БИОЛОГИЧЕСКИЕ МЕМБРАНЫ, 2007, том 24, № 2, с. 175-182
УДК 557.353.465
____V ___
МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫИ АНАЛИЗ АКТИВНОСТИ К-КАНАЛОВ
© 2007 г. В. Н. Казаченко, М. Е. Асташев, А. А. Гриневич
Институт биофизики клетки РАН, 142290 Пущино Московской области; тел: (495) 925-59-84; факс (4967) 33-05-09; электронная почта: kazachenko@icb.psn.ru
Поступила в редакцию 24.07.2006 г.
Для анализа активности Са2+-активируемых К+-каналов (КСа-каналов) в культивируемых почечных клетках Vero и потенциалозависимых К+-каналов (Ку-каналов) в нейронах моллюска Lymnaea stag-nalis использовали мультифрактальный анализ нестационарных временных рядов. На мультифрак-тальный характер активности KCa- и Ky-каналов указывают следующие экспериментальные данные. 1. Обобщенная флуктуационная функция Fq(l) сильно зависит от обобщенного индекса (порядка момента) q, в то время как для монофрактальных процессов такая зависимость отсутствует. 2. Зависимость масштабного показателя т стандартного мультифрактального анализа от q имеет два наклона и переходную область, в то время как для монофрактального процесса эта зависимость линейна. 3. Зависимость спектра сингулярностей f от показателя Херста h имеет характерную коло-колообразную форму, в то время как в идеальном случае для монофрактальных процессов эта зависимость представлена лишь одной точкой f (h) = 1. Случайное перемешивание сужает спектр f(h) и смещает его в сторону, характеризующую случайные (монофрактальные) процессы с h ~ 0.5.
Метод нормированного размаха (Херст-метод, Я/5-анализ) [1], быстрое Фурье-преобразование и вейвлет-преобразование [2, 3] можно отнести к традиционным способам анализа фрактальных процессов. Для анализа временных рядов Са2+-ак-тивированных К+-каналов мы применили сравнительно новый метод исследования, заключающийся в измерении локальных показателей Херста и его среднего значения [4] на основе дискретного вейвлет-преобразования. Недавно для анализа мультифрактальных процессов был развит эффективный метод мультифрактального анализа [5], который мы использовали для анализа активности КСа-каналов в культивируемых почечных клетках Vero, а также потенциалозависимых К+-каналов (Ку-каналов) в нейронах моллюска Lymnaea stagnalis (большой прудовик).
Данные мультифрактального анализа подтвердили наши предыдущие выводы о том, что активность К+-каналов является мультифрактальным процессом.
МЕТОД МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Мы используем метод Кантельхардта и соавт. [5], развитый ими для характеристики нестационарных временных рядов, который в свою очередь основан на обобщенном бестрендовом флуктуаци-онном анализе (БФА) [6]. Метод мультифрактального бестрендового флуктуационного анализа будем обозначать МФ-БФА. Авторы [5] соотносят свой метод со стационарным мультифрактальным формализмом и доказывают, что оба метода экви-
валентны для стационарных сигналов с компактным носителем.
Суть метода. Для дискретного ряда {хк} обобщенный МФ-БФА метод состоит из пяти шагов:
1. Определение "профиля"
i
Yi =£[ xk - < х>], i = 1, 2,..., N.
к = 1
Вычитание среднего значения <х> необязательно, поскольку оно выполняется при операции удаления тренда (шаг 3).
i
Yr = £ Хк, i = 1, 2N, (1)
к = 1
где N - число членов в исследуемом ряде {хк}.
2. Разделение ряда {Y} на Nl неперекрывающихся интервалов одинаковой длины l.
3. Вычисление локального тренда yv(i) и дисперсии методом наименьших квадратов на каждом из N интервалов:
i
F2(l,v) = I£[Y(v-I,i+-yv(i)]2 (2)
i = 1
для каждого сегмента v = 1, 2, ... Nl,yv(i) - полиномиальная подгонка в сегменте с номером v. Она может быть линейной, квадратичной, кубической и т.д.
4. Усреднение по всем сегментам ряда для получения обобщенной флуктуационной функции (fluctuation function) порядка q:
N 2[ ^ 1'у)]'/2
,1/д
(3)
V = 1
где индекс д в принципе может принимать любые значения, кроме д = 0 [5]. При д = 2 формула (3) соответствует БФА-процедуре.
Шаги 2-4 повторяют для различных значений д и 1, причем д изменяют в линейной зависимости, а 1 - в степенной.
5. Подобно Я/З-анализу, определим масштабное поведение флуктуационной функции путем анализа наклонов зависимости Ед(И) от 1 в двойных логарифмических координатах, учитывая, что ^(1) растет с увеличением 1 по степенному закону:
К (1) ~ 1
,к (д)
(4)
нарной последовательности тренд отсутствует. Следовательно, БФА можно заменить стандартным флуктуационным анализом (ФА), который идентичен БФА, за исключением более простой процедуры определения вариации для каждого сегмента V, V = 1, 2, ... N на 3-м шаге.
^ФА( 1> ^ = [Yvl— -1)1]2-
(5)
(V-1)И
Подставляя это упрощенное определение в уравнение (3) и учитывая соотношение (4), получаем:
1
N 217 V1
11/д
- 7,
(V — 1 )1|
,к(д)
(6)
V = 1
Ввиду того, что N 1 = N/1, подставим в (6) N/1 вместо N и возведем обе части в степень д:
Для стационарных временных рядов величина к(д = 2) хорошо известна как показатель Херста Н [7]. Следовательно, функцию к(д) можно считать обобщенным показателем Херста. Для монофрактальных временных рядов к(д) не зависит от д, поскольку поведение флуктуационной функции ^2(1, V) при изменении масштаба 1 идентично для всех сегментов V, и процедура усреднения в уравнении (3) будет давать идентичное масштабное поведение для всех значений д. Значительная зависимость к(д) от д будет наблюдаться только в том случае, когда отличаются малые и большие флуктуации. Если рассмотреть положительные значения д, то сегменты V с большим значением флуктуационной функции Р2(1, V) (большие отклонения от тренда) будут давать больший вклад в среднее значение Fq(l). Другими словами, для положительных значений д зависимость к(д) описывает поведение сегментов с большими флуктуациями при различных масштабах рассмотрения. Как правило, для мультифрактальных рядов большие флуктуации характеризуются малой величиной показателя к(д). Напротив, для отрицательных значений д сегменты V с малой величиной ^(1, V) определяют среднее значение Fq(l). Следовательно, для отрицательных значений д функция к(д) описывает поведение сегментов с малыми флуктуациями при различных масштабах рассмотрения, которые обычно характеризуются большими значениями к(д).
Связь МФ-БФА с обычным мультифракталь-ным анализом. Для стационарного, нормализованного ряда с компактным носителем мультифрак-тальный масштабный показатель к(д), определяемый уравнением (5), прямо связан с масштабным показателем т(д), определяемым стандартной функцией, задающей мультифрактальный формализм.
Допустим, что ряд хк длины N является стационарной нормализованной последовательностью. В таком случае процедура исключения тренда на 3-м шаге МФ-БФА метода не нужна, так как в стацио-
N/1
И
V = 1
7 V! — 7
(V — 1)
д ~ 1дк(я)—1
(7)
Последнее выражение соответствует мульти-фрактальному формализму, используемому, например, в [7]. Чтобы найти связь полученных соотношений с обычной процедурой подсчета ячеек [7], мы используем определение профиля в уравнении (1). Очевидно, что величина 7vl —7(v - 1)1 в уравнении (7) эквивалентна сумме членов хк внутри каждого сегмента V размера 1. В мультифракталь-ном формализме для нормализованного ряда эта сумма называется вероятностью ячейки р^):
vl
Р1 М= 2 Хк = 7vl — 7 (V — 1)1. (8)
к = (V — 1)1 + 1
В большинстве случаев масштабный показатель т(д) определяют через функцию распределения Zq(1):
N /1
zq (1) = 2 р (V)!д
/
'Т(д)
(9)
где д - действительный параметр, соответствующий аналогичному параметру в методе МФ-БФА (см. выше). Иногда т(д) определяют с противоположным знаком [7]. Сопоставляя уравнения (7), (8) и (9), получаем:
т(д) = дк(д) — 1. (10)
Заметим, что к(д) отличается от обобщенной фрактальной размерности:
п (д ) = тМ = дк ( д) — 1
П(д) = д—1 д — 1 '
(11)
которую иногда используют вместо т(д). В то время как к(д) не зависит от д для монофрактальных последовательностей, П(д) в этом случае зависит от д. Как следует из (11) при д = 0, П(0) = -т(0) = 1.
V = 1
Другой способ описания мультифрактального процесса состоит в построении спектра сингулярности f (а), связанного с T(q) следующим образом:
а = Т(q) и f (а) = qа - т(q). (12)
Указанная пара уравнений была выведена Феде-ром [7]. Она описывает преобразование Лежандра от независимых переменных т и q к независимым переменным f и а. В (12) а является степенью (интенсивностью) сингулярности (или экспонентой Липшица - Гёльдера), в то время как f(а) определяет размерность подпоследовательности, которая характеризуется данным значением а. Используя уравнение (10), мы можем непосредственно связать а и f (а) с h(q):
а = h(q) + qh(q) и f(а) = q[а- h(q)] + 1. (13)
Поскольку для каждого q мы однозначно определяем h, а, f то с помощью вышеприведенных выражений можно записать:
f (а) = f( h) = q2f-+1. (14)
Авторы полагают [5], что можно различить два типа мультифрактальности в дискретных рядах: 1) мультифрактальность, обусловленную широкой областью определения функции плотности вероятности последовательности (в этих случаях мультифрактальность не может быть удалена случайным перемешиванием ряда); 2) мультифрактальность, обусловленную различными корреляциями в широких пределах времени как малых, так и больших флуктуаций (в этом случае функция плотности вероятности ряда может быть регулярно распределена внутри конечных моментов, а сам ряд может иметь, например, гауссово распределение). Случайное перемешивание временного ряда будет давать ряд без мультифрактальности, поскольку при перемешивании временные корреляции разрушаются. Если присутствуют оба типа мультифрактальности, то перемешивание приведет к ослаблению мультифрактальных свойств (например, к сужению спектра сингулярности).
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Методы регистрации и обработки записей токов через одиночные ионные каналы, а также способ получения последовательностей времен жизни каналов были описаны ранее [8]. Для мультифрактального анализа мы использовали записи активности Са2+-активируемых К+-каналов (КСа-каналы) культивируемых почечных клеток Vero и потенциа-лозависимых К+-каналов нейронов моллюска L. stagnalis (Ку-каналы). Ранее мы приводи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.