УДК 631.4:53
Моделирование водоудерживающей способности и дифференциальной влагоемкости почвы
Р, А. Полуэктов*, В. В. Терлеев*
Имеются два способа описания водоудерживающей способности почвы, т. е. зависимости между капиллярно-сорбционным потенциалам почвенной влаги и объемной влажностью почвы. Один из них состоит в аппроксимации набора экспериментальных данных подходящей аналитической зависимостью. Другой подход может быть основан на некоторой теоретической концепции, использующей гипотезу о структуре порового пространства почвы. В статье использован второй подход. Принято предположение о логарифмически нормальном законе распределения почвенных пор по размерам. Это позволило не только получить искомую зависимость, но и вывести формулу для дифференциальной влагоемкости почвы.
Введение -
Модели почвенных гидрофизических характеристик — водоудерживающей способности, дифференциальной влагоемкости и гидравлической проводимости — используются для решения широкого круга задач в области метеорологии, гидрологии и климатологии [2, 13]. В агрометеорологии эти характеристики применяются для расчета динамики влаги в системе почва — растение — атмосфера [4, 10]. Центральную роль при этом играет зависимость между объемной влажностью почвы и капиллярно-сорбционным потенциалом почвенной влаги, или основная гидрофизическая характеристика (ОГХ) почвы [3]. Известно значительное количество подобных зависимостей [4]. Однако все они, имея характер аппроксимаций, обладают существенным недостатком. Действительно, при моделировании динамики почвенной влаги с использованием уравнения Ричардса [24] требуется не только ОГХ, но и производная объемной влажности почвы по величине капиллярно-сорбционного потенциала почвенной влаги, т. е. дифференциальная влагоемкость почвы. Применение большинства известных аппроксимаций ОГХ для расчета значений дифференциальной влагоемкости почвы может привести к физически абсурдным результатам. В настоящей работе задачи построения моделей ОГХ и дифференциальной влагоемкости почвы решаются совместно.
Модель водоудерживающей способности почвы
За основу моделирования водоудерживающей способности почвы в работе приняты представления о системе цилиндрических капилляров круго-
* Агрофизический научно-исследовательский институт Российской академии сельскохозяйственных наук.
вого поперечного сечения, эквивалентной по своим капиллярным свойствам реальному пористому пространству почвы, а также о нормальном законе распределения логарифмов "эффективных" радиусов этих капилляров. Использование этих представлений оказалось весьма продуктивным при моделировании гидрофизических характеристик почвы как капиллярно-пористого тела [17—19, 21, 22].
Зная функцию распределения почвенных пору!», где х — их эффективный радиус, можно рассчитать значение объемной влажности почвы в, соответствующее заполнению всех пор, радиус которых не превышает некоторого заданного значения г:
дтт + (0„
) \Пх)(Ь,
гтЦх) = {ха^Ъх)'' ехр(-(1п х - 1п г0 )2По1)-, 1пг0 и о — параметры функции логнормального распределения; гтт — минимальный радиус пор, в которых действуют капиллярные силы; втт — значение влажности почвы, соответствующее заполнению пленочной влагой почвенных пор сд:< гтт; впах — значение влажности почвы, соответствующее насыщению водой всех почвенных пор. Предел функции Дх) при х —» 0 равен нулю. Поэтому при достаточно малых значениях гтш допустима замена нижнего предела интегрирования на ноль:
вта +
| ехр(-[1п х аы2л о
¿Х
1п г0 ] /2сг )
(1)
где Ав = в„
9тт. Преобразуем уравнение (1) к виду Ав
0=0»*,+
/ Г Г 1 У\
\-erf 1п о42
\ \ 1 г) Г ) /
(2)
2 \ 2
где ег]{£) = —= I е~у йу— функция Лапласа. Ограничившись двумя членами
4л о
разложения этой функции в ряд [5], аппроксимируем (для г < г0) представленную уравнением (2) зависимость в(г) следующим соотношением:
в * вты °Ав 1п г0
ехр
2а
- 1п
2
(3)
Для г > г0 при достаточно малых о выполняется приближенное равенство в » втй%. Влажности почвы 0тах соответствует величина капиллярно-сорб-ционного потенциала Ps^ Я(0М>). Эта величина теоретически равна нулю, но на практике она обычно принимает близкое к нулю отрицательное значение Ря > Ро, что объясняется наличием в почвенных порах защемленного воздуха. С учетом известной формулы, описывающей зависимость капил-лярно-сорбционного потенциала почвенной влаги Р от радиуса почвенных капилляров: Р = -сопв1/г, преобразуем соотношение (3) к виду
Полуэмпирическне модели водоудерживающей способности почвы
Да Модель Связь параметров | Источник
1 (0- в^У&В * ехр(-а, ln 2(Л'А|)) а, = Па', b¡ = Ps [1,7.11]
2 в = 6>ю,„+ Д0/(1 + ¿,'exp (a¡pF2)) a¡- щ / lg* е, [12]
b¡ = ехрЦ 1п3(-Ь,)),
pF = lg(-/>)
3 в = + + (pF/a;f) а2 = 3¡\ Ьг = b,' [9]
4 (8- еюяУ&0 » в, (-/>)-•> [15]
b} = a,b,
5 (в- втш)/А6 « aj(a4 + (-/>)*) a4 = oj, b, = bj [20]
6 в « as = a, é0t b$ - Ь% [16]
7 в * 0„Д1 + a6(-Pt) at, = a¡\b(,-bi [8]
V2¡T 1
оАв
-ехр
/ ,
2
Р
СР3
- 1п
V 2<? СР§ j
(4)
где С = Р0/Р.ч (С > 1); Р0 = -сопело — капиллярно-сорбционный потенциал почвенной влаги, соответствующий значению радиуса почвенных капилляров, вносящих наибольший вклад в капиллярно-сорбционную влагоем-кость почвы. Уравнение (4) описывает в общем виде ОГХ (для Р < Р0) на основе представлений о капиллярности в пористом пространстве почвы, а также о законе логнормального распределения почвенных пор по размерам. При использовании различных способов аппроксимации уравнения (4) получен [12] ряд полуэмпирических моделей водоудерживающей способности почвы, которые ранее были предложены разными авторами. Семь таких моделей представлены в таблице.
