научная статья по теме МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВНЕШНИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Энергетика

Текст научной статьи на тему «МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВНЕШНИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ»

№ 2

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА

2014

УДК 621.3.011; 681.3

© 2014 г. ВИШНЯКОВ С.В.1

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВНЕШНИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

На основе разработанного вейвлет-преобразования второго поколения (сингулярного вейвлет-преобразования) предложен способ аппроксимации поля на границах расчетной области при решении внешних трехмерных задач теории электромагнитного поля методом конечных элементов. Предложенный способ позволяет существенно снизить вычислительные затраты при решении внешних задач за счет уменьшения объема расчетной области и не требует дополнительной подготовки расчетной модели, обеспечивая сравнительно высокую скорость сходимости метода.

Введение. Решение внешних задач теории электромагнитного поля является одним из этапов анализа и синтеза многообразных электротехнических и электрофизических устройств и установок. Применение метода конечных элементов позволяет достигать высокой точности аппроксимации поля за счет адаптации конечноэлементой сетки к форме границ раздела сред, электродов благодаря возможности гибкого управления соотношением вычислительных затрат и точности решения на нерегулярных сетках [1]. Особенностью решения внешних задач является необходимость задания некоторых специфических (приближенных) граничных условий для потенциалов или векторов поля на ограничивающих поверхностях. Следует отметить, что при решении трехмерных внешних задач актуальна проблема роста вычислительных затрат при увеличении объема пространства, разбиваемого на конечные элементы. Причем, с одной стороны, применение граничных условий Дирихле и Неймана на ограничивающей поверхности требует значительного увеличения объема пространства и, соответственно, вычислительных затрат, а с другой стороны, сокращение вычислительных затрат за счет увеличения размеров конечных элементов может приводить к потере точности и грубым искажениям картины поля.

При расчете потенциальных полей альтернативой увеличению объема расчетной области является применение специальных конечных элементов, моделирующих поведение поля в свободном пространстве (СКЭ, infinite boundary elements) [2], причем расчетная модель должна дополняться специальными областями, которые будут покрыты сеткой таких элементов. При этом возникают следующие ограничения: так как в качестве элементов, моделирующих затухание поля используются параллелепипеды с полиномиальной аппроксимацией поля, дополнительные области должны допускать регулярное разбиение и сопрягаться с областями, покрытыми нерегулярной сеткой (нерегулярная сетка строится, как правило, из тетраэдров и сопряжение достигается использованием еще одного типа конечных элементов — пирамидальных). На практике эти ограничения существенно затрудняют построение расчетной модели и часто приводят к возникновению участков сетки ненадлежащего качества. Универсальных, формализованных правил создания таких областей нет, поэтому необходимо

Национальный исследовательский университет МЭИ (НИУ МЭИ), г. Москва.

исследовать сходимость решения при изменении объема расчетной области и при изменении параметров конечноэлементной сетки в каждом конкретном случае.

Существуют варианты модификации метода конечных элементов, основанные на применении граничных элементов на ограничивающей (внешней) поверхности расчетной области и интегральных уравнений. Также при расчете трехмерных потенциальных полей применяется метод суперэлементов (метод Трефтца), основанный на дополнении системы уравнений, получаемой по методу конечных элементов для одной или нескольких изолированных областей, системой уравнений, использующих функции Грина для связи таких областей и для моделирования поля в неограниченной среде [3]. Достоинствами перечисленных методов можно считать сохранение симметрии системы линейных алгебраических уравнений, более высокую точность аппроксимации поля вблизи границ расчетной области по сравнению со СКЭ. Однако подготовка расчетной модели при этом требует значительных усилий, имеется необходимость ограничивать количество уравнений на основе функций Грина, так как формирование системы уравнений (как и в широко применяемом в электродинамических расчетах методе моментов) связано с перебором сочетаний всех граничных элементов (в случае их применения) и всех узлов Трефтца (вторичных источников поля). Ограничить вычислительные затраты на формирование систем уравнений возможно, если использовать специально построенные конечноэлементые сетки, что практически исключает автоматизацию вычислений даже в случае решения однотипных задач. Применение суперэлементов не позволяет использовать свойства симметрии и асимметрии решаемой задачи для упрощения расчетной модели.

С 90-х годов прошлого века для расчета полей на регулярных сетках [4], затем и на нерегулярных сетках [5], в т.ч. для методов конечных разностей и конечных элементов, предлагается применять аппарат многомерной цифровой фильтрации на регулярных и нерегулярных носителях соответственно. В работах [6, 7] предложен принцип расчета сингулярного вейвлет-преобразования (варианта вейвлет-преобразования второго поколения) для анализа особенностей распределения поля, адаптации конеч-ноэлементной сетки и для аппроксимации поля на границах расчетной области при решении внешних потенциальных задач. Данная работа развивает эти принципы для расчета трехмерных потенциальных полей.

