ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 6, с. 687-695
УДК 594.1:622.765
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВСПЛЫТИЯ ПУЗЫРЬКА В ЖИДКОСТИ С УЧЕТОМ МИНЕРАЛИЗАЦИИ ЕГО ПОВЕРХНОСТИ © 2011 г. Т. Р. Аманбаев, С. Д. Энтони*
Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауэзова, г. Шымкент *Институт науки о частицах и техники, Университет Лидса, г. Лидс, Великобритания
tulegen_amanbaev@mail.ru Поступила в редакцию 15.11.2010 г.; после доработки 09.03.2011 г.
Построена математическая модель процесса всплытия пузырька в жидкости с учетом степени минерализации (заполнения) его поверхности частицами. Приведены сравнения результатов расчета скорости всплытия пузырька с эмпирическими формулами. Исследован вопрос о жесткости дифференциального уравнения движения пузырька. Изучено влияние изменения размера пузырька в процессе всплытия на скорость и время всплытия пузырька. Проанализированы результаты численных экспериментов.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время метод флотации широко используется для разделения суспензий в различных отраслях химической технологии (очистка сточных вод, обогащение руд и т.п.). Для разделения смесей методом флотации недостаточно одного факта закрепления гидрофобных частиц на пузырьках воздуха, т.е. образования флотационного комплекса. Полученный агрегат должен в определенных условиях всплывать к поверхности, испытывая при этом воздействие гидродинамических потоков в камере машины, столкновения и захват движущихся навстречу других частиц и т.п. Поэтому всплывание флотационных комплексов пузырек—частицы является одним из важных этапов процесса флотации.
Изучению процессов разделения смесей методом флотации посвящено большое количество работ [1—7]. При изучении всплытия флотационного комплекса обычно принимают фиксированную долю заполнения поверхности пузырька и рассматривают уравнение движения флотокомплекса с постоянной массой. В такой постановке в [5] построена математическая модель движения флотокомплекса при вибрационной флотации. Однако на практике возможны ситуации, когда поверхность пузырька полностью покрывается частицами [8]. При этом закрепившиеся на пузырьках минеральные частицы резко повышают плотность образовавшихся флотационных комплексов, что существенно сказывается на параметрах движения пузырька. Также не учитывают изменение размера пузырька в зависимости от высоты его подъема (из-за изменения гидростатического давления жидкости).
Данная работа посвящена исследованию влияния процесса минерализации поверхности пузырька частицами на параметры флотокомплекса. Отдельно изучен вопрос о влиянии изменения размера
пузырька по мере всплытия на его параметры, так как изменение диаметра пузырька в зависимости от высоты подъема может заметно влиять на скорость всплытия пузырька и соответственно на интенсивность процесса флотации.
Рассмотрим движение одиночного пузырька в жидкости в условиях минерализации (заполнения частицами) его поверхности. При этом будем считать, что пузырек и частицы имеют сферическую форму, их массы постоянны, а жидкость покоится. Далее нижними индексами I, Ь и р отмечены параметры соответственно жидкости, пузырька и частиц суспензии. Параметры флотокомплекса обозначены без индекса.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Запишем систему уравнений движения флотокомплекса для одномерного случая (ось х направим против вектора ускорения силы тяжести):
йт ■ йх йы т т т ■! \/1\
— = 7, — = ы, т— = /г + / + /А + у (ырс - и), (1)
dt dt dt г ' А У рс ' где
/г = и + /т + /в, Л = -mg, /а = Vp°g,
/ = -1 2р°ы \ /т = -1V р°
йы , 3 йй --1---ы
_ dt й М _
¡в
йы
dtl^[F—Tl'
т
= ть + тр,
V = П + Vp, Vь Vp = ^ пр,
6
о
Пр =
т - ть „ 3л/ -Г^, Р = 2^ПР; ИI•
тр
В качестве характерного размера флотокомплек-са можно взять его эффективный по объему диаметр d = (6 У/п)1/3 . Частицы суспензии оседают с постоянной седиментационной скоростью
ир =
1 8 (р° -Р°) (
• 18 VI которую следует брать в качестве характерной скорости попадания частиц на поверхность пузырька
Vрс = -ир•
Когда поверхность пузырька полностью заторможена поверхностно-активными веществами, по-видимому, следует использовать коэффициент сопротивления для твердой сферы [9, 10].
В случае, когда пузырек всплывает в стоксовом режиме (числа Рейнольдса Яе < 1, Сц = 24/Яе) для его стационарной скорости имеем
иь = Щ =
1 8(р° -Рь) 4
(2)
и,
(Ь
1/2
К = 0.28
(1 + 0.092
1/2 )2
+ 1
(1
0.0921у1/2)1/2 -1
(3)
4
¥ = 3 8(з
г 2
ной задачи. Согласно [11, 12], при достаточно больших значениях числа Рейнольдса силой Бассэ всегда можно пренебречь по сравнению с другими составляющими силы /г. В общем случае силой Бассэ, строго говоря, нельзя пренебречь. Однако как показывают опыты [4], пузырек достаточно быстро приобретает стационарную скорость, так что учет наследственной силы Бассэ (зависящей от ускорения пузырька) на процесс флотации частиц особо не влияет. Кроме того, расчеты без учета силы Бассэ хорошо согласуются с экспериментальными данными. Эти обстоятельства позволяют пренебречь нестационарной силой Бассэ, и тем самым существенно упрощают интегрирование системы уравнений (1).
