ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 11, с. 976-987
= ТОКАМАКИ
УДК 533.09
МОДЕЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ С ОСТРОВАМИ
© 2004 г. А. Н. Чудновский
РНЦ "Курчатовский институт", Институт ядерного синтеза Поступила в редакцию 14.01.2004 г.
Винтовые возмущения магнитного поля токамака могут приводить к формированию магнитных островов в области рациональных поверхностей, на которых шаг силовых линий и шаг возмущения совпадают. Широко известное соотношение, связывающее ширину магнитного острова с величиной возмущения, справедливо в предположениях малости ширины острова по сравнению с радиусом резонансной поверхности и постоянства возмущения вдоль радиуса. Второе предположение означает, что ширина островов мала по сравнению с радиальным размером области локализации тока возмущения. Расчеты для четырех модельных конфигураций магнитного поля показали, что геометрия магнитных островов зависит от степени локализации тока возмущения. При этом ширина магнитных островов оказывается меньше рассчитанной по известному соотношению. Отклонение увеличивается с ростом возмущения и может достигать до 25% для наибольших возмущений, характерных для неустойчивости срыва. Расчеты основываются на решении геометрической задачи построения силовых линий магнитного поля, определяемого заданными распределениями исходного тока и тока возмущения, уравнение равновесия не рассматривается. Обсуждается вопрос о направлении тока возмущения в острове относительно направления исходного невозмущенного продольного тока. Ток возмущения, протекающий в острове, направлен противоположно исходному току при спадающей плотности исходного тока, что служит основанием называть такой остров "отрицательным". Рассматривается формирование "положительных" магнитных островов наряду с "отрицательными" магнитными островами. Условиями образования "положительных" магнитных островов являются превышение плотности тока возмущения над плотностью тока, формирующего невозмущенное поле, и локализация тока возмущения в достаточно узком слое. При этом размер "положительных" островов меньше размера "отрицательных" островов.
1. ВВЕДЕНИЕ
Развитие тиринг-неустойчивости [1] сопровождается формированием магнитных островов в области рациональных поверхностей, на которых шаг силовых линий и возмущения совпадают. Для плазменного шнура в целом появление магнитных островов внутри плазменного шнура означает усиление транспортных процессов поперек плазменного шнура в области островов [2]. Для оценки ширины магнитного острова по величине возмущения магнитного поля широко используется [3-7] известное соотношение
№ = 4 г
В-1 / т -4
В
1
(1)
где Вг1 - амплитуда радиального поля возмущения, Ве - исходное невозмущенное полоидальное
гВТ
поле продольного тока, а = ——- - коэффициент
запаса устойчивости, ВТ - продольное магнитное поле, - радиус рациональной магнитной поверх-
т
ности, на которой выполняется равенство а = — ,
п
т и п - полоидальное и тороидальное волновые числа возмущения. Соотношение (1), содержащее локальные значения параметров на рациональной поверхности, справедливо для островов, достаточно узких по сравнению с радиусом рациональной поверхности № < и в предположении
постоянства возмущения Вг (г) = Вг —) вдоль радиуса в пределах острова [8, 9]. Приближенность соотношения (1) подчеркивается, например, в книге [10] использованием в этом соотношении знака приближенного равенства. Предположение
В - (г) = В - —) означает, что ширина рассматриваемых островов мала по сравнению с радиальным размером области локализации тока возмущения. Для оценки влияния степени локализации тока возмущения на геометрию магнитных островов проведен анализ силовых линий в четырех модельных конфигурациях магнитного поля. Магнитная конфигурация задавалась исходным током и током возмущения, уравнение равновесия не рассматривалось. Для заданных таким образом
в
г
магнитных полей получены аналитические выражения интегралов уравнений силовых линий, определяющие, в частности ширину магнитных островов. Одна из подобных конфигураций магнитного поля в плоской геометрии использовалась в [11] для анализа нелинейного развития тиринг-не-устойчивости. Использование плоской геометрии упрощает анализ и дает адекватное приближение для достаточно узких островов W < г5 в цилиндрической геометрии. В [11] получено соотношение, связывающее ширину магнитного острова с величиной возмущения магнитного поля, и указан способ обобщения этого выражения для цилиндрической геометрии, приводящий к соотношению (1).
Кроме зависимости ширины магнитного острова от величины возмущения магнитного поля в работе обсуждается вопрос о соотношении направлений тока, формирующего исходное поле, и тока возмущения в острове. Известно (см., например, [12]), что при спадающей плотности продольного тока плазмы в острове протекает отрицательный ток возмущения, что служит основанием наименования такого острова "отрицательным". В последнее время обсуждается вопрос [12] о формировании наряду с "отрицательными" магнитными островами и "положительных" островов. В настоящей работе вычисляется ширина как "отрицательных", так и "положительных" островов. Оценка условия возникновения "положительных" островов близка к оценке работы [12].
Построение работы следующее. Во 2 разд. детально разбирается структура магнитных островов в плоской геометрии в конфигурации магнитного поля, рассмотренной в [11]. Интеграл уравнения силовых линий для такой конфигурации магнитного поля может быть представлен в виде явной зависимости радиальной координаты силовой линии от полоидальной, что упрощает анализ структуры магнитных островов. Поле возмущения в [11] задается не зависящим от радиальной координаты, что соответствует случаю, когда ширина магнитного острова много меньше области локализации тока возмущения. В 3 разд. также в плоской геометрии рассматривается противоположный случай, когда ширина магнитного острова много больше области локализации тока возмущения, а, именно, рассматривается предельный случай - поверхностный ток возмущения. В 4 разд. в плоской геометрии описываются магнитные острова, создаваемые током возмущения, сосредоточенном в слое конечной ширины. В 5 разд. в цилиндрической геометрии рассматриваются магнитные острова, создаваемые поверхностным током возмущения. В 6 разд. приводятся основные выводы работы.
В, отн. ед. 0.3
Рис. 1. Схематическое представление вспомогательного поля Кадомцева: а) - радиальные распределения полей (1 - поле продольного тока /д, 2 - поле однородного тока/и, 3 - вспомогательное поле Кадомцева В* , 4 - линейная аппроксимация поля Кадомцева);
б) - радиальные распределения токов (1 - плотность продольного тока /0 2 - плотность однородного тока /и). Пунктирная линия показывает положение рациональной поверхности г5.
2. МАГНИТНЫИ ОСТРОВ В ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. СЛУЧАИ НЕОГРАНИЧЕННО РАСПРЕДЕЛЕННОГО ТОКА ВОЗМУЩЕНИЯ
Прежде чем рассматривать острова в плоской геометрии, установим соответствие параметров моделей магнитного поля в плоской и цилиндрической геометрии. Изучение магнитных островов в цилиндрической геометрии удобно проводить в сечении, ортогональном к силовой линии соответствующей рациональной магнитной поверхности гг Вместо перехода к такому сечению Кадомцевым было предложено [13] использование вспомогательного магнитного поля В* . Поле В* образуется вычитанием из исходного поля продольного тока с плотностью /0(г) такого линейно нарастающего поля, чтобы вспомогательное по-
ле обратилось в нуль на рациональной поверхности rs (рис. 1а)
B* - Бв - Бв( rs)
Линейно нарастающее поле может быть создано однородным током, плотность которого /и равна средней плотности исходного тока /0(г) внутри рациональной поверхности (рис. 16). В типичном случае спадающей плотности исходного тока плотность результирующего тока в области г, отрицательна. Обычно в узком слое вокруг рациональной поверхности используется линейная аппроксимация поля Кадомцева:
Б*
By - ByX -
Цо Jox •
(3)
нения силовых линий
Bx х sin m ö
B'yX
cosmö - C± 2—, где
h
h - 2 rs
Bx 1
mrsB'y
(4)
(5)
а знак в (4) выбирается в согласии со знаком Ву.
Рассмотрим вначале случай, когда Ву < 0 и исходный ток ^ направлен против оси г. Такое направление тока ^ согласуется с направлением результирующего тока ^ , создающего вспомогательное поле Кадомцева, при спадающей плотности продольного тока. В этом случае явное выражение для х
представляется в виде x = ±h
C - cos m ö
. Постоян-
ная интег
су x = ±h
:-Ве( Г,) ^(у) (г - г,) = |/* (г - г,), где
У* = ]о(Г,) - ]и■
Подчеркнем, что поле Кадомцева меняет знак при переходе через г = г,.
В плоской геометрии вводится прямоугольная система координат, в которой радиальной координате соответствует х = г - г,, а полоидальному углу координата у = егИсходное невозмущенное поле, меняющее знак при х = 0, создается однородным током, протекающим в неограниченном в направлении у слое, но конечном в направлении х и симметричном относительно плоскости х = 0. Исходное поле связано с плотностью этого тока/0 соотношением
зирования C = 1 определяет сепаратри-mö
sin , отделяющую замкнутые сило-
Ток возмущения задается в виде J = J^cos mö. Это отвечает обычно рассматриваемому (см., например, [8, 9]) случаю постоянного по "радиальной" координате x возмущения магнитного поля
Bx = Bx1sinmö, где Bx1 = -и k = m/rs. Величина
j1 предполагается положительной. Такая модель "широкого" распределения тока возмущения описывает острова, радиальный размер которых существенно меньше области локализации этого тока. Подобная конфигурация магнитного поля рассматривалась в [11] для анализа нелинейного развития тиринг-неустойчивости. Интеграл урав-
dx rsdö
имеет вид
вые линии от линий, проходящих по координате у = г,е от -го до и не пересекающих ось х. Центры замкнутых линий лежат в точках х = 0 и те = (21 + 1)п. Это так называемые о-точки магнитных островов. Сепаратриса самопересекается в х-точках х = 0 и те = 21п. При этом о-точке острова соответствует отрицательная фаза тока возмущения, а х-точке - положительная. Таким образом, в о-точке остро
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.