КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2013, том 58, № 1, с. 146-154
ПОВЕРХНОСТЬ, ТОНКИЕ ПЛЕНКИ
УДК 535.16
МОДЕЛЬНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РЕФЛЕКТОМЕТРИИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ ПЛЕНОК ОКСИДА ГАФНИЯ
© 2013 г. Ю. О. Волков, И. В. Кожевников, Б. С. Рощин, Е. О. Филатова*, В. Е. Асадчиков
Институт кристаллографии РАН, Москва * Институт физики Санкт-Петербургского государственного университета E-mail: neko.crys@gmail.com Поступила в редакцию 26.04.2012 г.
Обсуждаются ключевые особенности восстановления профиля диэлектрической проницаемости по глубине образца из измеренной угловой зависимости коэффициента отражения и анализируются фундаментальные факторы, приводящие к неоднозначности ее решения. Рассмотрен простейший подход для исследования внутренней структуры пленок HfO2, основанный на использовании физически разумной модели. Анализируются принципы построения модели пленки и критерии выбора минимально возможного числа подгоночных параметров. Показано, что даже для простейших моделей одиночных пленок неоднозначность рефлектометрии сохраняется. Обсуждаются подходы, позволяющие выбрать из нескольких возможных решений то, которое соответствует реальности.
DOI: 10.7868/S0023476113010190
ВВЕДЕНИЕ
Рентгеновское излучение представляет собой уникальный инструмент для изучения морфологии пленочных и многослойных покрытий. Малая длина волны и возможность плавного изменения глубины проникновения излучения в вещество от нескольких нанометров в области полного внешнего отражения до нескольких микрометров вне ее позволяют проводить количественные исследования структуры образца как по глубине (профиль диэлектрической проницаемости), так и в латеральном направлении (шероховатость) с разрешением в единицы и доли нанометров [1—4].
Однако восстановление профиля диэлектрической проницаемости из экспериментальной кривой отражения (т.е. решение обратной задачи рефлектометрии) в общем случае является неоднозначным, а выбор решения, соответствующего реальности, зачастую оказывается затруднительным. На сегодняшний день существует ряд подходов, позволяющих существенно ограничить неоднозначность решения.
Простейший и наиболее широко используемый подход к решению обратной задачи рефлек-тометрии заключается в моделировании распределения диэлектрической проницаемости в виде функции, зависящей от набора неизвестных параметров, которые находятся подгонкой рассчитанной кривой отражения к экспериментальной. Такой подход работает лишь в том случае, когда удается построить адекватную модель отражающей среды, т.е. ее внутренняя структура достаточ-
но хорошо известна априори. Тем не менее даже при использовании модели с небольшим числом подгоночных параметров проблема многозначности решения все еще остается.
Если модель исследуемой структуры не известна, то для решения обратной задачи следует использовать модельно-независимый подход. К настоящему моменту разработано несколько безмодельных подходов к восстановлению профиля диэлектрической проницаемости по данным рентгеновской или нейтронной рефлектометрии. Из наиболее общих подходов можно указать метод максимума энтропии и спектральный анализ по Байесу [5], параметризацию профиля диэлектрической проницаемости с использованием кубических В-сплайнов или разложения по синусам/косинусам [6], а также итерационные алгоритмы, основанные либо на линеаризации интегрального уравнения для коэффициента отражения [7], либо на применении регуляризационного подхода по Тихонову [8]. Тем не менее, как отмечалось в [5, 7], ни один из этих подходов не снимает проблему многозначности решения обратной задачи.
В [9] разработан подход, позволяющий, по мнению его авторов, определить все возможные физически обоснованные решения обратной задачи рефлектометрии. В этом подходе, основанном на применении генетического алгоритма совместно с алгоритмом восстановления фазы амплитудного коэффициента отражения, количество возможных решений существенно ограничивается за счет наложения на них ряда общих условий.
Похожим образом подход, разработанный в [10, 11], позволяет выбрать из неограниченного количества возможных решений такие, которые удовлетворяют требуемому (моделируемому) поведению амплитудного коэффициента отражения при больших значениях параметра q = &зт9 (где к — волновое число в вакууме, 9 — угол скольжения зондирующего пучка). В свою очередь асимптотическое поведение коэффициента отражения может быть предсказано на основе анализа измеренной части кривой отражения. Оказывается, что число подобных решений крайне ограничено и составляет ровно четыре в случае, когда различны толщины всех слоев, образующих структуру, причем два из них приводят к нефизическим для жесткого рентгеновского диапазона значениям диэлектрической проницаемости, превышающим единицу.
Цель настоящей работы — анализ эффективности намного более простого модельного подхода к решению обратной задачи рентгеновской ре-флектометрии. Экспериментальными образцами были тонкие пленки оксида гафния, синтезированные на кремниевых подложках. Выбор оксида гафния в качестве исследуемого материала обусловлен его перспективностью как high-k диэлектрика в создании сверхмалых комплиментарных МОП-структур для современной электроники [12]. Поскольку параметры наносимых слоев в таких структурах влияют непосредственно на их рабочие характеристики, развитие методов контроля качества тонких пленок high-k диэлектриков является весьма актуальным.