Исследуем вопрос о жесткости уравнения движения пузырька. Для этого рассмотрим упрощенный случай, когда сила Бассэ не учитывается, а пузырек постоянного диаметра всплывает в жидкости в сток-совом режиме без захвата частиц. Тогда уравнение движения пузырька примет простой вид
т — = 1 - и, и =
(г
г =
и;
т Н
Б -
т Н
18 ^
В частности, стоксовый режим реализуется для пузырьков воздуха диаметром db < 100 мкм, всплывающих в воде при нормальных условиях.
Если значения числа Рейнольдса пузырька не являются малыми (Яе > 1), так что закон Стокса не применим, то для вычисления установившейся скорости всплытия пузырька можно использовать эмпирическую формулу, предложенную в [7]:
5
т„ =
(4)
18ц,
18^,
5 Н
т Н =
и
5 '
Формулы (2) и (3) будут в дальнейшем использованы для анализа и проверки численных результатов. Необходимо подчеркнуть, что диаметр пузырька в процессе всплытия меняется (например, из-за изменения давления в жидкости). При этом его скорость также будет переменной. Поэтому вышеприведенные формулы для установившейся скорости следует рассматривать как некое характерное значение скорости всплытия пузырька. Влияние изменения размера пузырька в процессе всплытия на характер его движения изучено ниже.
Учет нестационарной составляющей силы взаимодействия пузырька с жидкостью типа силы Бассэ приводит уравнение движения пузырька к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению и тем самым сильно усложняет решение поставлен-
Вырожденное уравнение, соответствующее (4), И = 1 - и = 0 имеет единственное решение и = 1. Величина дИ/ди отрицательна, что является достаточным [13] для устойчивости решения и = 1.
Оценки показывают, что коэффициент Т при производной в (4) достаточно мал. Например, для пузырьков диаметром db = 100 мкм, всплывающих в
слое воды высотой Н = 1 м, коэффициент Т ~10-5. Это означает, что уравнение (4) относится к типу так называемых сингулярно возмущенных (или жестких) уравнений [13]. Опираясь на общую теорию сингулярно возмущенных уравнений, остановимся на некоторых особенностях поведения решения уравнения (4). В случае не очень тонкого слоя жидкости, когда общее время всплытия пузырька не очень мало, в рассматриваемой области изменения времени г выделяются два отрезка с существенно различным поведением решения уравнения (4), причем продолжительность первого значительно меньше второго. На первом отрезке скорость пузырька быстро стремится к стационарной скорости и = 1, а на втором отрезке она меняется значительно медленнее. При этом чем меньше величина Т, тем быстрее осуществляется сближение интегральной кривой уравнения (4) и решения и = 1. Различный характер поведения решения на обоих участках проявляется тем отчетливее, чем меньше параметр Т. Заметим, что продолжительность первого отрезка будет порядка Т. Из уравнения (4) также следует, что
5
ускорение пузырька в начальный момент времени равно 1/т.
Аналитическое решение уравнения (4) при начальном условии t = 0, ы = 0 имеет вид ы = 1 - ехр(-Т/т). Для координаты пузырька имеем следующую зависимость: х = t + т [ехр (^ / т) - 1]. Учитывая малость параметра Т, получим, что полное время всплытия пузырька на поверхность жид_ _ ^
кости (когда х =1) tH = 1 или tH = тн. Полученные решения можно использовать для проверки алгоритма численного интегрирования уравнений движения пузырька. Следует подчеркнуть, что при изучении процесса всплытия пузырька в общей постановке с учетом минерализации его поверхности частицами свойство жесткости уравнения движения пузырька сохраняется. Для численного интегрирования таких уравнений необходимо привлечь особые алгоритмы [13].
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ДИАМЕТРА ПУЗЫРЬКА
Будем полагать, что масса и температура пузырька постоянны, а давление внутри пузырька в каждый момент времени уравновешивается гидростатическим давлением в жидкости и лапласовским давлением, обусловленным эффектом поверхностного натяжения. Тогда для диаметра пузырька получим следующую формулу:
/ » л3
йь
Ро +
4а
Р (х) +
4а
\-1
Р (х) = Ре + РЬ (Н - X), Ро = Р (0) = ре + p°gH.
Отсюда нетрудно получить зависимость диаметра пузырька от его координаты:
40
= О -1 у, 3
где Б — действительный корень кубического уравнения
г3 + Ьг + с = 0,
, 1 2 2 3 (Р0 , ^ 4а
3 27 ^ Р ) Рйь0
Р = Р (х).
Если пузырек не очень маленький, так что лапла-совским давлением, обусловленным эффектом по-
верхностного натяжения, можно пренебречь, то для диаметра пузырька имеем
= ^ =
й,
Ь0
Р0
Р(х).
Р - х
^3
, Р = Ре+ 1
Ре =
Ре
(5)
Р1 gH
х = х. н
Максимальное значение безразмерного диаметра пузырька йь достигается при х=1 и равно
йьн =
Р - 1
1/3
, л1/3
Ре + 1'
Величина йьн не зависит от начального размера пузырька. Например, для слоя воды высотой Н = 2 м, находящемся при нормальном атмосферном давлении, величина йьн = 1.06.
Для изучения влияния изменения диаметра пузырька на скорость его всплытия рассмотрим систему уравнений движения пузырька в рамках допущений, принятых для уравн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.