ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 10, с. 875-882
= ТОКАМАКИ =
УДК 533.9.01
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКЕ С УЧЕТОМ СКИН-ЭФФЕКТА В РЕЗИСТИВНОЙ СТЕНКЕ
© 2013 г. В. Д. Пустовитов, В. В. Яновский
Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия
e-mail:pustovit@nfi.kiae.ru Поступила в редакцию 15.08.2012 г.
Окончательный вариант получен 06.12.2012 г.
Анализируется влияние вращения винтовых мод, взаимодействующих с резистивной стенкой вакуумной камеры (Resistive Wall Mode — RWM) в токамаках, на их устойчивость. Недавно развитая аналитическая теория [Pustovitov V. D. Phys. Plasmas. 2012. V. 19. 062503] предсказывает, что в случае, когда толщина скин-слоя s становится значительно меньше толщины стенки dw, резистивная диссипация в стенке в сочетании с вращением моды стабилизируют моду вплоть до полного подавления неустойчивости. Здесь этот эффект изучается без ограничения на величину s/dw, уточняется область применимости прежних аналитических предсказаний и точность асимптотических выражений, связывающих инкремент и частоту вращения RWM. Дисперсионное соотношение для вращающихся мод выводится в одномодовом цилиндрическом приближении, а затем решается численно. Показано, что вращательная стабилизация плазмы, подобная предсказанной ранее, возможна и при s/dw порядка единицы при частоте вращения моды выше критической. Рассчитаны зависимости инкремента моды от ее частоты для разных состояний плазмы. Показано, что при заданном состоянии плазмы с линейным откликом на внешнее возмущение инкремент моды максимален при запирании (потере вращения) мод. Найдена связь минимальной частоты вращения моды, при которой достигается граница устойчивости, с инкрементом моды при ее полном запирании. Рассмотрение доказывает сильное влияние диссипации в стенке на динамику вращающихся и запертых RWM и подтверждает необходимость учета скин-эффекта при ее описании. Полученные оценки позволяют сравнить эти предсказания с экспериментальными результатами.
DOI: 10.7868/S0367292113100107
1. ВВЕДЕНИЕ
В теории магнитогидродинамической (МГД) устойчивости плазмы стабилизация стенкой вакуумной камеры известна как эффект идеальной стенки [1—6]. Такую стабилизацию наблюдали в экспериментах на токамаках [1, 6—12], но она ограничена временем резистивного затухания токов, индуцированных в стенке. Это было установлено в экспериментах по изучению пределов устойчивости плазмы, которые привели к обнаружению так называемых Resistive Wall Modes (RWMs) — медленно растущих винтовых мод, динамика которых определяется проникновением магнитного возмущения через резистивную стенку [1, 2, 6—12]. Предел устойчивости таких мод
Pno-w и "Я
заметно ниже, чем с идеальной стенкой
-w [1, 2, 6—15]. Здесь и далее р — отношение давления плазмы к магнитному.
В экспериментах также был обнаружен эффект вращательной стабилизации RWM [1, 2, 6—13]. Он проявляется в том, что вращение плазмы может стабилизировать RWM в области, где эти моды без вращения неустойчивы. По этому поводу иногда говорят, что при быстром вращении моды
стенка действует как идеальный проводник [15— 19]. На самом же деле картина более сложна [20, 21]: в асимптотическом пределе результат достигается действительно, как если бы стенка была идеальной, но для этого требуется определенный уровень резистивных потерь. Возможно, именно этим объясняется тот факт, что в экспериментах с длиной импульса, много большей резистивного времени стенки, вплотную приблизиться к границе устойчивости с идеальной стенкой не удается даже при быстром вращении плазмы, хотя заметное превышение предела устойчивости ИЖМ надежно достигается [1, 2, 6—13]. Например, на
величину 0.5ф^-рио-и') или даже выше. Более подробно и с большим количеством ссылок эти проблемы обсуждались в [20, 21].
В работах [20, 21] показано, что для "быстрых" ИЖМ, когда толщина скин-слоя s становится меньше толщины стенки , вращение моды существенно усиливает ее затухание, ослабляя и даже подавляя неустойчивость. Согласно [20, 21], для возмущений, зависящих от времени t как ехр(у0, где
У = У л + 'У I (1)
с действительными у Л и у 1, а I — мнимая единица, этот эффект описывается равенством
(2)
ИЛ 2, 2\ У Л = У Л (1 -ю /Юг )•
Здесь у Л — инкремент, а ю — частота вращения мои
ды, у Л — инкремент той же самой моды, но при ю = 0, юсг — минимальная (критическая) частота вращения моды, необходимая для ее стабилизации. Величины у^ и юсг определяются параметрами плазмы.
Уравнение (2) показывает, что замедление вращения моды, устойчивой при ю > юсг, приводит к ее дестабилизации при пересечении порога ю = юсг с инкрементом, который растет с уменьшением ю и максимален при ю = 0. И, наоборот, неустойчивая мода может стать устойчивой, если ее заставить вращаться быстрее, доведя частоту вращения до ю > юсг.
Тем самым формула (2), полученная из решения внешней задачи [20, 21], качественно воспроизводит два важных эффекта, наблюдаемых в то-камаках [1, 2, 6, 15]. Во-первых, (2) предсказывает, что наиболее опасными должны быть невращающиеся, или, по общепринятой терминологии [1, 2, 6, 13, 19, 22—29], запертые моды. Во-вторых, переход уЛ в отрицательную область при ю > юсг означает вращательную стабилизацию плазмы, подобную обнаруженной в 1994 г. на токамаке БШ-Э [7] и затем убедительно подтвержденной в целом ряде экспериментов [1, 2, 6—13].
Надежной теории, объясняющей природу этих явлений и позволяющей количественно описать эти эффекты, до сих пор нет, хотя ее острая необходимость (хотя бы для экстраполяции известных результатов на масштабы токамака ИТЭР) обще-признана [1, 2, 6]. Любая удачная попытка требует поэтому дальнейшего развития, чтобы скорее перевести предсказания в область, где возможна их экспериментальная проверка либо численное моделирование с большей точностью расчетов и более детальным описанием системы.
В [20] результат (2) был получен в плоской модели, а в [21] подтвержден другим методом с меньшими ограничениями, где оценки в цилиндрическом приближении делались лишь на последнем этапе вычислений. Общим в [20, 21] было использование разложений по малому параметру 5при выводе дисперсионных соотношений. В настоящей работе связь уЛ с ю, на которую указывает (2), изучается без ограничения 5 <§ . Модель основана на цилиндрическом приближении, которое упрощает проблему, допуская разделение мод. Здесь применен такой же подход, что и в [30] для мод без вращения, но теперь рассматриваются вращающиеся моды. Иными словами, инкремент у считается комплекс-
ным, как в (1), а в [30] все расчеты делались для мод с у 1 = 0. Наличие существенной нелинейности в дисперсионном соотношении в сочетании с (1) при у 1 Ф 0 дает принципиально новые результаты по сравнению с его следствиями для мод без вращения [30].
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, МОДЕЛЬ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Анализ производится в рамках цилиндрической модели, описанной в [30] и предшествующих работах. Единственным, но нетривиальным отличием от подхода [30] является допущение у 1 Ф 0 в (1), что позволяет учесть вращение мод. Возмущения задаются в виде
/(г, V = Яе/^) ехр(т0 - 1п^)ву'}, (3)
где г, 0 и г = Щ — цилиндрические координаты, связанные с осью симметрии, ^ — аналог тороидального угла (2п Л = Ь — полная длина системы вдоль оси г или длина эквивалентного тора), а т и п — соответственно полоидальное и тороидальное волновые числа. Угловая частота тороидального вращения таких мод равна, очевидно,
ю = уI/п. (4)
Представление (3) с комплексными /тп упрощает описание при наличии фазового сдвига, вносимого плазмой при ее отклике на внешнее возмущение. Если нормальную компоненту магнитного возмущения Ь на внутренней стороне стенки задать в виде
Ь • п„ = Яе{Вт ехр(™0 - 1пС)еу'}, (5)
где п № — единичная внешняя нормаль к , мерой такого оклика является
Г т = -2т
вт
Вт
(6)
пии1 Г»
где Вт — часть Вт, создаваемая внешними токами (в нашем случае — токамаки в стенке). В [30] эта величина была действительной, а здесь мы считаем Г т комплексной. Если плазма реагирует на внешнее возмущение как линейная система, а скорость ее движения при этом невелика, так что кинетической энергией можно пренебречь, Гт не зависит от у. Это свойство оказывается полезным при анализе общего дисперсионного соотношения. Различные представления Г т и связь Гт с параметрами плазмы описаны, например, в [6, 13, 31—35], в том числе и для нелинейных моделей [33, 34].
Все выкладки, проведенные в [30] при выводе дисперсионного соотношения, сохраняют силу и при 1т Гт Ф 0 и у 1 Ф 0. Поэтому, не повторяя их,
сразу воспользуемся здесь основным аналитическим результатом [30]
- КМ - )1М - 1(Уе ) - 1М - 1(У )КМ - 1(Уе )
_ I ^М - 1У Ц±М - 1У е) ± М - 1У УМ - 1У е/ (7) КМ)1М - 1(Уе) + 1М(У )КМ - 1(Уе )
что эквивалентно уравнению (32) в [30]. Здесь М = т, I и К — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода, у 1 и уе — значения у, определенного формулой
У
= Тт
¡к
(8)
на внутренней (г = гУ) и внешней (г = гУ + ) сторонах стенки,
т¡к = И0стй12 , а — проводимость стенки, а
ёт
— р — Г т
(9)
(10)
мировать функцией е(I = г - гУ — расстояние от внутренней стороны) [21]. Соответственно, толщину скин-слоя s, о которой шла речь выше, следует определять равенством
1 = Ке1 = К^л/Йс^У-
£ 5
(14)
Параметр Гт использовался в моделях для "медленных" Я^М. Для "быстрых" мод, когда скин-эффект становится существенным, более удобной шкалой является ёт [30].
Далее уравнение (7) с комплексным у решается численно посредством стандартных функций пакета МАТЛАБ с использованием операций двойной точности с плавающей запятой. Всюду считается гУ = 50, что примерно соответствует параметрам токамака БШ-Б. В области £ <§ , где аналитическая теория [20, 21] дает связь уя с ю в виде (2), решение сравнивается с этим предсказанием. Результаты [30] позволяют надеяться, что точность существенно более простого, чем (7), равенства (2) окажется довольно высокой, но это еще предстоит доказать. Другой важной задачей является анализ (7) в области промежуточных и малых £ / , где вопрос о возможной зависимости уя от ю пока ос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.