В настоящей работе рассмотрены ключевые особенности обратной задачи рентгеновской ре-флектометрии и обсуждаются фундаментальные факторы, приводящие к неоднозначности решения. Описан подход для исследования внутренней структуры пленок, основанный на простой физически разумной модели. Обсуждаются принципы построения модели пленки и критерии выбора минимально возможного числа подгоночных параметров. Показано, что для простейших использованных моделей одиночных пленок неоднозначность решения обратной задачи рефлек-тометрии сохраняется. Обсуждаются подходы, позволяющие выбрать из нескольких возможных решений то, которое соответствует реальности.
d 2E dz2
+ (q2 - k\(z))E = 0;
X (z) = 1 -S (z) ^
X + = const при z ^ 0, при z ^ -да
(1)
с граничным условием
E(z ^ -да) = exp(Zqz) + r(q) exp(-Zqz), (2)
где ось Z направлена в глубь подложки, s(z) = = 1 -X(z) — диэлектрическая проницаемость, стремящаяся к постоянным значениям в вакууме и в глубине подложки; k = ю/c — волновое число в вакууме; q = к sin 9 — Z-компонента волнового вектора падающей волны; 9 — угол скольжения рентгеновского излучения, отсчитываемый от поверхности образца; r(q) — комплексный амплитудный коэффициент отражения, определяющий асимптотику поля при z ^ -да.
Обратная задача рентгеновской рефлектомет-рии состоит в восстановлении распределения x(z) по глубине (профиля диэлектрической проницаемости) на основании угловой зависимости коэффициента отражения R(q) = |r(q)|2, измеренной в ограниченном диапазоне углов скольжения
б е [0min> 6max].
Отметим, что обратная задача в применении к одномерному стационарному уравнению Шре-дингера является одной из классических задач квантовой механики, успешно решенной в работах Гельфанда, Левитана и Марченко [13]. Кван-тово-механическое уравнение идентично уравнению (1), если рассматривать q2 как энергию частицы, налетающей на потенциал V(z) = k2x(z). Теорема Гельфанда—Левитана—Марченко (ГЛМ) гласит: если амплитудный коэффициент отражения r(q) (комплексная величина, характеризуемая как модулем, так и фазой) от эрмитова (непо-глощающего) потенциала известен в неограниченном диапазоне значений q е (-да,да), то функция x(z) может быть найдена однозначно как решение уравнения ГЛМ.
В то же время классическое доказательство теоремы ГЛМ базируется на предположении, что потенциал быстро спадает до нуля в обеих асимптотических областях z ^ ±да, а точнее, что существует интеграл [13]:
J|X(z)|(1 + |z|)dz < да.
(3)
КРАТКИЙ ОБЗОР ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РЕНТГЕНОВСКОЙ РЕФЛЕКТОМЕТРИИ
Рассмотрим волновое уравнение для ж-поля-ризованного излучения
Очевидно, что в рентгеновской оптике это предположение некорректно, поскольку исследуемая структура обычно расположена на подложке, то функция х(г) стремится к постоянной величине при г ^ +да и, следовательно, интеграла (3) не существует.
В течение последних лет прилагались значительные усилия к решению обратной задачи для одномерного потенциала, имеющего более общий вид по сравнению с (3), но при наличии некоторой дополнительной информации о его поведении ([14—17] и ссылки в них). В частности, для потенциалов, неизвестных на ограниченном интервале Z-оси, но в предположении, что x(z) = 0 при z < z1 (вакуум) и x(z) = const при z > z2 (подложка), получены различные доказательства теоремы единственности. Однако в этих случаях аналог уравнения ГЛМ неизвестен и, как следствие, метод прямого извлечения функции x(z) из экспериментальных данных пока не установлен.
Более того, все общие теоремы, полученные в одномерной квантово-механической теории рассеяния, справедливы лишь для эрмитовых (непо-глощающих) потенциалов. Поглощением даже жесткого рентгеновского излучения можно пренебречь только для достаточно тонких образцов. Например, поглощение рентгеновских лучей с энергией E = 8 кэВ не влияет на восстановленный профиль вольфрамовой пленки в случае, если ее толщина не превышает 5—6 нм [10]. Пленка может быть толще при использовании излучения с более высокой энергией и значительно толще — в случае легкого материала пленки. Отметим, что для неэрмитовых (поглощающих) потенциалов никаких существенных результатов не было получено и в квантово-механической обратной задаче рассеяния.
Как классическая теорема ГЛМ, так и современные подходы предполагают измерение комплексного амплитудного коэффициента отражения r(q), а не его абсолютного значения R(q) = |r(q)|2. Хотя в настоящее время развиваются методы определения фазы амплитудного коэффициента отражения [18—21], в подавляющем большинстве рентгеновских экспериментов измеряется его абсолютное значение R(q) = |r(q)|2, в то время как информация о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.