ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2011, том 75, № 7, с. 940-944
УДК 539.17.01
МОДИФИЦИРОВАННАЯ ОБОЛОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ АТОМНЫХ ЯДЕР
© 2011 г. В. В. Самарин
Чебоксарский политехнический институт Московского государственного открытого университета E-mail: v-samarin@yandex.ru
Оболочечная модель сферических ядер модифицирована путем приближенного учета нуклон-нук-лонных корреляций. Предложена схема согласованного вычисления энергии связи ядра и его радиуса. Получено согласие с экспериментальными данными по энергиям связи сферических четно-четных ядер.
ВВЕДЕНИЕ
Оболочечная модель сферических и слабодефор-мированных (модель Нильсона) атомных ядер [1,2] успешно используется уже более полувека. В простейшем подходе независимых частиц сферической оболочечной модели ядерную часть поля обычно представляют в форме потенциала Вудса—Саксона
Vn,p (r) = -Von,p
1 + exp1 r Rn'p
-i
(1)
с параметрами, различающимися для нейтронов (п) и протонов (р), в частности Кпр = г0прА^3, где А = Z + N — массовое число. Экспериментальные данные по распределениям заряда в ядрах [3] позволяют определить радиус Яр и задать значения параметра г0 = г0р = г0п, характеризующего концентрацию нуклонов в ядре, и диффузности а границы потенциальной ямы. При соответствующем подборе глубин потенциальных ям ¥0пр и постоянной спин-орбитального взаимодействия [4, 5] удается получить удовлетворительное согласие с такими экспериментально наблюдаемыми свойствами ядер, как спины и четности основных состояний, а также спины, четности и энергии низковозбужденных одночастичных состояний.
Более точным приближением, учитывающим взаимодействие нуклонов, является приближение Хартри—Фока [6], основанное на нелинейных инте-гро-дифференциальных уравнениях. Хотя вычислительные трудности, связанные с их решением, удалось сократить введением зависящих от плотности и импульса эффективных сил Скирма нулевого радиуса действия (пропорциональных дельта-функции 8 (Т - Т])), однако реализация метода остается довольно сложной [7].
Эмпирически определенные глубины потенциальных ям (1) модели независимых нуклонов зависят от долей протонов и нейтронов в ядре [2]
Von = V (1 - Co N/A + Co ZI A), Vop = Vo (1 - Co Z/A + Co N/A),
(2) (3)
где V0 « 50 МэВ, c0 = 0.63. Фактически это означает включение в модель элементов многочастичности и нелинейности, способных (в некоторой степени) приблизить ее к более точной модели Хартри—Фока. Можно допустить, что в оболочечной модели независимых нуклонов (1)—(3) есть скрытые резервы, позволяющие усилить ее результаты при сохранении простоты применения. В данной работе для этого предложены два приближенных выражения для вычисления энергии связи ядра EB и взаимосвязи параметра V0, определяющего глубины потенциальных ям (2), (3) с параметром r0, V0 = V0 (r0). Первое из этих выражений позволяет проще, чем в методе Скирма—Хартри—Фока, находить энергию основного состояния ядра EB и определять значение параметра r0 из условия минимума энергии ядра EB (r0)
Eb = min {Eb (Г))} = Eb (r>m). (4)
При этом для исходного нуклон-нуклонного взаимодействия в отличие от модели Скирма используется более реалистичная непрерывная форма. Эти модификации делают оболочечную модель независимых нуклонов внутренне замкнутой и последовательной.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ
Хотя оболочечная модель независимых нуклонов по определению не учитывает одночастичные корреляции между нуклонами, их влияние можно учесть косвенно. Для этого рассмотрим взаимосвязь между потенциальной энергией Уп р (г) нуклона в оболочечной модели ядра, средним расстоянием
между нуклонами rNN ~ 2r0 и нуклон-нуклонным ядерным взаимодействием v (r). Для последнего известно несколько аппроксимаций, достаточно широко используется модель, называемая потенциалом M3Y [8,9]
v (r) = 7999expi-4r) _ 2i34eiPi-25r)+ v 7 4r 2.5r (5)
+ 26285(r) МэВ,
где значение расстояния r задано в фм. Второе (притягивающее) слагаемое приблизительно моделирует обмен пионами, первое (отталкивающее) слагаемое обеспечивает несжимаемость ядерной материи. Качественный характер взаимосвязи между r0 и параметром V0 оболочечной модели очевиден в двух предельных случаях. При значениях r0, существенно превышающих радиус действия ядерных сил ~1 фм, к отсутствию связных состояний нуклонов в потенциальной яме (1) должна приводить ее малая глубина (—V) ^ 0. В противоположном случае, при
r0 ^ 0, из-за несжимаемости ядерной материи энергии нуклонов должны резко возрастать, что означает (-V0) ^ да. Для количественной оценки взаимосвязи между r0 и V0 рассмотрим приближенно корреляции между состоянием нуклона и двумя нуклонами, зафиксированными на расстоянии rNN = 2r0 друг от друга в малой части атомного ядра. Аналогично известному адиабатическому приближению теории двухатомных молекул [6] найдем s0 (r0) — энергию основного состояния "валентного" нуклона с радиусом-вектором r в поле "псевдомолекулы", состоящей из двух нуклонов, фиксированных в точках с радиусами-векторами r1 иг2:
V(г) = v(|г - Г|) + V(|Г2 - r|) . (6)
Для получения в пределе r0 ^ да из энергии основного состояния б0 (r0) энергии связи дейтона (—2.2 МэВ) требуется изменение нуклон-нуклонно-го потенциала v (r) = v (k1r) с параметром k1 = 0.78.
Будем считать, что параметр V0, задающий глубину потенциальной ямы (1), пропорционален потенциальной функции "псевдомолекулы" U (r0):
U (r,) = v (r0) + S0 (r,), (7)
V0 = CU (r0), C = const, C - 1, (8)
с множителем C, учитывающим влияние соседних нуклонов и приближенный характер проведенных рассуждений.
Решение уравнения Шрёдингера для связных состояний в произвольном аксиально-симметричном поле (6) может быть найдено численным методом из работы [10]. При постановке краевой задачи ограничим движение нуклона пределами цилиндрической области, ось которой соединяет центры двух нукло-
Б, МэВ 0
U, v, б0, МэВ 0
r0, фм
1.5 2.5 3.5
r0, фм
Рис. 1. Свойства модельной двухнуклонной "псевдомолекулы": а — энергии "валентного" нуклона с нулевой проекцией момента на ось симметрии в0 (г0) (сплошная линия) и Е^гО (штриховая линия); б — потенциальная функция и (го) (сплошная кривая) и ее аппроксимация (штриховая линия), нуклон-нуклон-ный потенциал V (г0) (штрихпунктирная кривая) и энергия е 0 (г0) (точечная кривая).
нов. Границей области будут внешние соседние нуклоны, поэтому радиус цилиндра выберем равным 4r0 - rc, а его высоту — равной 6r0 - 2rc. Вычисленные зависимости s 0 (r0) и U (r0) показаны на рис. 1, минимальное значение sm = min {s0 (r0)} (sm « —11 МэВ) близко к типичному значению удельной энергии связи ядер (около —8 МэВ), что свидетельствует о физической обоснованности приближения. Потенциальную функцию U (r0) и параметр V0 (8) можно также аппроксимировать при r0 <1.5 фм непосредственно с помощью нуклон-нуклонного потенциала
U (Г)) = Cuv (х), х = Г) - к2 (Г) - и), (9) где Cu =1.21, к2 = 0.16, ru = 0.85 фм. Энергии нейтронных (n) и протонных (p) состояний ekn\ екр) зависящие от параметра r0, находятся путем численного решения уравнения Шрёдингера, включающего помимо ядерного взаимодействия (1) еще и оператор спин-орбитального взаимодействия [1, 2, 6]
Vls = -b
1 dV r dr
sl,
b = x0 к
2 2 2 2m x0 c
h 2
= 0.022x0 к,
(10) (11)
где 5 и I — операторы спина и орбитального момента, Ь — постоянная спин-орбитального взаимодействия, х0 = 1 фм, т — масса нуклона, с — скорость света, к — безразмерная постоянная. Для протонов к потенциальной энергии (1) добавляется еще и энергия кулоновского взаимодействия. Вместе с энергиями е^-1 (г0), екр) (г0) от параметра г0, очевидно, зависит и энергия основного состояния ядра Ев (г0). Условие минимума ЕВ или максимума модуля \ЕВ\ — энергии связи ядра (4) определяет значение г0 и радиуса Л0 = г0 Адля основного состояния ядра.
б
Схему оценки энергии связи Ев рассмотрим сначала на примере модельной системы из большого числа N > 1 фермионов с парным короткодействующим взаимодействием между ними и (г). Гамильтониан системы
н = I
I
= I
Ь +11 и (( - г] |)
* - 21 и (и - 61)
(12)
N
и ((, N -1) = I и (г? - ]).
(14)
1=1 1
Для оценки энергии связи Ев используем приближения, сходные с приближением Хартри [6]
N
н - I
г=1
n
Ев = I
* - 21 и (И - 61)
21=1 1*1 -
* -11 (И- ])
(15)
(16)
- 2 N - 1)и (0)]^,
где угловые скобки (...) означают усреднение по основному состоянию системы, в частности (и (})) — средняя энергия взаимодействия 1-й частицы с одной из остальных частиц системы
(и (П ) = утл I (И - 61)).
(17)
1=1 \1
Представим величину (и (г)) в виде разности средних энергий взаимодействия г -й частицы с системами, содержащими (N + 1) и N частиц:
{и(Ц)) = и (Ц, N)) - и (Ц, N -1)), (18)
Ев =
(19)
= ^[к< - 2N - 1)((и(Щ) - и((,N -1)))'
С учетом N > 1 запишем формулу для оценки энергии системы в симметричном виде
включает Н( — операторы соответственно кинетической и полной энергии 1-й частицы:
* = ^ + и (г, N -1), (13)
где и Г N -1). — оператор потенциальной энергии взаимодействия 1-й частицы с остальными (N - 1) частицами
Ев =
N
= \ 1-1N (и ( N +1) - и (( N -1)
\ г=1
(20)
Для оценки энергии связи Ев в сферической обо-лочечной модели с дискретным спектром одноча-стичных состояний бк суммирование по частицам заменим на суммирование по занятым уровням с энергией бк и заселенностью gk, а потенциальную энергию и (Г, N) — на среднее значение потенциальной энергии V (г, N) для к-го уровня
Ев (N) =
= I gk [бк -1 N{V (г, N + 1) - V (г, N -1))], (21)
к
где скобками (...) обозначено среднее значение (V (г, N + 1) - V (г, N - 1))к =
= \хк (г) [ (г, N + 1) - V (г, N -1)] г2
(22)
для состояния с радиальной частью волновой функции хк (г), нормированной условием
|хк (г)г2^ = 1.
(23)
Для оценки энергии основного состояния атомного ядра Ев (N, Z) в оболочечной модели можно использовать аналогичную (23) формулу, примененную с учетом (2), (3) по отдельности к нейтронам (п) и протонам (р):
Ев N, Z) = Еп (N, Z) + Ер N Z),
(24)
Ев N ) = I g(ln) ^вкп) - 4 а (N1^^ (г, N + 1, Z)-Vn (г, N -1, Z)) + Z(Vn (г, N Z +1) - Vn (г^, - 1))кк})] ■
к
+ I gкp) [4р) - 4 а (N V (г, N + 1, Z)- Vp (г, N -1,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.