РАСПЛАВЫ
6 • 2004
УДК 538.931
© 2004 г. В. С. Саввин, А. К. Азави, Н. Д. Ватолина, А. А. Повзнер
МОДЕЛИРОВАНИЯ КОНТАКТНОГО ПЛАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ КЛЕТОЧНОГО АВТОМАТА
С помощью клеточного автомата построена модель контактного плавления в нестационарно-диффузионном режиме. Модель адекватно отражает закономерности диффузионного роста промежуточной фазы. Полученное модельное распределение компонентов в жидкой прослойке, на примере системы Оа-1п, соответствует реальному эксперименту. Применение модели позволяет получить информацию о механизме начальной стадии контактного плавления.
Компьютерные технологии позволяют моделировать физические процессы, минуя этап формализации в виде составления систем дифференциальных уравнений. Преимуществами компьютерного моделирования являются наглядность, возможность глубокой детализации, высокая степень вариативности моделей. Методика клеточных автоматов [1] применяется, в частности, для исследования процессов, в которых решающую или существенную роль играет диффузия [2]. Идеология клеточных автоматов адекватна принципу локального равновесия линейной термодинамики необратимых процессов. В настоящей работе с помощью клеточного автомата рассматривается процесс контактного плавления в нестационарно-диффузионном изотермическом режиме в простой эвтектической системе.
ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
Моделирование с помощью клеточного автомата начинается с установления пространства в виде множества ячеек. Каждая ячейка обладает набором характеристик. Изменение значений характеристик ячейки происходит по заданным правилам в зависимости от значений соответствующих характеристик соседних ячеек.
Пусть двухкомпонентная система А-В характеризуется диаграммой состояния простого эвтектического типа, схема которой приведена на рис. 1. На этой диаграмме составы сплавов выражены молярной долей с компонента А; ТтА и ТтВ - температуры плавления компонентов А и В, Те и се - координаты эвтектической точки; с81, с82, си, сЬ2 -солидусные и ликвидусные концентрации, соответствующие температуре Т. Если при температуре Т привести в контакт образцы компонентов А и В, то в месте контакта возникнет жидкость. При отсутствии конвективного перемешивания жидкости перенос вещества в ней осуществляется в результате диффузии. По мере поступления компонентов к межфазным границам продолжается рост жидкой прослойки за счет дальнейшего плавления твердых образцов. Если твердые образцы А и В неподвижны относительно друг друга, то осуществляется нестационарно-диффузионный режим контактного плавления.
Так как в лабораторной практике при проведении опытов по контактному плавлению в нестационарно-диффузионном режиме для предотвращения конвективного перемешивания образцы располагают вдоль линии напряженности гравитационного поля, то рассматривается одномерная модель - цепь ячеек клеточного автомата. Каждая ячейка характеризуется молярной долей компонента А - с; и долей жидкости в данной ячейке -/¡, где I - номер ячейки. Первоначально, когда оба контактируемых образца
1 Си Се СЬ2
С82 0
Рис. 1. Схематическое изображение диаграммы состояния простой эвтектической двухкомпонентной системы.
являются твердыми, значение параметра ^ каждой ячейки равно нулю. Если рассматривается плавление между чистыми компонентами А и В, то первоначально половине ячеек, представляющих образец А, присваивается значение с, = 1, а другой половине ячеек, представляющих образец В - значение с, = 0.
С ориентировкой на некоторую реальную систему задаются значения ликвидус-ных и солидусных концентраций, соответствующих определенной температуре. Если в процессе счета ячейка по концентрации попадает в области а или в диаграммы состояния (рис. 1), то она является твердой и ей приписывается значение £ = 0. Если концентрация попадает в область Ь диаграммы состояния, то ячейка жидкая и Л = 1. В промежуточных случаях, когда концентрация ячейки попадает в область (а + Ь) или (Ь + в) диаграммы состояния, фазовый состав ячейки подсчитывается по правилу рычага: Л = = (с8 - с,)/(с8 - сь). Очевидно, что в ячейке со смешанным фазовым составом концентрации твердой и жидкой фаз соответствуют солидусу и ликвидусу при заданной температуре, твердая часть ячейки примыкает к твердой части образца, жидкая - к жидкой прослойке.
В процессе очередного хода вся цепочка ячеек разбивается на пары. Ячейка с номером I поочередно составляет пару с ячейками, имеющими номера (I - 1) и (I + 1). Между ячейками пары происходит обмен веществом, после чего выясняется фазовое состояние ячейки.
Если обмен веществом происходит между двумя жидкими ячейками или ячейками, примыкающими друг к другу жидкими частями, то, в соответствии с первым законом Фика, происходит перенос некоторого количества компонента А, пропорционального разности долей этого компонента, содержащегося в жидкой фазе обменивающихся ячеек, из ячейки с большей долей компонента А в ячейку с меньшей долей компонента А:
Аналогично происходит обмен, когда ячейки соприкасаются твердыми фазами, принадлежащими одной и той же области диаграммы состояния:
Ас = -Сть(с, +1- с,).
(1)
Ас = -а8 (с, + 1- с,).
(2)
Коэффициенты oL и oS в выражениях (1) и (2) характеризуют перенос вещества в жидкой и твердой фазах и пропорциональны соотвествующим коэффициентам диффузии в реальных системах.