Сингулярное вейвлет-преобразование основано на анализе оценки совпадения характера фактического (рассчитанного) распределения поля в пределах некоторого компактного носителя, т.е. участка конечноэлементного разбиения, с характером поля, соответствующего действию точечного источника. Для трехмерных нерегулярных сеток, построенных из тетраэдральных конечных элементов, в качестве носителя для выполнения преобразования в базовом узле N предлагается использовать два множества элементов Т1 и Т2.

Множество элементов Т1 содержит элементы, включающие базовый узел, множество Т2 — элементы, имеющие общий узел с элементами из Т1. Выбор элементов этих множеств из общего списка может производиться достаточно просто с одновременным вычислением напряженности поля в центрах масс всех элементов (см. рис. 1).

Коэффициент вейвлет-декомпозиции для базового узла вычисляется по формулам:

N

Е яТ2

Е 4

Б, = 1 £ Е, Я, = 1 £ Яу,

П, ^

V е т, 1у Е т1

Б2 = I £ Бу, Я2 = -1 £ Яу,

2 У Е Т-2 2 у Е Т-2

где Еу — радиальная составляющая напряженности поля в центре массу-го элемента; Яу — расстояние между центром массу-го элемента и базового узла. N — отклонение напряженности поля (среднеквадратическое) от заданного закона распределения. Очевидно (и это относится к любым методам, применяющим операции на подобных носителях — на некотором множестве конечных элементов), что для расчета коэффициентов преобразования необходимо использовать глобальную систему декартовых координат; барицентрические координаты, успешно используемые в методе конечных элементов, неприменимы.

Очевидно, что расчет коэффициентов декомпозиции такого типа имеет смысл только в том случае, когда радиальная составляющая поля имеет одинаковый знак во всех элементах множеств Т1 и Т2. Проверка этого условия позволяет исключить данный базовый узел из рассмотрения, существенно уменьшив вычислительную сложность декомпозиции.

Такое вейвлет-преобразование может применяться для компактного представления распределения поля (прежде всего, при решении задач синтеза) и локализации резонансных явлений.

Аппроксимации поля на границе расчетной области при решении внешних задач основана на применении принципов двойственности и эквивалентности. Сингулярное вей-влет-преобразование выполняется для узлов, лежащих на границе расчетной области, так, чтобы потенциалы таких узлов определялись (помимо обычных уравнений вариационной формы метода конечных элементов) потенциалами узлов множества Т2.

Формирование дополнительных уравнений для узлов, лежащих на границе расчетной области, сводится к операции цифровой фильтрации на неравномерном носителе (тетрэдральной сетке). Формально такой фильтр обладает конечной импульсной характеристикой и может быть представлен в виде:

Фя = £ аЬ^- Ф,-,

Т2 Я2

где фв — потенциал базового узла; ф, — потенциалы узлов конечных элементов множества Т2; Я, — расстояния от узлов ф, до базового; а — безразмерный коэффициент; Ь — масштабирующий множитель; Ят — среднее расстояние от центров масс конечных элементов множества Т1 до базового узла.

Коэффициент Ь может быть вычислен как среднее значение коэффициентов глобальной матрицы жесткости, составленной обычным образом. Введение масштабирующего множителя позволяет нивелировать влияние неоднородности сетки на форми-

0,51 + к

Рис. 2. Тестовая задача

0 0, + к

Рис. 3. Конечно-элементное разбиение (в плоскости симметрии), шаг сетки 0,25 м

ф, в

х', м

Рис. 4. Распределение потенциала вдоль оси х': аналитическое решение (1), расчет методом конечных элементов при различных значениях коэффициента а, шаг сетки 0,625 м, Ь = 2 м

Рис. 5. Эквипотенциали при L = 4 м: аналитическое решение (а), метод конечных элементов с шагом 0,0625 м, L = 2 м

рование дополнительных уравнений, а также задавать коэффициент фильтра a в безразмерном виде.

В качестве тестовой использовалась задача [8] "проводящая сфера над проводящей плоскостью" (см. рис. 2): радиус сферы R0 = 0,5 м; расстояние от центра сферы до плоскости h = 1 м. Исследовалось влияние размеров расчетной области L и параметров конечноэлементной сетки на расчетную емкость системы и распределение поля.

Рассмотрены варианты с L = 2, 4 и 6 м. Сравнивались результаты, полученные по предлагаемому методу, и полученные при граничном условии ET = 0 на границах расчетной области, с использованием специализированных конечных элементов, имитирующих неограниченную среду, суперэлементов (последние два результата получены с помощью программного комплекса ANSYS). Взяты тетраэдральные конечные элементы первого порядка (при расчете в ANSYS — второго порядка), длина ребра конеч-

ф, B

х\ м

Рис. 6. Распределение потенциала вдоль оси х': аналит

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком