научная статья по теме МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ И СИНХРОНИЗАЦИЯ ХАОСА В ОТОБРАЖЕНИЯХ С “ВНУТРЕННЕЙ” СВЯЗЬЮ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ И СИНХРОНИЗАЦИЯ ХАОСА В ОТОБРАЖЕНИЯХ С “ВНУТРЕННЕЙ” СВЯЗЬЮ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2008, том 53, № 6, с. 702-712

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ

УДК 517.9

МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ И СИНХРОНИЗАЦИЯ ХАОСА В ОТОБРАЖЕНИЯХ С "ВНУТРЕННЕЙ" СВЯЗЬЮ © 2008 г. А. В. Шабунин, В. В. Астахов, В. В. Демидов, А. В. Ефимов

Поступила в редакцию 31.03.2006 г.

Рассмотрены бифуркационные механизмы разрушения полной синхронизации хаоса и формирования мультистабильности в системе с однонаправленной "внутренней" связью. Описана последовательность стадий разрушения хаотической синхронизации. Проведен количественный анализ хаотической синхронизации.

ВВЕДЕНИЕ

Изучение явления синхронизации хаоса во взаимодействующих осцилляторах является одним из интенсивно развивающихся направлений нелинейной динамики. На сегодняшний день, начиная с первых работ по этой тематике [1-3], получено много интересных результатов. Рассмотрены разные типы синхронного поведения: полная, обобщенная, частотная и фазовая хаотическая синхронизация. Выявлены условия синхронизации хаоса, бифуркационные сценарии формирования и разрушения синхронных режимов. Ведутся исследования по созданию критериев диагностики и измерения степени синхронизации.

Один из типичных видов синхронного поведения - полная синхронизация хаоса, когда хаотические колебания во всех взаимодействующих осцилляторах идентичны. Механизмы формирования и разрушения полной синхронизации в идентичных и слабонеидентичных осцилляторах достаточно хорошо изучены. Например, для систем с удвоениями периода известно, что эти механизмы определяются бифуркациями седловых периодических орбит основного семейства (т.е. тех орбит, на базе которых аттрактор сформирован). Сценарий разрушения синхронизации определяется последовательностью бифуркаций этих орбит, которая в свою очередь зависит от вида связи между осцилляторами. Процесс потери синхронизации имеет довольно сложный характер и, как правило, здесь выделяются несколько этапов: пузырящееся поведение (в англоязычной литературе "bubbling behaviour") [4, 5], изрешечивание бассейна притяжения синхронного аттрактора ("riddled basins") [6], бифуркация прорыва ("blowout bifurcation") [5]. В настоящее время хорошо известно как происходит разрушение хаоса в системах с диффузионной и линейной связью (см., например, [7-9]). В то же время интересно рассмотреть и другие типы связи, которые могут приводить к некоторым особенностям в механизмах синхронизации. Одним из таких видов связи можно считать так называе-

мую "внутреннюю" связь, когда переменные одного из осцилляторов оказываются непосредственно включенными в уравнения второго. Данный вид связи используется, в частности, для моделей систем скрытой передачи информации посредством хаотической несущей.

1. ИССЛЕДУЕМАЯ СИСТЕМА, СИНХРОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ

Рассматривается система двух идентичных логистических отображений с однонаправленной внутренней связью:

х ( п +1) = / ( X (п)), У( п +1) = /(у( п) + е( х( п) - у( п))),

где ^х) = Хх(1 - х). Логистическое отображение представляет собой одну из базовых моделей нелинейной динамики. При увеличении параметра X оно описывает универсальный переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Первое уравнение обозначает управляющую (ведущую) систему, второе - управляемую (ведомую). Связь устанавливается посредством включения переменной ведущей системы в переменную ведомой, ее интенсивность задается параметром е. Если е = 1, то хп + 1 = уп + 1 и две системы гарантированно синхронизированы. Если е = 0, то системы независимы друг от друга. В работе рассматривается поведение связанных отображений в интервале между этими двумя пороговыми значениями: е е [0; 1].

Двумерное фазовое пространство системы (1) содержит одномерное инвариантное подпространство I : X = у. Орбиты, лежащие в этом подпространстве, соответствуют синхронным колебаниям. Они удовлетворяют уравнению для одиночного логистического отображения:

Х(п +1) = ХХ(п)(1- Х(п)). (2)

Таким образом, эволюция колебательных режимов внутри подпространства I полностью повторяет эволюцию режимов для логистического отображения. Следовательно, как и в одиночном логистическом отображении, в связанных системах при увеличении X в подпространстве I через каскад бифуркаций удвоения периода формируются хаотические множества. Будут ли соответствующие им колебания наблюдаться в эксперименте, зависит от их устойчивости в полном фазовом пространстве системы (1).

Устойчивость установившихся колебательных режимов, как синхронных, так и несинхронных, характеризуется обычно показателями Ляпунова. Для системы (1) таких показателей два:

N

Лт = 1п X + Нш — У 1п|1-2 х (г )|,

N N ^

Л, = 1п X + 1п 11 - е| +

+ Иш— У 1п| 1 - 2у(г)-2е(х(г) - у(г))|.

N -л™«

(3)

(4)

N N

г = 1

Здесь Х(г) и у(г) - значения динамических переменных на рассматриваемых предельных множествах. Для синхронных колебаний собственный вектор, соответствующий первому показателю (3), направлен по касательной к прямой I, и поэтому мы будем его называть тангенциальным показателем Ляпунова. Данный показатель характеризует развитие первоначального возмущения вдоль подпространства I. Его знак показывает тип синхронных колебаний: отрицательный - для регулярных (периодических) и положительный - для хаотических. Второй из этих показателей (4) имеет собственный вектор, направленный вдоль оси у, т.е. трансверсально к подпространству I. Поэтому мы будем его называть трансверсальным показателем Ляпунова. При рассмотрении режимов полной синхронизации (X = у) выражение для транс-версального показателя Ляпунова (4) может быть записано в виде

Л± = Лт + 1п 11 - е| .

(5)

1. С изменением знака тангенциального показателя Ляпунова. В этом случае один синхронный режим сменяется другим синхронным режимом.

2. С изменением знака трансверсального показателя Ляпунова. В этом случае синхронный режим сменяется несинхронным.

В последнем случае будем говорить о разрушении режима синхронизации в системе. Вид формулы (5) повторяет соответствующую зависимость для трансверсального показателя Ляпунова в отображениях с диффузионной связью, поэтому и разрушение полной синхронизации хаоса в данной системе с внутренней связью проходит по схожему сценарию.

Рассмотрим зависимость трансверсальной устойчивости синхронных режимов от силы связи. Из вида выражения (5) легко сделать вывод, что в рассматриваемом интервале значений параметра связи трансверсальный показатель Ляпунова всегда меньше тангенциального, отсюда следует, что

1) регулярные синхронные колебания трансверсально устойчивы во всем рассматриваемом интервале связи, тогда как хаотические синхронные колебания устойчивы, начиная с некоторого порогового значения параметра связи:

£с < £ < 1

(£с= 1-ехр (-Л));

Оно характеризует развитие первоначального возмущения в трансверсальном к I направлении, т.е. определяет так называемую трансверсальную устойчивость синхронных колебаний. Если показатель отрицательный, то первоначальное возмущение затухает со временем в трансверсальном направлении и система возвращается в синхронное состояние. Если положительный - сколь угодно малое первоначальное возмущение возрастает в трансверсальном направлении и система уходит от синхронного режима. Таким образом, для синхронных режимов могут наблюдаться два типа бифуркационных переходов.

2) любая бифуркация с синхронными предельными множествами происходит дважды: сначала (при меньшем X) - в тангенциальном направлении, затем (при большем X) - в трансверсальном направлении.

Для синхронных хаотических колебаний, в отличие от синхронных регулярных, величина трансверсального показателя Ляпунова не является исчерпывающей характеристикой устойчивости режима синхронизации. Синхронный хаотический аттрактор, возникший через каскад бифуркаций удвоения периода, включает в себя седловые периодические орбиты, на базе которых он был сформирован. При этом значения трансверсальных показателей Ляпунова этих орбит существенны для устойчивости синхронных хаотических движений. В ряде работ [4, 7] было показано, что в том случае, если ряд этих орбит имеет положительный трансверсальный показатель Ляпунова, режим хаотической синхронизации хотя и сохраняется, но перестает быть грубым. В этом случае чрезвычайно малый внешний шум, непрерывно воздействующий на систему, разрушает режим синхронизации. Система начинает демонстрировать так называемое "пузырящееся поведение", при котором временная реализация разностей динамических переменных Х(п) - у(п) состоит из интервалов синхронного и несинхронного поведения. Поэтому при исследовании процесса разрушения синхронизации, помимо трансверсального показателя Ляпунова, по хаотической траекто-

N

Рис. 1. Бифуркационная диаграмма для синхронных режимов на плоскости параметров е - X.

рии необходимо следить и за соответствующими показателями для встроенных в аттрактор периодических орбит. То есть необходимо проведение бифуркационного анализа седловых периодических орбит, встроенных в синхронный хаотический аттрактор.

2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ОСНОВНОГО СЕМЕЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ

Рассмотрим бифуркации синхронных режимов на плоскости параметров е - X (рис. 1). Одиночное отображение с ростом параметра X демонстрирует каскад бифуркаций удвоения периода, переход

к хаосу и бифуркации слияния лент в закритиче-ской области. Как следует из проведенного выше анализа устойчивости синхронных режимов, связанные отображения (1) будут демонстрировать тот же сценарий внутри подпространства I, причем все регулярные синхронные режимы будут трансверсально устойчивы. Таким образом, при увеличении X внутри I наблюдается каскад тангенциальных бифуркаций удвоения периода периодических орбит основного семейства:

1 С° —► 2С° —► 4С0^ 8С0^ ...

В используемых обозначениях цифра перед буквой означает период орбиты, верхний индекс - задержку во времени колебаний одного отображения относительно другого, а буква - тип орбиты: С - пе-

(а)

2С°

2Сы

2С1

(в)

2С1

-в-

2С°

-е-

Рис. 2. Схематическое изображение структуры фазового пространства в окрестности орбиты 1С0 до трансверсальных би

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком