КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2010, том 55, № 4, с. 722-726
ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ
УДК 532.783
МОДИФИКАЦИЯ ЗАКОНА МАЛЮСА ДЛЯ ДЕФОРМАЦИИ КРУЧЕНИЯ ЛИОТРОПНЫХ НЕМАТИКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ НА ОСНОВЕ
СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА © 2010 г. А. В. Голованов, В. И. Шаповалов*
Институт элементоорганических соединений РАН, Москва E-mail: gav@ineos.ac.ru *Волгоградский филиал Московского гуманитарно-экономического института Поступила в редакцию 29.12.2009 г.
Предложен основанный на статистическом подходе способ вычисления интенсивности света для деформации кручения лиотропных нематических жидких кристаллах в условиях нарушения адиабатического приближения Могена. Получены теоретические зависимости интенсивности света от величины напряженности магнитного поля для двух предельных случаев сцепления лиотропного нематика с опорными поверхностями: бесконечной и конечной, но малой энергии сцепления.
ВВЕДЕНИЕ
Лиотропные нематические жидкие кристаллы (НЖК) наряду с термотропными обладают характерным свойством ориентационной упругости [1]. Это свойство проявляется в ориентационных эффектах: изменение первоначальной ориентации директора под влиянием, в частности, электрического и магнитного полей (деформации продольного и поперечного изгиба, кручения) [2].
Известно, что распространение плоско-поляризованной волны света в закрученном слое тер-мотропного НЖК происходит согласно адиабатическому приближению Могена [3]. Плоскость поляризации волны поворачивается в соответствии с поворотом директора, если выполняется условие:
тсДпй
е„
» х,
(i)
где Án = ne - n0; ne и n0 — необыкновенный и обыкновенный показатели преломления; d — толщина слоя ЖК; 0 m — максимальный угол отклонения директора от исходного положения; X — длина волны света.
Выполнение условия (1) означает, что шаг закрученной структуры велик, по сравнению с длиной волны проходящего света. Это приводит к тому, что каждый директор на пути луча света выступает в качестве анализатора, а явлениями отражения и интерференции при прохождении волны можно пренебречь [3]. В этом случае для деформации кручения применимо известное выражение закона Малюса (в скрещенных поляроидах) [2]:
I = I osin2 (^ф) sin2 [20(z)j, (2)
где 10 — интенсивность света, падающего на НЖК, ДФ = 2пйДп - разность фаз между необыкновенным и обыкновенным лучом света, г — ось вдоль которой распространяется световая волна (перпендикулярна слою ЖК), 9(г) — угол между поляризатором и директором.
Так как у термотропных нематиков величина двулучепреломления сравнительно велика (Ал ~ 0.2-0.4), то при толщинах образцов ЖК й > 10 мкм условие (1) выполняется для всех длин волн видимого диапазона, что делает возможным использование формулы (2) [2]. При реализации деформации кручения, когда величина напряженности магнитного поля Н превосходит критическое поле Фредерикса НР (Н > НР), на выходе из анализатора интенсивность света остается равной нулю [4].
Для многих лиотропных нематиков условие (1) не выполняется из-за небольшой величины дву-
лучепреломления (Ап ~ 10 ) [1, 5-7]. Это приводит к тому, что при деформации кручения в магнитном поле, поляризация прошедшего сквозь нематик света изменяется и интенсивность света, вышедшего из анализатора, зависит от напряженности магнитного поля Н [8]. Здесь использование закона Малюса в виде (2) приводит к противоречию, так как из него по-прежнему следует, что I = 0 на выходе из анализатора.
Модель, учитывающая нарушение (1) для нематиков, была предложена в [9]. Здесь исследовалась деформация кручения, задаваемая поворотом опорных поверхностей ячейки друг относительно друга. Однако формулы, полученные в этой работе, не применимы в задачах, в которых
Рис. 1. Геометрия задачи: П — поляризатор, А — анализатор.
деформация кручения создана магнитным (электрическим) полем. В таких задачах отсутствует поворот опорных поверхностей, что является существенным для приведенных в [9] вычислений.
В связи с вышесказанным, поставлена задача, построить модель распространения света в ЖК-ячейке в случае нарушения (1) таким образом, чтобы стало возможным ее применение для деформации кручения лиотропного нематика в магнитном (электрическом) поле.
ЗАКОН МАЛЮСА ДЛЯ ДЕФОРМАЦИИ КРУЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НАРУШЕНИЯ
АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ МОГЕНА
В лиотропном нематике условие (1) не выполняется. Поэтому рассматривать каждый директор в качестве анализатора, как это было предложено в [3], нельзя. Мы считаем, что в случае деформации кручения (в магнитном или электрическом поле) оптическая индикатриса слоя нематика является результатом коллективного действия всех директоров на пути световой волны. Поэтому логично рассматривать взаимодействие световой волны с нематиком как с монокристаллом, оптическая индикатриса которого ориентирована под средним углом (0) по отношению к первоначальной ориентации директора.
Рассмотрим планарный слой нематика толщиной d с положительной анизотропией диамагнитной восприимчивости х а. Нематик расположен между скрещенными поляризаторами так, что оптическая ось поляризатора совпадает с первоначальным направлением директора. Пучок плоско-поляризованного света направлен вдоль оси Z (рис. 1). Плоскость поляризации света также параллельна первоначальной ориентации директора. При внесении нематика в магнитное поле напряженностью Н > НР в слое возникнет де-
Рис. 2. Сечение оптических индикатрис плоскостью,
перпендикулярной лучу света.