В случае контакта жидкое-твердое ячейки находятся в равновесии, если их состав соответствует концам коноды солидус-ликвидус, т.е. при концентрациях cS1 и cL1 или cL2 и cS2 (рис. 1). Поэтому движущими силами процессов обмена веществом являются отклонения составов ячеек от соответствующих равновесию. Для упрощения модели в качестве коэффициентов пропорциональности приняты те же величины, что и в выражениях (1) и (2), для левой и правой частей диаграммы состояния
Ac = - aL(Ci + 1- cL1) - as(csi- Ci),
(3)
Ac = - aL(Cl2- Ci) - as(Ci + i- Cs2).
Аналогично сформулировано условие обмена между двумя твердыми образцами при первичном контакте:
AC = -aL( Ci + i- Cli ) - as( Csi - Ci) - aL(CL2- Ci) - as(Ci + i- Cs2). (4)
Для предотвращения влияния на результаты конечной длины образцов счет прекращается прежде, чем диффузионный процесс достигает крайних ячеек.
МАСШТАБИРОВАНИЕ МОДЕЛИ
Сопоставить результаты компьютерного эксперимента с реальным можно, если определить соотношение входящих в модель параметров с реальными прототипами. Естественными единицами измерения в компьютерной модели являются шаг по времени и ячейка по пространству.
Первый закон Фика ]А = -О(ЭпА/Эх), где ]А - молярная плотность потока компонента А; пА - молярная концентрация компонента А, можно представить в виде
Ас = -О-А-- (с{ + 1- с,). (5)
(х, +1 - х,)
Здесь (х,- + 1 - х,) - расстояние между соседними ячейками; Аt - время, соответствующее одному шагу. Сопоставляя (5) с (1), получаем
а = аО, (6)
где а - масштабный множитель. В настоящей работе принято, что (х; + ^ - х,) = 105 м и Аt = 10-2 с. Имея в виду, что в жидких средах коэффициент диффузии Оь по порядку величины равен 10-9 м2/с и сравнивая (6) с (1), получаем а = 108 с/м2 и аЬ = 0, 1. Для твердой фазы взяли а8 = 10-8, что соответствует О8 = 10-16 м2/с.
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
1. Параболический закон роста жидкой прослойки. Известно (например, [3]), что при диффузионном росте толщина промежуточной фазы, в том числе и толщина жидкой прослойки при контактном плавлении, увеличивается со временем по параболическому закону
5 = Х.Я. (7)
Выполнение этого закона является необходимым критерием соответствия модели нестационарно-диффузионному режиму контактного плавления. На рис. 2 представлена зависимость квадрата толщины жидкой прослойки, выраженной количеством жидких
Рис. 2. Зависимость квадрата толщины жидкой прослойки 52, выражаемой числом ячеек, полученной в компьютерном эксперименте, от числа шагов г.
Ликвидусные концентрации для системы Ы-Бп: 1 - 150°С, 2 - 170°С, 3 - 190 °С.
50 100 150 200 250 г
Рис. 3. Зависимость квадрата толщины жидкой прослойки 52, полученной в компьютерном эксперименте, от числа шагов г.
Графики представлены в разных масштабах. Ликвидусные концентрации соответствуют 190°С для системы Ы-Бп.
ячеек, от времени, выраженного числом шагов. Значения ликвидусных концентраций задавали по диаграмме состояния [4] Б1-Бп для трех значений температуры. Полученные в компьютерном эксперименте зависимости соответствуют формуле (7). Отметим, что в процессе работы клеточного автомата наблюдаются флуктуации скорости роста жидкой прослойки, пример которых приведен на рис. 3.
Постоянная контактного плавления X в (7) определяет наклон графиков, подобных представленным на рис. 2. Подбирая коэффициент обмена а, можно получить значение X, равное с учетом масштабного множителя а найденному в реальном эксперименте, и тем самым с помощью (6) получить коэффициент диффузии Б. Например, в работе [5] для системы Б1-Бп при 170°С получено Хехр = (5.52 ± 0.04) х 10-5 м/с05.
0.95
0.90
0.85
0.801—1-1-1-1-1-1-1-1-1_
-3 -2 -1 0
X • 105, м/с05
Рис. 4. Концентрационное распределение в контактной прослойке системы Оа-1п при 23°С в координатах сСа(Х).
❖ - результаты опыта [6], О - компьютерное моделирование; стрелка указывает на точку, соответствующую ячейке со смешанным фазовым составом.
В модели клеточного автомата этому значению, с учетом выбранного масштаба, соответствует Хса = л/а Хехр = 0.552. Такое значение получается при оь = 0.1. После деления на а в соответствие с (7) получаем Оса = 10-9 м2/с, что равно значению, найденному в реальном эксперименте: Ц,хр = (1.00 ± 0.07) х 10-9 м2/с [5].
2. Концентрационное распределение в прослойке. Концентрационное распределение компонентов в жидкой прослойке позволяет измерять градиенты концентраций и, следовательно, коэффициенты диффузии. Кроме того, знание концентрационного распределения может быть актуальным для технических приложений. На рис. 4 сравниваются результаты исследования концентрационного распределения в прослойке Оа-1п, полученные в реальном эксперименте при 23°С [6] и моделированием с помощью клеточного автомата. Учитывая невысокую точность экспериментального изм
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.