ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 5, 2004
УДК 533.6:621.822.5
© 2004 г. Деркач М.М., Емельянов A.B., Емельянов И.А.
МОДЕРНИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА РАСЧЕТА БИНАРНЫХ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПОДШИПНИКОВ РАДИАЛЬНОГО НАЗНАЧЕНИЯ
Разработан метод, позволяющий построить алгоритм расчета поля давления в смазочном слое цилиндрического бинарного газодинамического подшипника и вычисления интегральных характеристик опоры с восемью подлежащими оптимизации параметрами. Метод основан на краевой задаче, сформулированной и разрешенной для четырех областей смазочного слоя, разграниченных кромками винтовых перемычек, что освобождает теорию от линейных сплайнов, аппроксимирующих давление в сопряженных областях мозаичного фрагмента.
В работе [1] изложена основа теории цилиндрического бинарного подшипника (рис. 1) с газовой смазкой. В статье [2] сформулирована и решена краевая задача для четырех областей смазочного слоя, образующих элементарный фрагмент плоского бинарного подшипника.
Постановка задачи. В работе [1] выведено дифференциальное уравнение, определяющее закон изменения безразмерного давления P в активной зоне бинарного газодинамического подшипника радиального назначения (рис. 1).
d Qi/dZ + д02/дф = 0, (1)
где Q1, Q2 - безразмерные функции, которые можно представить в виде
Qi = P (a ii|p + ¿i2dp + Л0 Ais), Q2 = P + A22 дф + Л0 A2s) • (2)
Здесь Z = z/L - безразмерная осевая координата, меняющаяся в границах смазочного
2 2
слоя от -1 до +1; Л0 = /pac - нормированный параметр сжимаемости; ц - динамический коэффициент вязкости; ю - угловая скорость шипа; R - радиус шипа; pa -атмосферное давление; P = p/pa - безразмерное давление; p - истинное давление; c -радиальный зазор.
В работе [1] представлены аналитические выражения коэффициентов A-, которые полностью определяются углом атаки спиральных канавок, их нормированной глубиной, относительной шириной и безразмерным зазором u = c(1 - еcosф), где е = e/c - относительный эксцентриситет; e - расстояние между осями шипа и втулки.
Зададимся целью найти коэффициенты Aij (2) методом, изложенным в [2], полагая, что геометрия смазочного слоя определяется не четырьмя параметрами, как в [1], а шестью (два угла атаки ^ и у2, две относительные глубины у10 и у20 и две относительные ширины к и к2 - на неподвижной и вращающейся деталях соответственно, параметры ^ = L1/R и Х2 = L2/R (рис. 1) не отражаются на значениях коэффициентов Ai}).
Это значит, что шесть коэффициентов Aj должны быть вычислены во всех узлах разбиения интервала изменения переменной ф (0 < ф < 2п), которые задаются при численном решении уравнения (1). Пусть k - номер узла, а фк - значение координаты ф в этом узле. Тогда uk = 1 - е cos фк будет соответствующим значением безразмерного зазора в этом же узле.
Проверено, что для несжимаемой смазки метод [1] Рис 1 приводит к уравнению (1) и тем же выражениям для
коэффициентов Aj. Разница заключается в том, что в выражениях (2) упраздняется множитель P перед скобками и они принимают вид
л - 4 dP л dP Л
Ql = Al1 эz + Al2эф + Л|
0 A13,
dP
dP
Q2 = A21 Э z + A22 Эф + Л
0 A23'
(3)
Коэффициенты А^ обладают еще одним свойством, которое учтем в дальнейшем, они зависят только от локального значения ик и не зависят от значения безразмерного зазора в других точках. Это значит, что при вычислении шести коэффициентов А^ в узле с номером к можно принять, что безразмерный зазор равен во всех точках смазочного слоя. Иначе говоря, краевую задачу для мозаичного фрагмента можно формулировать для каждого узла так, будто смазка несжимаема, а безразмерный зазор во всех точках смазочного слоя точно такой же, как в данном узле.
Из соотношений (3) следует шесть формул для коэффициентов А^
Э P dP
An = Qi' dz при Ло = 0 и эф = 0
Э P dP Ai3 = Qi'Ло пРи dz = 0 и Эф = 0
A12 =
n /dP л л dP
Q1 Эф ПРИ Л0 = 0 И dz =
0,
dP
dP
A21 = Q2/tf при Л0 = 0 и — = 0,
dz
,Э P
dP
A22 = Qi'—,. при Л0 = 0 и ^ = 0, A23 = Q2M.0
эф
dz
Эф
dP „ dP при т-т; = 0 и -т— =
dz Эф
(4)
0.