Модель дифференциальной влагоемкости почвы
Воспользуемся уравнением (1) и вычислим производную ¿в/с1х, затем, учитывая, что Р = -сош^д: и рр = ^(-Р), получим:
dO(pF) &в —1Z—L =--р=ехр
d{pF) o4bt
-^-(pF - pF0 f (5)
где о = о е, рРо = 1§(-Ро)- Из соотношения (5) следует, что при иссушении почвы (т. е. при возрастании рЩ производная сй}(рР)1с1(рР) должна быстро стремиться к нулю. Вместе с тем, если учитывать вклад молекулярных сил в удерживании пленочной влаги на поверхности почвенных частиц, то окажется, что это не совсем так. Очевидно, что в поле молекулярных сил характер зависимости в(рР) должен быть иным, чем в поле капиллярных сил. Зависимость между молекулярной составляющей капил-лярно-сорбционного потенциала почвенной влаги и толщиной пленки жидкой воды А, адсорбированной твердой фазой почвы, имеет вид
Р = -Лт1к\
где А„ — показатель, который зависит от физической природы взаимодействующих почвенных фаз [6]. Учитывая это и полагая, что объемная влажность почвы пропорциональна толщине водной пленки
в = рБк,
где р — плотность сложения почвы, 5 — удельная поверхность почвы, получим следующее соотношение:
~с1в1с11п(-Р) = /фв.
В частности, при влажности почвы в = втт производная -£Й?Мп(-Р) принимает значение втЫВ. Известно, что молекулярные силы прочно удерживают водную пленку на поверхности почвенных частиц, и вследствие этого требуются значительные затраты энергии для десорбции пленочной влаги с поверхности твердой фазы почвы. Поэтому в процессе иссушения почвы постепенное уменьшение толщины водной пленки обычно сопряжено с существенным понижением потенциала почвенной влаги. Таким образом, можно полагать, что в достаточно широком диапазоне значений рР > рР{втЫ) будет справедливым соотношение
-ёв{рР)ЩрР) * вт,Д318е).
Следовательно, в диапазоне значений рР, охватывающем действие и капиллярных, и молекулярных сил, можно ожидать выполнения приближенного равенства
Г 1 (РР - РР0)2 I, (6)
<1{рР) Ъ1ёе о42л Ч 252 Далее будем использовать соотношение (6) для расчета дифференциальной влагоемкости почвы по формуле
М = \ged6jpP) ёР Р ё(рр) '
Представленные в таблице модели водоудерживающей способности почвы могут заметно отличаться по точности аппроксимации экспериментальных данных. Это объясняется принятыми допущениями, которые были использованы в преобразованиях исходного уравнения (4). На рис. 1 приведены данные о водоудерживающей способности 275 почвенных образцов, усредненные для 19 разновидностей почвы по гранулометрическому составу [14]. Убедимся, что представления, принятые за основу моделирования водоудерживающей способности и дифференциальной влагоемкости почвы, согласуются с приведенными на рис. 1 опытными данными. Для этого сначала по экспериментальным точкам вычислим значения 96
Рис. I. Водоудерживающая способность 19 разновидностей почвы [14].
Рис. 2. Аппроксимация зависимости производной -<Л}(р/г)/г/(р/г) от величины рр уравнением(6) для четырех{},5,12п19, см. рис. 1)разновидностей почвы [14].
Пояснения приведены в тексте.
Объемная влажность почвы, %
Рис, 3. Сопоставление результатов моделирования водоудержиаающей способности четырех разновидностей почвы (/, 5,12 и 19 на рис. 1) с опытными данными [14].
Пояснения приведены в тексте.
производной -с1$(рР)!с1(рР), соответствующие заданным значениям величины рК Затем осуществим аппроксимацию полученных данных уравнением (6) по методу Левенберга — Марквардта [23]. В качестве примера на рис. 2 точками, соединенными пунктиром, представлена вычисленная таким образом зависимость производной -с16(рР)1с1{рР) от величины рр для четырех разновидностей почвы (/, 5, 12 и 19 на рис. 1), а сплошной кривой приведены результаты аппроксимации этой зависимости уравнением (6). Очевидно, что приведенные на рис. 2 результаты практически исключают сомнения в корректности представлений, принятых за основу моделирования дифференциальной влагоемкости почвы. Необходимо отметить, что этот вывод справедлив по отношению к разновидностям почвы, достаточно существенно различающимся по гранулометрическому составу.
Далее аппроксимируем приведенные на рис. 1 экспериментальные данные рР(в) представленными в таблице уравнениями и сравним для соответствующих моделей значения коэффициента (индекса) детерминации, характеризующего соответствие результатов вычислительного и натурного экспериментов. Из этого сравнения следует, что наиболее высокую точность описания водоу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.