формация кручения. Согласно идее предыдущего абзаца, мы предполагаем, что ориентация оптических индикатрис в слое имеет разброс по углам вокруг некоторого среднего значения (0) (рис. 2).
Для того чтобы получить зависимость I((0)), поступим следующим образом. Выделим в нема-тике объем в виде цилиндра высотой d и радиусом |и| (рис. 3). С этого момента предположим, что директор распределен в рассматриваемом объеме с некоторой функцией распределения/(0, ¿). Тогда
п ё
(0)= Цед 0, z) • (3)
0 0
При этом сама функция/(0, г) нормирована:
п ё
¡¡/( 0, z) d0dz = 1. (4)
0 0
В дальнейшем нам будет удобнее воспользоваться ненормированной функцией распределения, которая зависит только от координаты г:
ё
IД(z)dz * 1.
0
Следовательно,
ё
|е^ ди ё <е> = Ч-. (5)
X
Z >
í-d d Y
----d/2 —N
---- - -"
СГ d¿
0 " ~ -
102(z )dz
<е> =
_ 0
(6)
J0(z )dz
I = I0sin
(f)
sin
10(z)dz
0
(7)
где h = H, HF =
Рис. 3. К вычислению распределения директора по толщине слоя ЖК.
Можно показать, что в нашей задаче /(г) совпадает с 0(г) (доказательство этого утверждения приведено в Приложении I), поэтому:
I (H) = Iosin2 sin2 [n(h -1)1/2]. (9)
В случае величины H, лишь немного превышающей HF (h ~ 1), (9) переходит в выражение
I(H) = Asin2(h -1). (10)
Как видно, интенсивность света, прошедшего слой нематика, линейно зависит от напряженности магнитного поля.
Рассмотрим случай конечного значения энергии сцепления W лиотропного нематика с опорными поверхностями. Это означает, что (10) должно быть преобразовано с учетом конечности W. В этом случае для отыскания соответствующего вида I(H) необходимо вместо (8) использовать другую функцию. Можно показать, что эта функция при малых углах 0 и слабом сцеплении ЖК с границами имеет следующий вид (Приложение II):
0(z) = 2
/ \1/2 H -1
\HC
„nr,(nh nh cos (---z
12 d
(11)
1 2Wd
K
HF — критическое поле в случае
22
Подставляя (6) в (2), получаем окончательный результат:
С d \
102( z)dz
где Нс = -п
малых значений энергии сцепления Ж.
Подставляя (11) в (7), находим зависимость 1(Н):
2 »
^2/ , ^ , VI (12)
I (H) = I0sin2
X sin
cos(nh
+ ■
nh
уНс 1) 2 Г 2вт(пН/
В слабых полях Н ^ Нс. Следовательно, с учетом слабой энергии сцепления можно положить Н < 1. В результате (12) переходит в
I (H) = 16I0sin
2ÍAOV H
2 A H,
-1
(13)
УЧЕТ ЭНЕРГИИ СЦЕПЛЕНИЯ С ОПОРНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ЖК-ЯЧЕЙКИ
Рассмотрим случай жесткого сцепления нема-тика на границах. В качестве 0 (z) воспользуемся выражением для деформации кручения немати-ка, приведенным в [10]:
0^) = 2 (/ -1)^ (ё), (8)
п K22 — поле Фредерикса для
Не х
деформации кручения при бесконечной энергии сцепления IV, К22 — константа упругости кручения, х а — анизотропия диамагнитной восприимчивости.
Подставив (8) в (7), получаем [11]
Как видим, учет конечности энергии сцепления не изменяет общего вида функции 1(Н). Она остается линейной.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе получено выражение (7), позволяющее для случаев нарушения условия (1) вычислять интенсивность света, прошедшего через слой нематика. В частности, это выражение может быть применено при изучении лиотроп-ных нематиков; для некоторых из них условие (1) не выполняется из-за сравнительно небольшой величины двулучепреломления.
Также получены уравнения (10) и (13), являющиеся модификацией закона Малюса в случае нарушения условия (1) для двух предельных случаев: бесконечной и малой энергии сцепления. При этом, как оказалось, при значении поля, не силь-
0
но превышающего критическое, величина энергии сцепления не изменяет линейность функции 1(Н). Выражения (10) и (13) можно использовать для численной обработки экспериментов по исследованию деформации кручения в магнитном поле.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
В этом Приложении мы покажем, что в нашей задаче в качестве функции распределения/(г) выступает функция 0(г).
Для рассматриваемой геометрии эксперимента (рис. 1) 0(г), в частности, может иметь вид
0(г) = А Б1п(Вг), где А и В — некоторые постоянные (рис. 4).
Вероятность йР того, что у директора окажется угол ориентации в пределах интервала йг запишется как
йР = /(г)йг. (ПИ)
С другой стороны вероятности можно придать геометрический смысл, а именно:
dP = —, S
(П12)
где — площадь криволинейной трапеции с основанием йг, Б — площадь прямоугольника высо-—
той - и основанием й. Очевидно, что 2
Тогда
1
dP =
ds = 0(z)dz. 0(z) dz
= D0(z)dz,
(П13)
(П14)
9
я/2
Рис. 4. К расчету функции распределения /(г). Предполагаемый вид распределения 9(г).
Для рассматриваемой задачи уравнение Эйлера и граничные условия примут вид [12]:
+ h2sin 0 cos 0 = 0;
dz
_ d0 dz dQ + dz
+ W sin 0 cos 0 = 0, z = 0 W sin 0 cos
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.