научная статья по теме МОНОТОННАЯ ВЫСОКОТОЧНАЯ КОМПАКТНАЯ СХЕМА БЕГУЩЕГО СЧЕТА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Математика

Текст научной статьи на тему «МОНОТОННАЯ ВЫСОКОТОЧНАЯ КОМПАКТНАЯ СХЕМА БЕГУЩЕГО СЧЕТА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2011, том 440, № 2, с. 172-177

ИНФОРМАТИКА

УДК 519.6

МОНОТОННАЯ ВЫСОКОТОЧНАЯ КОМПАКТНАЯ СХЕМА БЕГУЩЕГО СЧЕТА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА © 2011 г. Б. В. Рогов, М. Н. Михайловская

Представлено академиком Е.И. Моисеевым 29.04.2011 г. Поступило 29.04.2011 г.

Уравнения и системы уравнений гиперболического типа составляют значительную часть математических моделей, используемых для решения разнообразных прикладных задач [1]. Среди них широкий класс задач связан с нахождением обобщенных решений, которые описываются кусочно-гладкими функциями и могут иметь скачкообразный характер. Важнейшее свойство, которому должны удовлетворять разностные схемы сквозного счета для численного решения данного класса задач, — монотонность [1]. Поэтому построению монотонных схем посвящена обширная литература [1].

В работе [2] для линейного уравнения переноса предложены бикомпактные разностные схемы, имеющие на двухточечном шаблоне четвертый порядок аппроксимации по пространственной координате. Среди них схема первого порядка аппроксимации по времени является монотонной. На ее основе в [2] построена гибридная квазимонотонная схема, имеющая на гладких решениях третий порядок точности по времени. Обе схемы являются абсолютно устойчивыми и экономичными. Расчет по ним ведется по явным формулам бегущего счета.

В настоящей работе схемы [2] обобщены на случай квазилинейной системы уравнений гиперболического типа, описывающих законы сохранения. Обобщенные схемы являются консервативными, абсолютно устойчивыми, а также монотонными в широком диапазоне значений локального числа Куранта. Расчет по схемам осуществляется по явным формулам бегущего счета, что говорит о простоте реализации предложенных схем. В построенных схемах не использованы искусственная вязкость и какие-либо ограничители потоков (см., например, [3]). Приведены ре-

Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный Московской обл.

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской Академии наук, Москва

зультаты расчетов, демонстрирующие точность предложенных схем и их монотонность при решении тестовых задач для квазилинейного уравнения Хопфа.

1. КОМПАКТНАЯ СХЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ ПО ВРЕМЕНИ

Рассмотрим сначала смешанную задачу Коши [4] для одного квазилинейного гиперболического уравнения, записанного в дивергентном виде:

ut + f (u) = 0, a (u) = df(u) > 0, x du

(1)

u(x,0) = u0(x), x > 0; u(0,t) = ц(0, t > 0. Разностную схему для начально-краевой задачи построим с помощью метода прямых и интегро-интерполяционного метода [5]. Для этого введем неравномерную сетку {Xj, j > 0} на интервале [0, да). На временном слое t = const проинтегрируем уравнение (1) на отрезке Xj < x < Xj + 1, используя формулу Симпсона [4]

Xj+1 h

J F (x)dx = J (FJ+l + 4Fj+i/2 + Fj) + O(hj+1),

(2)

к]+1 _ +1 , для F(x) = и. В результате получим дифференциальное по I и разностное по х уравнение

6 (/+1 + 4И]+1/2 + Ы]), = -1 (/у+1 - ) ,

/] = //Ы]), ] > 0,

выполняющееся с точностью до 0(Н4) на точном решении уравнения (1). Здесь и в дальнейшем индекс при пространственном шаге Н опущен.

Вычислим интегральное среднее от функцииДи)

^=h Jf (

u)dx

(4)

x

x

на отрезке Xj < x < Xj+1 двумя различными способами с точностью до O(h4): по формуле Симпсона (2) и по формуле Эйлера—Маклорена [4]

xj+i 2

\ F(x) dx = h (Fj+i + Fj) - h-j - Fj) + 0(h5) (5)

значением Uj + 1/2 в полуцелом узле и значениями функций u и v в целых узлах:

f (u)

1 (vj+1- vJ ) = WJ+1 =

для F(x) . В результате получим соответ-h

ственно следующие формулы:

Wj+i = 6 ((+i + f+i/2 + fj) + 0(h4), (6) 6 (6)

fj+1/2 = f (uj+1/2 ),

w+i=f+f,)-f 0(h). (7)

Исключим из формулы (7) значения производной fx в целых узлах с помощью уравнения (1), а затем приравняем друг другу выражения (6) и (7). В результате получим дифференциальное по t и разностное по x уравнение

h(+1 - Uj) = -(+1 - ^fj+1/2 + fj) , j * 0, (8)

выполняющееся с точностью до O(h4) на точном решении уравнения (1).

Приведенные выше выкладки для скалярного уравнения (1) можно полностью повторить и в случае системы уравнений

u,+f (u) x = a (9)

где u(x, t) — искомая вектор-функция c m компонентами, f(u) — заданная вектор-функция размерности m. В результате можно получить системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), аналогичные (3), (8).

Важно отметить, что дифференциально-разностная схема (3), (8) может быть решена методом бегущего счета. Пусть функция uk(t) известна (например, при к = 0 она известна из граничного условия (1)), тогда из системы ОДУ (3), (8) при j = к можно определить две функции ик + 1/2(t), ик + 1(t) при заданных начальных данных, которые определяются из начального условия (1). Это означает, что ик + 1//2(t) являются вспомогательными функциями при расчете функций ик+1(t) в целых узлах. Фактически схема (3), (8) является двухточечной компактной (т.е. бикомпактной по терминологии работ [6, 7]) схемой.

Введем, как в работе [7], первообразную функцию v от f(u)

Vx = f (u) . (10)

Интегрируя это уравнение на отрезке xj < x < xj + 1 и используя формулу (6), получим связь между

h

= 1 [ (Uj+1) + 4f (Uj+1/2) + f (Uj)] + 0(h4). (11) 6

Далее, исключая из схемы (3), (8) функцию и+1/2(t) с помощью формулы (11), можно получить бикомпактную схему для определения функций uy(t), Vj(t) в целых узлах сетки. Однако в отличие от схемы (3), (8) эту схему намного сложнее решать за исключением случая, когда функция f(u) является линейной:

f (u) = au, a = const > 0. (12)

В этом случае схема (3), (8) после исключения из нее функции uj + 1//2(t) с помощью формулы (11) переходит в бикомпактную дифференциально-разностную схему работ [2, 7] для определения функций uy(t), Vj(t) в целых узлах. Рассматривая функции uj + 1//2(t) в бикомпактной схеме (3), (8) как вспомогательные функции, которые подобны функциям Vj(t) в бикомпактных схемах [2, 7], перепишем систему ОДУ (3), (8) в следующем виде:

6(( + 4wj+1 + uJ)t = -1 f (uJ+1 ) - f (uj)], (13)

j > 0,

h

-(+1 - и}] = -[/(+1) - 2/(+1) + /()], (14) 1 > 0,

где (1) = и1 -1/2 (1) .

Введем неравномерную сетку {1п, п > 0} на интервале [0, да). Заменяя производные по времени в системе ОДУ (13), (14) какими-либо разностными аппроксимациями, получим множество разностных схем для численного решения уравнения (1). Например, если производные по времени на расчетном слое I = 1п + 1 аппроксимировать разностями назад, то получим разностную схему

1 (+1 + +1 + и1) + г [/ (() - / (и1)] =

6

= - (uj+1 + 4wnj+1 + uj), j > 0, 6

1 (uj+1 - uj) + r f j - 2f (w+1) + f (uj)] =

4

1.

(15)

(16)

= 4(^+1 - иД 1 > 0.

Здесь верхний индекс п + 1 при значениях сеточных функций на рассчитываемом слое I = 1п +1

опущен; г = т , т = 1п +1 — 1п — временной шаг. Не-

явная схема (15), (16) имеет первый порядок аппроксимации по времени и является Х-устойчи-вой [8], а следовательно, и абсолютно устойчи-

x

вой. Решение разностных уравнений (15), (16) может быть найдено методом бегущего счета.

2. МОНОТОННОСТЬ

Исследуем монотонность схемы (15), (16) сначала в случае линейной функции (12). Уравнения (15), (16) с учетом (12) примут следующий вид:

(6 + У)] + 2 ^+1 + (61,

у Ы]

6

(Ыу+1 + 4^+1 + ып), ] > 0,

(^ + У) Ы]+1 - 2Ук;+1 -

4

-у)Ы]

1 / П П\

= 4(Ып+1- Ыn■),

] > 0,

(17)

(18)

где у = аг — число Куранта.

Анализ монотонности схемы (17), (18) проведем, следуя методике классической работы [9]. Полагая, что любую ограниченную монотонную сеточную функцию можно представить как линейную комбинацию простейших монотонных ступенчатых функций, рассмотрим свойство монотонности (по Годунову [9]) схемы (17), (18) на этих функциях.

Рассмотрим задачу (1) с монотонно убывающей начальной функцией, имеющей вид ступеньки,

Ыо(х) =

0,

0 < х < 1, х > 1,

(19)

и граничным условием

= 2, г > 0. (20)

Для упрощения последующих выкладок положим, что пространственная сетка — равномерная.

Дифференциальная задача (1), (19), (20) с разрывным начальным условием аппроксимируется разностной схемой (17), (18) со следующими начальными и граничными условиями:

[2, 0 < j < ]о, ] > ]0, 1 < ] < ]0, ] = ]0 + 1, ] > ]0, п > 0.

0,

к,

(21)

п

ы0 = 2,

Здесь ]0 х Н = 1; значения сеточной функции берутся равными и0(ху- _ 1//2) в разностных ячейках с номерамигде функция и0(х) непрерывна, и равными 0.5[и0(ху) + и0(ху- - 1)] в ячейках, где функция и0(х) является разрывной.

На одном временном шаге разностные уравнения (17), (18) переведут монотонно убывающее начальное условие Ы 0 в сеточную функцию

1

Ы =

Р1

Р2

2, 0 < ] < ]0, Pl, ] = ]0 + 1

р2^)-1, ] > ]0 + 1,

2

2,1 , 1 ' у +—у +—

Г 12

2

У

-1 у + ^ _12

2,1 , 1 ' у +-у +—

Г 12

которая монотонно убывает при любом у > 0. В то же время перейдет в сеточную функцию 2, 1 < ] < ]0, Рз, ] = ]0 + 1, Р4, ] = ]0 + 2,

к,-

Р2К;-1, ] > ] + 2,

Рз = 2

2,3 ,1 у +-ун— 8 24

у2 + 1 у + 1' Г 12

2

У

Р4 = Р1

± 24

2,1 , 1 ' у +-у +—

2 12

у>-

0.204.

(22)

которая монотонно убывает при выполнении условия

1

л/24

Отметим, что немонотонность к1 при нарушении условия (22) мала: р4 > —0.032.

Аналогичные выкладки для (17), (18) показывают, что эта разностная схема также переводит монотонно возрастающее начальное условие в форме элементарной ступенчатой функции в монотонно возрастающую сеточную функцию при выполнении условия (22). Численный анализ показал, что и при дальнейшей эволюции разностных решений, рассчитываемых по схеме (17), (18), их монотонность сохраняется. Отметим, что схема (17), (18) является также сильно монотонной согласно терминологии работ [10, 11].

Исследование монотонности схемы (15), (16) в случае произвольной нелинейной функции /(и) затруднительно. Поэтому ограничимся анализом свойств монотонности схемы (15), (16) для урав-2

нения (1) с /(и) = —, т.е. для уравнения Хопфа [12]: 2

иг + а(и)ых = 0, а(и) = и > 0. (23)

В уравнении (23) величина а(и) = и является локальной скоростью переноса. Этой скорости со-

и 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

1.95

2.00

2.05

х

Рис. 1. Решения уравнения Хопфа с начальными и граничными ус

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком