ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 3, 2004
УДК 621.01.531.8
© 2004 г. Бессонов А.П.
НАДЕЖНОСТЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ
Изложены методы исследования дифференциального уравнения движения плоских механизмов на наличие особых точек. Точки определяют состояние равновесия механизмов при равенстве приведенного момента движущих сил и сил сопротивления. В этих положениях движение механизма может быть застопорено. Включить его теоретически невозможно, а практически затруднительно. Это нарушает надежность механизма при эксплуатации.
Надежность работы любой системы предполагает, что она выполняет предписанные функции без отклонения от требуемых движений. При этом сохраняет прочность звеньев, четкость работы без нарушения режима функционирования в течение всего периода эксплуатации. Обычно под ненадежностью машин понимают поломку деталей, появление трещин или износ кинематических пар, нарушающий точность работы системы, а иногда приводящий к заклиниванию. Это часто приводит к разрушению и выходу из строя всего машинного агрегата.
Однако возможны случаи, когда все технические условия соблюдены при создании и эксплуатации машины, но могут возникнуть непредвиденные нарушения надежности функцирования механизмов. Движение машины в значительной мере зависит от ее собственных динамических свойств, которые описываются с помощью дифференциальных уравнений движения. В инженерных задачах для описания движения машинного агрегата используются обыкновенные дифференциальные уравнения. Коэффициентами этих уравнений являются силы или моменты сил, зависящие от координаты ф или угловой скорости ю ведущего звена, но не зависящие явно от времени t [1], которое принимают за независимое переменное. В математике и прикладной механике такие уравнения называются автономными [2]. Они охватывают большой класс машинных агрегатов различного назначения.
Чаще всего решения таких уравнений строятся в системе координат ф, ю; плоскость ф - ю называют фазовой плоскостью. Здесь следует напомнить о теореме существования и единственности решения этих уравнений. Она говорит о том, что при принятых условиях в каждой точке фазовой плоскости существует единственное решение [3]. С геометрической точки зрения это означает, что через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна интегральная кривая. Если на этой плоскости окажутся точки, которые не удовлетворяют этой теореме, то они называются особыми, т.е. через них не проходит ни одна интегральная кривая или проходят более одной. Ставится вопрос: могут ли существовать такие точки в системе координат ф, ю в соответствии с уравнением движения? Анализ особых точек (если они есть) и их физический смысл укажут на возможные случаи нарушения надежности функционирования машинного агрегата. Их появление грозит невключением механизма, если он оказался неподвижным в особой точке. Проанализируем это на конкретных примерах.
Рассмотрим простейшую модель механизма с постоянным приведенным моментом инерции /п = const. Дифференциальное уравнение машинного агрегата в
этом случае имеет вид Мд(га) - Мс(ф) = JH(dra/dt) или в более удобной для анализа форме
dra = Мд (га ) - М с ( ф ) (1)
dф Jn га '
где Мс(ф), Мд(га) - приведенные к звену моменты сил сопротивления и движущих сил. Проведем общий анализ интегральных кривых на фазовой плоскости.
1) Если в уравнении (1) dra/dф ^ то интегральные кривые пересекают горизонтальную ось на фазовой плоскости под прямым углом.
2) Если dra/dф = 0, то числитель в (1) равен 0, тогда Мд(га) = Мс(ф).
3) Если dra/dф = 0/0, то определенного решения в (1) не существует, т.е. здесь возможны особые точки.
Рассмотрим состояния равновесия машинного агрегата при Jп = const. На фазовой плоскости обозначим точку равновесия механизма с координатами ф0, га0 = 0. Введем малые отклонения x и у от состояния равновесия ф = ф0 + x, га = га0 + У. В малой окрестности точки равновесия имеем
dra= d^) = di Мд(га) = Мд(ra°+y), Мс(ф) = Мс(фо+x)• (2)
Разложим эти функции в степенной ряд, сохраняя величины с малыми величинами не выше первой степени
Мс(ф) = Мс(ф0) + хМС(ф0), Мд(га) = Мд ( ю0) + уМД(ra0). (3)
Переходя к переменным х, у и учитывая, что га0 = 0, получим
dy = У М'д( 0 ) - ХМ'с (фо ) (4)
dx Jny
Рассмотрим состояния равновесия машинного агрегата при JH = JH^). Запишем дифференциальное уравнение машинного агрегата с одной степенью свободы в фазовых координатах ф, га
dra dJn (ф)га2 мд (га) -ммс ( ф ) = j п (Ф) f+
(5)
dra
ИЛИ -;— d ф
dJn (ф)га2 Мд(га) -Мс(ф) -- ^
d ф
/ J п (ф)га.
При малых отклонениях х и у от состояния равновесия остаются справедливыми соотношения (2), (3) и, кроме того, /п(ф) = /п(ф0 + х), га /2 = (га0 + у) /2.
Разложим последние функции в степенной ряд около положения равновесия, сохраняя члены с малыми величинами не выше первой степени
т (ф) т (ф ^ т (ф ) ^ф} ^^пСфс) , Фо) (ф) = 1п (ф0) + х/п (ф0), ^ = —П)ф— + Х^ф~'
(6)
2 2 га2 гао у = у + угао-
Подставив (3) и (6) в уравнение (5), учитывая га0 = 0, Мд(га0) = Мс(ф0) и сохраняя величины первого порядка малости, получим
ау = у м'я( о ) - хм') (фо ) (7)
йх Jп( фо ) у '
Рис. 1
Уравнение (7) по форме совпадает с уравнением (4) для J = const, однако следует помнить, что для приведенного момента инерции принимается его значение в особой точке. Перейдем к исследованию устойчивости состояния равновесия. Запишем (7) в виде
$ = -2a - Ъ2Х-, dx y
(8)
где м; (0)//п(фо) = 2а, М'(фо)//п/фо = Ь2.
