег приведены на рис. 3, расчетные данные - в табл 2, где у (п) получена на основе профиля скорости для рлоского канала [22] и равна - йШ/Нйп = [с-1].
Коэффициент диффузии, зависящий от скорости деформации среды. Зависимость, описывающая связь между коэффициентом диффузии В и
скоростью деформации у, была предложена [14].
мембраны. Расчетные проекций приведены на рис. 2, а расчетные данные - в табл. 1, основанные на решении [22].
Профиль скорости деформации У(ц), математическая формулировка которого базируется на профиле, в работе [22].
В (у) = К0у (п).
(5)
В результате подстановки профиля скорости деформации в (5) получена субмодель, описывающая поведение коэффициента диффузии В(п) в
Таблица 1. Профиль поперечной скорости У(п)/Утах при различных Rez
Профиль скорости деформации у (тт) получен в результате дифференцирования профиля скорости, предложенного в работе [22]). Скорость деформации изменяется от у п = 0 = 0 на оси канала (при п = 0) до своего максимального значения,
V ит
равного Утах(п
Re7
■1 0 5 10 15 20 25
0 0 0 0 0 0 0
0.2 0.296 0.28929 0.28257 0.27586 0.2691
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.