№ 1
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 539.3
© 2014 г. КАРТАШОВ Э.М.1
МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВОГО УДАРА ВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ
Изучена проблема теплового удара вязкоупругих материалов. На основе определяющих соотношений динамической термоупругости и линейных реологических моделей Максвелла и Кельвина предложены новые соотношения динамической и квазистатической термовязкоупругости, имеющие обширные приложения в различных областях науки и техники. Рассмотрен числовой эксперимент и выявлена роль инерционных эффектов в динамической и квазистатической термоупругости и термовязкоупругости.
Введение. Исследования процессов теплового разрушения материалов, вызванных взаимодействием интенсивных тепловых потоков с твердыми телами, составляют содержание проблемы термической прочности, актуальность которой возросла в последние десятилетия в связи с созданием мощных излучателей энергии и их использованием в технологических операциях. Быстрый нагрев вещества происходит при обработке в инфракрасных печах, плазмохимических реакциях, гелиоустановках. Новые технологические приемы в машиностроении и близких областях основаны на интенсивном нагреве материалов плазменными потоками, лазерными или электронными лучами. Мощные радиационные излучатели используются для термической закалки и упрочнения поверхности изделий. Интенсивному тепловому воздействию подвергаются поверхности авиационно-космических аппаратов и пусковых установок. Существует значительное количество публикаций, описывающих эти процессы в различных областях [1—3], их интенсивное развитие потребовало создания конструкционных, в частности полимерных материалов, отличающихся термостойкостью и термопрочностью. Вопросы терморазрушения материалов при резком нагреве (или охлаждении) стали актуальными в связи с практическими запросами современной техники.
Проведенные исследования указанной проблемы выполнены в основном для большинства технически важных материалов, подчиняющихся закону Гука. В соответствующих математических моделях в терминах динамических, квазистатических или статических задач термоупругости материал считается однородным и изотропным, термомеханические коэффициенты являются постоянными величинами, не зависящими от температуры, и рассматриваемые разности температур не слишком велики, т.е. температура не превышает некоторого предельного значения, зависящего от материала, и напряжения не достигают границы текучести. Считается [4, 5], что при относительно низких температурах и напряжениях поведение широкого класса материалов находится в хорошем соответствии с теорией термоупругости. При повышенных температурах и более высоком уровне напряжений понятие об упругом теле становится недостаточным: почти у всех материалов обнаруживается более или менее отчетливо явление вязкого течения. Реальное тело начинает проявлять упругие и вязкие свойства и ста-
1Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова (МИТХТ).
новится вязкоупругим. Возникает необходимость изучения теплового удара вязко-упругих тел, что связано прежде всего с обобщением соотношений между напряжениями и деформациями.
Начало исследований в этой области относится к середине прошлого столетия. Ал-фрей впервые заметил, что анализ поведения вязкоупругих тел может быть сведен к рассмотрению эквивалентных упругих задач для несжимаемых материалов: упруго-вязкоупругая аналогия. Воспользовавшись операционным методом (преобразованием Лапласа) Ли распространил эту аналогию на случай, когда материал сжимаем. И, наконец, на случай температурных напряжений аналогия Алфрея была обобщена Хилтоном, а аналогия Ли—Штернбергом (все ссылки даны в [6]). В последнем случае было показано, что поведение вязкоупругих тел в условиях резких температурных и механических воздействий может быть сведено к рассмотрению чисто термоупругих задач в терминах квазистатических моделей, если в операционном решении (по Лапласу
да
|.....ехр(-$0Л) термоупругой задачи заменить модуль сдвига О и коэффициент Пуас-
0
сона V их изображениями О^) и v(s), вид которых определяется линейными реологическими моделями Максвелла и Кельвина. Решив эту задачу в пространстве изображений и выполнив обратное преобразование, можно получить решение (по крайней мере формально) исходной задачи о тепловом ударе вязкоупругого тела [6, 7].
Настоящая статья продолжает исследования в этой области и посвящена новому подходу изучения термической реакции вязкоупругих тел при тепловом ударе, не связанном с упруго-вязкоупругой аналогией. Предлагаются новые интегральные и дифференциальные соотношения, включающие одновременно динамические и квазистатические модели для вязкоупругих и упругих сред, обобщающие результаты предыдущих исследований.