Решение уравнения (8) определяет возможные движения механизма вблизи особой точки, т.е. указывает на характер семейства интегральных кривых вблизи нее. Состояние устойчивости будем понимать в смысле Ляпунова. Будем считать, что состояние равновесия является устойчивым, если для любой заданной области е допустимых отклонений от состояния равновесия существует область 5(е) начальных возмущений, внутри которой начавшееся движение никогда не достигнет границ области 5. Если это условие не выполняется, то состояние равновесия является неустойчивым. Необходимо знать характер интегральных кривых около положения равновесия.
Уравнение (8) решается подстановкой г = у/х. Тогда и уравнение (8) принимает вид
dx/x = -tdt/(t2 + 2at + b2), а его решение
1 1 2 2 Г
lnx = 2JnC-2Jn(t +2at + b ) + al
dt
(t + a )2- (a2- b2)
Окончательный вид решения уравнения (6) зависит от знаков (а2 - Ь2). Результаты решения для более наглядного их представления сведены в таблицу и рис. 1 для
случаев: 1) а2 - Ь2 > 0, 2) а2 - Ь2 < 0, 3) а2 - Ь2 = 0. Случай а2 - Ь2 = 0 не включен в таблицу, так как такого точного соотношения параметров в механизме практически получить невозможно. Необходимые для получения решений преобразования были проведены для математического маятника [2] и для механизма [4].
Таблица позволяет определить вид особых точек и характер интегральных кривых в окрестности положения равновесия механизма, а также оценить устойчивость равновесия в зависимости от соотношения параметров.
Пример. Пусть шарнирный четырехзвенник (рис. 2) находится в вертикальной плоскости в гравитационном поле и нагружен только силами веса звеньев. Весом ведущего кривошипа АВ и трением в кинематических парах пренебрегаем. Остальные параметры следующие: С2 = 1 кг, С3 = 1 кг, = 0, 1АВ = 0,1 м, 1ВС = 0,32 м, 1СЭ = 0,28 м,
1ао = 0,48
м 1ВБ2 = 1Б2С , lCS3 = Э , Мд = 0. ётойка АЭ расположена горизонтально.
Найдем особые точки механизма и выясним их характер. Построим график Мс(ф) (рис. 3). По условию задачи движущие силы равны 0, т.е. Мд(ю0) = 0. Заметим, что нас интересует только начальная точка момента движущих сил, т.е. Мд(ю0) = Мд(0). Характеристики двигателей разнообразны (асинхронные двигатели или двигатели постоянного тока; гидравлические или пневматические приводы), но для анализа особых точек нас интересует только начальная точка Мд(0).
На построенном графике сил сопротивления Мс(ф) нужно через точку Мд(0) провести горизонтальную линию до пересечения с Мс(ф). Полученные точки пересече-
Случай Случай 1
М'д(0) > 4 JпМс(Фо)
Характеристика сил сопротивления М^Сфо) > 0 М>0)< 0
Характеристика движущих сил мд (0 )< 0 мд (0) > 0 М'д(0)< 0 Мд(0) > 0
Тип особой точки Узел Седло
Устойчивость Устойчивый Неустойчивый Неустойчивое Неустойчивое
Характер семейства кривых около особой точки рис. 1, а рис. 1, б рис. 1, в рис. 1, г
Случай Случай 2 Случай 3
Мя (0 )< 4 J п М^(ф0) Мд( 0) = 0
Характеристика сил сопротивления М'с(Ф0) > 0 М'с(ф0) > 0 М>0)< 0
Характеристика движущих сил мд (0 )< 0 мд (0) > 0 М'д( 0) = 0 Мд( 0) = 0
Тип особой точки Фокус Центр Седло
Устойчивость Характер семейства кривых около особой точки Устойчивый рис. 1, д Неустойчивый рис. 1, е Устойчивый рис. 1, ж Неустойчивое рис. 1, 3
мд
мд(0) мд(0)
Мс
2
м!(ф)
1 А 1 1 \
I
9
Мд(ю) = 0
11
13
Рис. 3
ния определяют особые точки дифференциального уравнения, т.е. точки равновесия. В случае Мд = 0 получим две точки равновесия I и II. По таблице определим характер особых точек. Точка II находится недалеко от положения механизма 12, а точка I - чуть правее положения механизма 5. В особой точке I касательная к кривой Мс(ф) будет положительной М'с (ф0) > 0, М'д (0) = 0, т.е. в таблице имеем устойчивый центр № 7. В особой точке II касательная к кривой М С (ф) будет отрицательной,
т.е. М'С < 0. В таблице находим случай № 8, т.е. неустойчивое седло.
На рис. 1 показаны соответствующие устойчивая а и неустойчивая б конфигурации механизма в особых положениях. Устойчивость механизма в особых точках существенно зависит от характеристик движущих сил и сил сопротивления. Например, если в любом положении механизма Мд(ш) > Мс(ф), то особых точек в нем вообще не будет, так как двигатель всегда преодолеет силы сопротивления. Суждение о характере движения механизма можно получить интегрированием дифференциального уравнения машинного агрегата.
Положения и тип особых точек зависят от сил трения в кинематических парах. В этом случае приведенный момент от сил трения добавляется к другим силам сопротивления и методика анализа остается прежней.
Существенное влияние могут оказ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.