ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2015, № 2, с. 44-54
УДК 550.831+838
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД S-АППРОКСИМАЦИЙ. РЕГИОНАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ
© 2015 г. Д. Н. Раевский, И. Э. Степанова
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва E-mail: tet@ifz.ru Поступила в редакцию 24.03.2014 г.
В работе приводится описание модифицированного метода S-аппроксимаций исходного элемента поля в региональном варианте, когда необходимо учитывать сферичность Земли. Приводятся результаты математического эксперимента.
Б01: 10.7868/80002333715020106
1. ВВЕДЕНИЕ
Две версии метода 8-аппроксимаций (локальная и региональная) являются вариантами метода линейных интегральных представлений; основные характеристики этого метода изложены в работах первого автора (см., например, [Страхов и др., 2000; Страхов и др., 2002а; Степанова, 2009а; Степанова, 20096; Степанова, 2008; Степанова, 2007] и т.д.). Метод 8-аппроксимаций хорошо зарекомендовал себя при решении самых разнообразных задач гравиметрии интерпретационного характера, в том числе при построении трансформаций аномалий силы тяжести в случае, когда сферичностью Земли можно пренебречь. Однако, в силу конструктивных особенностей решения линейных обратных задач геофизики с помощью метода интегральных представлений, невязка между исходным элементом поля и полем, построенным в результате 8-аппроксимации, минимизируется в пространстве функций, интегрируемых на носителе эквивалентных масс. Такая постановка обратной задачи по поиску распределения масс, эквивалентного по внешнему полю, позволяет получить аналитические выражения для аппроксимируемого элемента. Но при этом теряется существенная часть информации о носителе масс: о его гладкости, симметрии, приблизительной локализации. Постановка обратной задачи по поиску плотности распределения в классе равномерно непрерывных или, что еще предпочтительнее, равномерно дифференцируемых функций, приведет к значительному усложнению алгоритма. Возникает, в связи с этим, проблема выбора такой постановки, в которой сочетались бы простота и наиболее полный учет априорной информации об объекте изучения. В региональном варианте 8-аппроксима-ций выбор стабилизирующего функционала имеет еще большее значение по сравнению с локальной версией того же метода: обусловленность систе-
мы линейных уравнений (СЛАУ), к которой сводится решение обратной задачи, становится "совсем плохой". Объясняется данный факт тем, что уменьшается величина диагонального преобладания элементов матрицы системы. Ранг СЛАУ также становится меньше, и мы оказываемся в ситуации, когда нужно найти характеристики источника по недостаточно емкой информации о поле. Поэтому возникает идея "настройки" метода в зависимости от априорной информации об аномальном поле: максимальном и минимальном значениях аномалии, симметрии поля, глубине залегания источников, плотностях пород, данных других методов исследования геофизической среды.
Кроме того, при построении трансформаций аномалий силы тяжести (нахождении пространственного распределения поля и его производных, разделении полей, осреднении, сглаживании, пересчете их в некоторые другие функции и др.) необходимо учитывать присущее гравитационному потенциалу и его производным так называемое свойство аддитивности.
Наблюдаемые гравитационные аномалии Буге являются суммарными аномалиями, представляющими совокупность аномалий обусловленных структурно-тектоническими особенностями осадочного чехла земной коры, строением кристаллического фундамента, глубинным строением Земли и верхней мантии и другими геологическими факторами.
Как было ранее отмечено в работе [Степанова, 2009], любая трансформация гравитационных аномалий выполняется на основе априорных предпосылок (диапазон глубин, в котором заключены источники аномалий, либо минимальные и максимальные значениями градиента поля и др.). При трансформациях полагают, что порядок интенсивности и размеров аномалий силы тяжести соответствуют порядку геологических структур.
К числу важнейших трансформаций гравитационных полей и наиболее широко употребляющимся относятся аналитическое продолжение в верхнее и нижнее полупространство, а также вычисление горизонтальных и вертикальных производных. В региональном варианте в качестве вертикальных производных потенциала выступают производные по радиусу.
Значительное внимание уделялось в разведочной геофизике вычислению производных — высших по отношению к измеряемому элементу поля. Высшие производные находятся с погрешностью из-за очевидной некорректности задачи [Тихонов и др., 1990; Ягола и др., 2014].
Как известно, большинство процедур трансформаций (аналитическое продолжение в сторону возмущающих масс, пересчет в высшие производные потенциала), обладающих наибольшей разрешающей способностью, являются неустойчивыми.
В настоящее время существует большое количество методов трансформации потенциальных полей, достаточно широко опубликованных в геофизической литературе. Недостатком большинства существующих методов является их неадекватность реальной геофизической практике (в них часто не принимается во внимание нерегулярность и разновысотность гравиметрических сетей; присутствуют также и другие идеализации).
Развиваемый В.Н. Страховым в рамках метода интегральных представлений аппроксимацион-ный подход позволяет принципиально по-новому решать ряд вопросов трансформаций потенциальных полей. В данной статье рассмотрены алгоритмы и компьютерные технологии нахождения линейных трансформаций потенциальных полей (нахождение пространственного распределения поля и его производных, разделение полей) на основе модифицированного метода 8-аппрок-симаций. Приводятся также результаты опробования компьютерных программ на модельных примерах. Подробное описание метода линейных интегральных представлений и, в частности, двух его вариантов: метода F-аппроксимаций (основанного на преобразовании Фурье) и метода 8-аппрок-симаций (основанного на представлении гармонической функции в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев) — приводится в монографии [Страхов и др., 2009].
В данной работе в модельных примерах предполагается, что плотность источников гравитационного поля постоянна. Однако это предположение не ограничивает общности. Результат построения линейных трансформаций зависит существенным образом от свойств матрицы системы линейных алгебраических уравнений, к которой редуцируется задача интерпретации, если мы применяем метод линейных интегральных представлений. Поскольку представления линейные, то умножение
плотности на ненулевой множитель влечет за собой пропорциональные изменения компонентов вектора решения системы. Однако, чтобы не привносить в решение задачи дополнительные ошибки при выполнении расчетов на ЭВМ, рекомендуется учитывать норму правой части СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений). Правая часть такой системы представляет собой измеренные тем или иным способом элементы аномального гравитационного поля — силу тяжести, горизонтальный градиент и т.п. Можно осуществлять вычисления и с нормированной правой частью. В этом случае полученный вектор решения СЛАУ необходимо умножить затем на норму правой части.
В следующих разделах статьи будут даны основные формулы, с помощью которых можно строить линейные трансформации полей на основе модифицированного метода 8-аппроксима-ций в локальном случае — т.е. когда не нужно учитывать кривизну земной поверхности.
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА В РЕГИОНАЛЬНОМ ВАРИАНТЕ. МОДИФИЦИРОВАННАЯ S-АППРОКСИМАЦИЯ
Для нахождения производных гравитационного поля в некоторой совокупности точек Mv с координатами х(v) = (x{v), x3v)), из внешности СЕ
некоторой области E с R3 в рамках метода линейных интегральных представлений [Страхов, 1999] необходимо действовать следующим образом.
Пусть D — сфера, описываемая уравнением r = const = R.
По заданным плотностям р1(^1, е L2(D) и p2(^i, %2) е L2(D) простого и двойного слоев мы должны найти совокупность ограниченных линейных функционалов вида
+
Jp2&, M^l, ^2)d £id S = 1,2,...,
(1)
где для всех s
Ipff = J(P1W)2fe, S2MS1, ^¥^2 < +».
(2)
В формулах (1) и (2) 2,2) — мера на поверхности D.
D
D
D
D
В дальнейшем в роли области Е у нас будет выступать "идеальная" Земля, а роли внешности такой идеальной Земли — реальная Земля.
Представим себе идеализированную Землю как внутренность сферы радиуса Д. Реальная Земля тогда может трактоваться как область трехмерного пространства, ограниченная замкнутой кусочно-непрерывной поверхностью Б, незначительно отклоняющейся от сферы радиуса До. Предполагается, что приближенные значения функции О(х), гармонической вне этой сферы, заданы в произвольном множестве точек х(,), I = 1, 2, ... N на поверхности 8:
fi,s = f + f
f = gcA
(3)
, 2n ;
= t SS
R Г fg(Q, ф) sin QdQdф
o o
Щ,- x)
. 2n ;
+
— SS
4n J J
w(Q, ф)(Д0 - r cos Q')sin QdQdф
4n
R 3(£- x)
2n :
- (x)=4n SS
5 ( 1
1 SV©_
4n¿\ R(£- x) dn
0 0
(5)
- V©-
dn ^ R(2, - x
sin dd&d ф,
где п — внешняя нормаль к единичной сфере (мы
5
можем написать —, г — радиальная координата
дг
радиус-вектора х).
Условно-вариационная задача для а и м> [Страхов, Степанова, 2002а] имеет следующее решение:
N
а(|) = X
Í=1
(6)
WI) = X I = & Ф), I = (R, э, Ф),
Í=1
где Q(V>(S) и Q¡¿I(Z) представляются в виде
-,(2)
=
1
, ef© =
R0 - r cos Э'-
(7)
Так как О(х) гармонична при г > Д0, она имеет следующее интегральное представление:
0 0""^ (4)
R(£, - x) = (R02 - 2R0r cos Q' + r2),
2, = (R0cos ф sin Q, R0sin ф sin Q, R0cos Q),
x = (r cos ф sin Q, r sin ф sin Q, r cos Q), cos Q' = sin Qsin Qcos^ - ф) + cos Qcos Q.
Функция a (&, ф) в (4) называется плотностью простого слоя, распределенного на сфере радиуса До, w(&, ф) — плотность двойного слоя, распределенного на той же сфере; R(^ - x) — расстояние между текущей точкой сферы £, и точкой наблюдения х. Правую часть (4) можно дифференцировать по различным координатам точки наблюдения; получающиеся в результате производные
(например, dV — радиальная производная грави-dr
тационного потенциала) не обязательно являются гармоническ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.