Определяющие соотношения динамической термоупругости. Пусть Б — конечная или частично ограниченная выпуклая область изменения пространственных переменных М(х, у, г) соответственно геометрии и размерам твердого тела, в котором изучается процесс термоупругости; Б — кусочно-гладкая поверхность, которая ограничивает область Б; п — внешняя нормаль к Б, вектор, непрерывно изменяющийся на Б; Т(М, ?) — распределение температуры в области Б при ? > 0; Т0 — начальная температура, при которой область находится в ненапряженном и недеформированном состоянии. Пусть Оу(М, (), £у(М, (), и,(М, (), ¡,у = х,у,I — соответственно, компоненты тензоров напряжения, деформации и вектора перемещения, удовлетворяющие в Б при ( > 0 основным уравнениям (несвязанной) динамической задачи термоупругости [4]: уравнениям движения (без учета объемных сил), геометрическим уравнениям, физическим уравнениям (обобщенный закон Гука) в индексных обозначениях
Оуу(М, () = ри,(М, (); (1)
г,у(М, () = 1 [ии(М, () + ии(М, ()]; (2)
Оу(М, г) = 2\Жу(М, г) + {ЩМ, г) - (3Х + 2ц)аТ [Т(М, г) - Т0]} 8у, (3)
где р — плотность; ц = О; X = 2Оу/(1 - 2у) — изотермические коэффициенты Ламе, при этом 2О1 + V) = Е; Е — модуль Юнга; ат — коэффициент линейного теплового расширения; 8у — символ Кронекера; е(М, г) = е, ¡(М, г) = \и(М, г)] — объемная деформация, связанная с суммой нормальных напряжений <г (М, ?) = стй(М, ?) соотношением
е(М, г) = д(М, г) + 3ат [Т(М, г) - Т0], (4)
Е
вытекающим из (3). Термонапряженное состояние области Б при ? > 0 может возникать при различных режимах теплового воздействия на границу Б, создающих термический удар. К ним можно отнести наиболее распространенные на практике случаи [4, 5]: температурный нагрев Т(М, ?) = ТС, М е Б, г > 0(ТС > Т0); тепловой нагрев дТ(М,г) 1 ,, „ ,
—-—— =--д0; М е Б; г > 0 (ХТ — теплопроводность материала; д0 — величина теп-
дп ХТ
лового потока); нагрев средой дТ(М'г) = ь [Т(М, г) - ТС]; М е Б; г > 0 (к — относительный
дп
коэффициент теплообмена; ТС — температура окружающей среды (ТС > Т0)). В равной степени могут быть рассмотрены и случаи резкого охлаждения. Соотношения (1)—(3) запишем в перемещениях. Подставляя правые части (3) в (1) и используя (2)—(4), после ряда преобразований приходим к соотношению
2 ^
А д(М, г) + grad ^у ЩМ, г)] - Р д U(M, г) =
1 - 2у О дг (5)
= 2(1 + aTgrad[Т(М,г) - Т0], М е Б, г > 0.
1 - 2у
В практике многочисленных исследований термической реакции твердых тел различной формы на тепловой удар рассматриваются области:
1) (г, 0 в декартовых координатах (х, у, г) (бесконечная пластина; пространство, ограниченное плоской поверхностью — одномерное движение) с температурной функцией Т = Т(г,г), при этом их = иу = 0; Uz = иг(г,г); су = ау(г,г)Ъу; у = х,у,г;
2) (г, ?) в цилиндрических координатах (г, ф, г) (радиальный поток теплоты: неограниченный цилиндр сплошной или полый; пространство, ограниченное изнутри цилиндрической полостью) с температурной функцией Т = Т(г, ?), при этом
и <р = и^ = 0, и г = и г (г, г), а у = а у (г, г)8у, ;, у = г, ф, г;
3) (г, ?) в сферических координатах (г, ф, 9) (нагрев в условиях центральной симметрии) с температурной функцией Т= Т(г, ?), при этом иф = и0 = 0, иг = иг (г, г), а^ = а ¡(г, ?)5;>, ;, у = г, ф, 9 (шар сплошной или полый; пространство, ограниченное изнутри сферической полостью). В указанных условиях температурного состояния всех трех координатных областей обобщенное уравнение динамической термоупругости относительно вектора перемещения и(М, г) следует записать в виде:
2 ^
grad[йу и(М, г)] - = +)аТgrad[Т(М, г) - Т0]. (6)
2(1 -V)
1 - 2у ~ ь 4 л о дг
В первом случае из (6) следует
д2и(г, г) 1 д2и(г, г) _1 + v„ д [Щ г) - Т0]
2 2 2 аТ --. (7)
дг2 ир2 дг2 1 -V Т дг
Во втором случае из (6) имеем
д2и(г, г) + 1 ди(г, г)-±Щгг) 1 д2и(г, г) = (8)
дг2 г дг г2 ' ир дг2 1 -V дг ' В третьем случае находим
д 2и(г, г) + 2 ди(г, г) _ 2_ г) _ д2и(г, г) = 1 + д [Тгг) - Т0 ]. (9)
дг2 г дг г2 ' ир дг2 1 -V дг '
Здесь ир = -\[2(1—2у)р — скорость распространения волны расширения в упругой среде, близкая к скорости звука. Уравнения (6)—(9) — основные уравнения динамической термоупругости для рассматриваемых областей, для этих уравнений могут быть сформулированы многочисленные краевые задачи для описания динамической термоупругой реакции твердых тел на тепловой удар.
Определяющие соотношения термовязкоупругости. Чтобы математически описать неупругое поведение тела при заданных условиях нагрева и напряжений, необходимо соответствующим образом обобщить соотношения между напряжениями и деформациями (3)—(4). Эти обобщения ведутся по разным направлениям [8], хотя четко разграничить их не всегда возможно. Общие подходы к проблеме основываются на представлениях и методах физики твердого тела. Чтобы получить сведения о механических характеристиках материала, рассматривается его микроструктура (кристаллическая, поликристаллическая, аморфная). Другой подход состоит в том, что отвлекаясь от особенностей микроструктуры материала, следует рассматривать тело как сплошное и искать форму соотношений между напряжениями и деформациями, исходя из общих принципов механики и термодинамики сплошных сред. Наконец, формальный способ анализа заключается в том, что выбираются некоторые простые формы соотношений между напряжениями и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.