Уточним физический смысл безразмерных функций Q1 и Q2. Пусть dQ^ - массовый расход смазки в направлении оси z через сколь угодно малый отрезок Эф координатной линии z = const, а dQф - аналогичный расход в направлении оси ф через отрезок dz координатной линии ф = const. Эти локальные расходы связаны с безразмерными функциями Q1 и Q2 соотношениями
23 bpac
dQz = i2r Q1 dф,
23
bpac
dQф = -тот- Q2d z,
12ц
(5)
где b - отношение плотности смазки к давлению при температуре смазочного слоя.
Из соотношений (5) видно, что функции Q1 и Q2 представляют собой безразмерные расходы в направлении осей z и ф через единичные отрезки координатных линий z = const и ф = const. Эти функции и производные dP/dz, dP/Эф, входящие в выражение (4), должны вычисляться на основе краевой задачи для четырех областей мозаичного фрагмента.
Для бинарного радиального подшипника, у которого на неподвижной и вращающейся деталях углы атаки у2, глубина канавок c1, c2 и их относительная ширина к1, к2 не совпадают, мозаичный фрагмент представляет собой параллелограмм, образованный четырьмя, в общем случае неподобными, параллелограммами (рис. 2). Область 1 лежит на пересечении перемычек; область 3 - на пересечении канавок; в
а
области 2 вверху канавка, внизу перемычка; в области 4 сверху перемычка, а снизу канавка.
Общая площадь мозаичного фрагмента s и площади четырех образующих его областей Sj, s2, s3, s4 определяются выражениями s = (4n2R2/N2)[sin¥^in^2/sin(Vi + ¥2)], s1 = a1a2s, s2 = a1K2s, s3 = k1k2s, s4 = K1a2s. В этих соотношениях N - число канавок на каждой рабочей поверхности; к1, к2 - относительная ширина спиральных канавок соответственно на неподвижной и вращающейся деталях; a1 = 1 - кх, a2 = 1 - к2 - относительная ширина спиральных перемычек.
При вращении шипа с угловой скоростью ю, направленной в сторону роста координаты ф, проекции скорости точки O на оси X и ú (рис. 2) равны
sin Yisin ¥2 sin ¥2cos ¥1
VX = —юЯ -г—--, = юЯ ——--.
X sin (¥1 + ¥2) " sin (¥1 + ¥2)
Поэтому из уравнений Рейнольдса вытекают следующие выражения для компонент вектора скорости в смазочном слое:
v = (Ci + n)(h + С2 - n)dp + юЯ sin ¥ 1 sin ¥2 X = 2\iL д X sin (¥ 1 + ¥ 2)'
(6)
(c1+ n)(h + c 2 — n)dp
V ú =--2цЯ-dú — юЯ
sin ¥2cos ¥1 c1 + n
Lsin (¥1 + ¥2) h + c 1 + C2J
где с1, с2 - глубина канавок на неподвижной и вращающейся деталях; п - координата, которая отсчитывается по толщине слоя от неподвижной поверхности.
Безразмерные расходы П% и Пф в направлении осей % и ф определяются выражениями
п о/о 2дР 2 Л ьт ¥ 1 Ь1П ¥2 1 п Г 2ЭР л вш (¥ 1 -¥2)] (7)
П = -0{ХЭХ -2Чш ( ¥1 + ¥2)I' Пф = ^Т ЭЭф - Л яп ( ¥1 + ¥2 )|' (1)
X = ЫЯ' о = и + р1 + р2' Р1 = 7 10^10' Р2 = 7 20/ ^0' Vl0=1-У10' V20 = 1- У20' 710 = С1/(с + с 1)' У20 = С2/(с + С2).
Соотношения (6) и (7), соответствующие области 3, легко трансформируются применительно к трем другим областям.
На рис. 3 оси £ и п проведены вдоль границ, разделяющих области 1 и 4, 1 и 2. Коэффициенты Ламе Ь^ и Ьп введем так: Ь^ = (2лЯ/^)[^т¥2/(§ш(¥1 + ¥2))], Ьп =
S = «2
D
Vi
П = - Ki
Рис. 3. Границы мозаичного фрагмента в косоугольных координатах п и оси х, у, ортогональные координатным линиям % = const, п = const
= (2пК/^)[8шу1/(81п(у1 + у2))]. Тогда безразмерные расходы смазки в направлении осей х и у, ортогональных осям £ и п, определяются выражениями
2 п
1
Qx = N( Qx cos V2-;- бй sin у2] -
sin v1
sin (Vi + V2)
= ф
Ло д P 1 д P
— V2
„ 2п(„ 1„ . Л sin
Qy = N [ Qx cos V i-iv Q* sin ViJ
sin v2 + V2-
дй
Ло д P 1 д P
ф'52-ай - Щctg V
(9)
2П sin sin V2 3 2
N sin+ у2) 3 3 2
Соотношения
дP NX(dР дР Л dP N (dP dP
ЭХ = 2П(дПctg¥l + э^ctg^J, ^ = 2П(дп - W'
позволяют преобразовать выражения Qx и Qy (9) к виду
Qx
2пЛ,
о
sin(v1 + V2) I No2 "2пЛ
sin v1sin v2 —-
sin V1 д P дP
sin v2 д^ дп
cos (V1 + V 2)
л 3 J . д P . , sin V2 д P
Qy = sin (V 1 + V2 )| Ño-sin V1sin V 2— д-scos (V1 + ^-sinv дп
(10)
Сформулируем краевую задачу для мозаичного фрагмента. Пусть I - номер любой из четырех областей мозаичного фрагмента. Неразрывность смазочного слоя выражается уравнением
д Qxi . д Qy
д^ дп
0,
(11)
где безразмерные расходы Qxi и Qyi в соответствии с выражениями (10) запишутся виде
Qxi = °|еле — xa2¡ (01
дP л дP
2 п ,
-Í; + 0Од-ПJf, Л = N Ло,
C
Л [0Л ГодP 0ЭP^1 0 вш¥1ь1п¥2 л.. . .
Qя = °|0Ле - х°2,- [^Э^ °2ЭЭП 9 = ь1п ( ¥ 1 + ¥2 )' Х =1/81П (¥1 + ¥2)'
ь1п ¥ 1 1
00 = сое (¥ 1 + ¥2)' 01 = ' 02 = о-' о1 = u'
о2 = u + в2' 03 = u + в1 + в2' о4 = u + 01' 02 i = 0.2.
Уравнение (11) необходимо решать численно с соблюдением краевых условий на внутренних границах (£ = 0 и п = 0): Qx3(£ = 0, п) = Qx4(£ = 0, п), где -к1 < п < 0; Qx2(£ = 0, п) = Qxl(£ = 0, п), где 0 < п < а1; Qyз(£, п = 0) = Qy2(£, п = 0), где -К2 < £ < 0; Qy4(£, п = 0) = Qy1(£, п = 0), где 0 < £ < а2, а также краевых условий на внешних границах (£ = -к2, £ = а2 и п = -к1, п = а1):
Qxз(£ = -к2, п) = Qx4(£ = а2, п), где -К1 < п < 0;
Qx2(£ = -к2,п) = Qxl(£ = а2, п), где 0<п<а^ (13)
Qx з (£, п = -к 1) = Qy2 (£, п = а1), где -к2 < £ < 0;
Qy4 (£,п = -к1) = Qyl (£,п = а1), где 0 <£<а2.
Кроме этого, вследствие подобия течения смазки в соседних мозаичных фрагментах точки на границах CMD и BM1A (рис. 3) являются сходственными, если у них координата £ имеет одно и то же значение. Точно так же точки на границах CNB и DN1A (рис. 3) являются сходственными, если у них координата п имеет одно и то же значение. Безразмерное давление P в активной зоне в этой задаче зависит от £ и ф. Поэтому при изменении положения мозаичного фрагмента относительно неподвижной системы отсчета давление во всех его точках изменяется на одну и ту же величину, пропорциональную приращению координат £ и ф. Это означает, что разность давления в сходственных точках на линиях п = -к1, п = а1 должна быть равна константе, которую обозначим символом E1. Аналогично, разность давлений в сходственных точках на линиях £ = -к2, £ = а2 должна быть равна некоторой константе E2. Таким образом, должны быть соблюдены краевые условия для давления
P(£, п = -к1) - P(£, п = а1) = El' P(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.