ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 5, с. 469-474
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
УДК 533.95
НАГРЕВ ПЛАЗМЫ В ПЕРЕМЕННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2013 г. Г. Н. Кичигин
Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск, Россия e-mail: king@iszf.irk.ru Поступила в редакцию 19.04.2012 г. Окончательный вариант получен 22.10.2012 г.
Решена задача об ускорении частиц в периодически изменяющемся магнитном поле, особенность временного поведения которого заключается в том, что величина поля либо принимает нулевые значения, либо переходит через ноль. Показано, что в процессе изменения магнитного поля, при каждом прохождении величиной поля нулевой отметки, энергия частиц увеличивается скачком. Этот процесс можно назвать нагревом, при котором ионы плазмы достаточно быстро (за один период поля) получают значительное приращение энергии. Предлагаемый метод нагрева плазмы имеет место в отсутствие столкновений плазменных частиц и аналогичен механизму магнитной накачки, рассмотренной Альфеном в столкновительной плазме.
DOI: 10.7868/S0367292113050077
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе речь пойдет о нагреве плазмы переменным во времени магнитным полем. Если время изменения магнитного поля значительно больше циклотронного периода частиц, то при этом методе нагрева для описания динамики частиц применимо дрейфовое приближение. В рамках этого приближения, при движении частиц
сохраняется величина I = р1_/В [1], называемая адиабатическим инвариантом (здесь р± — компонента импульса, перпендикулярная вектору магнитного поля, В — величина магнитного поля). Если медленно увеличивать величину магнитного поля, то при сохранении адиабатического инварианта энергия нерелятивистской частицы будет расти пропорционально величине поля. Такой метод нагрева плазмы называют бетатронным [1— 3]. В связи с тем, что по техническим причинам величину магнитного поля можно увеличивать до конечных значений, при бетатронном способе нагрева невозможно получить большие энергии ускоряемых частиц.
В работах [1, 4, 5] рассматривается возможность нагрева частиц плазмы в периодическом магнитном поле. Оказывается, в периодическом поле можно ускорить частицы до достаточно больших скоростей, если процесс ускорения осуществлять в столкновительной плазме. Анализ движения частиц в переменном магнитном поле с учетом столкновений показывает [1, 4, 5], что в условиях, когда время столкновений сравнимо с периодом поля, энергия частиц со временем растет. Такой метод нагрева плазмы называют магнитной накачкой [1, 4, 5]. Физическая причина нарастания энергии в процессе магнитной накач-
ки состоит в том, что в процессе столкновений нарушается дрейфовый характер движения и в момент столкновения величина адиабатического инварианта изменяется скачком, причем со временем ее величина в среднем растет. Таким образом, при учете столкновений, в оптимальных условиях, т.е. при сравнимых величинах частоты столкновений и периода поля, энергия частиц в переменном магнитном поле непрерывно нарастает.
Как будет показано в данной работе, достаточно эффективно можно ускорять частицы в переменном магнитном поле при условии, что время столкновений больше или много больше периода поля, а величина поля проходит нулевое значение поля. В этом случае, в те моменты времени, когда магнитное поле мало, нарушается дрейфовый характер движения частиц и, как будет показано, в эти моменты адиабатический инвариант растет. Условно этот метод нагрева тоже можно назвать магнитной накачкой, но, в отличие от [1, 4, 5], здесь нагрев происходит в ситуации, в которой столкновения можно не учитывать. Мы ограничимся анализом процесса нагрева частиц переменным во времени магнитным полем для случая холодной плазмы.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим цилиндрический столб плазмы, помещенный в аксиальное магнитное поле Вг. Ось цилиндра направим вдоль вектора магнитного поля, туда же направим ось г и считаем задачу осесимметричной. Плазма разрежена и холодна настолько, что можно пренебречь ее давлением Р
(в = 4пР/В « 0). Вследствие малой концентрации плазмы, можно пренебречь взаимодействием частиц и тогда движение каждой из них можно анализировать независимо, т.е. предполагается, что применимо одночастичное приближение.
Полагаем, что магнитное поле Бг изменяется во времени, причем настолько медленно, что оно успевает проникнуть в плазменный цилиндр полностью. Оценим параметры плазмы, при которых это возможно. Если время столкновений частиц в плазме обозначить через тс, то проводимость
плазмы равна а = т сю ре /(4п), где юре — ленгмюров-ская частота электронов. При наложении на плазму переменного магнитного поля с периодом Т скиновая глубина проникновения поля будет
8 ~ (с/юре)(Т/тс)1/2. Предположим, что Т > тс, плотность плазмы п < 1010 см-3, температура плазмы порядка нескольких электронвольт, тогда
тс ~ 10-4 с и 5 > 10 см. Следовательно, если радиус плазменного цилиндра будет меньше 10 см, то переменное магнитное поле успеет проникнуть в плазму до оси.
Переменное аксиальное магнитное поле в плазме порождает азимутальное электрическое поле Еф. Игнорируя движение плазмы по оси г, проанализируем динамику отдельных заряженных частиц в заданных полях в релятивистском приближении с помощью уравнений, записанных в полярных координатах г, ф
qßzv{
z ф
d (Y dr) = +
dt\ dtl r m0c d(jrv „) qE„r qBr(dr/dt)
dt
(1)
(2)
mn
m0c
Здесь q, m0 — заряд и масса покоя частиц соответ-ствено, с — скорость света, у = [1 — v2/c2 — —(dr/dt)2 / c2]-1/2 — безразмерная энергия, нормированная на энергию покоя частицы m0c2. Уравнение для энергии
moc2 dY = qE<Vv (3)
Уравнения (1)—(3) описывают динамику электронов и ионов плазмы.
Примем, что магнитное поле меняется во времени по закону
Bz(t) = Bo- Bsin (t/T), (4)
следовательно, электрическое поле будет равно
E„ = fB cos (t /T).
2cT
(5)
Как видно из (4), магнитное поле имеет две составляющие, одна из которых постоянна, другая — периодическая (синусоидальная) с периодом Т. В отличие от работ [1, 2, 4, 5] предполага-
ется, что величины Б и В0 одного порядка. С учетом (4), (5) и в обозначениях ю = ^В/(ж0с), к = В0 /В, уравнения (1)-(3) примут вид
d (f)[ -sin(t /т)],
(6)
d(yrv^) ror
= cos (t/T)- ®r—[h - sin (t/T)], (7)
dt
2T
d Y _ dt
arv ф 2c 2T
dt
cos (t/T).
(8)
Так как нас интересует проблема нагрева ионной компоненты плазмы, то рассмотрим подробно динамику ионов. Полагаем, что в начальный момент времени рассматриваемый ион покоится и расположен на расстоянии г (0) = Я от оси. Введем безразмерные переменные х = г/Я, т = ю г, обозначения О = dq>/dт, 2, = dх/dт и безразмерные параметры а = 1/(ю Т) и е = (юЯ/с) , применяя которые, из уравнений (6)-(8) получим формулы для ускорений частиц по радиусу и по азимуту
(9)
d 2х / d т2 = х^2 + + б [х^ (h — sin ат — х^а cos ат /2)]/ у,
d 2ф / d т2 =
= е|а cos ат (l - x2Q2) / 2—(h - sinau) / x]y —
- 2Щ / x. (10)
Уравнения (9)—(10) решались численно методом Рунге—Кутта.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Рассмотрим в качестве ионов водород и следующие значения величин: переменная составляющая магнитного поля B = 10 кГс, период поля
T = 10-4 с, начальный радиус R = 3 см. Тогда ю = = 2.5 х 107 с-1, параметр a = 4 х 10-4, а параметр s примет значение 6 х 10-6. Предполагаем, что время между столкновениями больше периода колебаний и в расчетах в первом приближении влиянием столкновений между частицами пренебрежем. Исследуем подробнее динамику ионов для заданного нами периодически меняющегося магнитного поля, причем полагаем, что начальное значение поля B = B0. При этом безразмерный параметр h = 1, минимальное значение величины магнитного поля Bz(t) равно нулю, а амплитуда поля равна 2B. Таким образом, в этом случае, хотя магнитное поле меняется со временем, но оно всегда направлено в одну сторону.
Расчетная траектория иона в заданных полях в начале движения показана на рис. 1.
2-
1.0
ф
Рис. 1. Траектория иона на длительном отрезке времени. Левая вертикальная ось — радиус иона х, правая вертикальная ось — магнитное поле Вг, ось абсцисс — угол ф.
270
90
180
Рис. 2. Траектория иона в полярной плоскости. Ион начинает движение при ф = 0, х = 1. Цифры — точки траектории.
0
3
1
На рис. 1 наблюдается, с одной стороны, дрейф иона по радиусу и, одновременно, дрейф по углу (вправо). Дрейф по радиусу — это обычный электрический дрейф. Дрейф вправо происходит из-за неоднородности электрического поля по радиусу (электрическое поле растет по величине пропорционально радиусу). В процессе движения иона, во-первых, уменьшается циклотронная частота, так как магнитное поле падает, во-вторых, растет величина скорости дрейфа V л = еЕц / В1, так как электрическое поле растет, а магнитное падает. В некоторый момент времени (при ф > 1 на рис. 1) дрейфовый характер движения иона нарушается, траектория иона становится плавной, на ней практически не видны осцилляции. Надо полагать, что в данной задаче условия для дрейфового приближения выполняются пока величина ларморовского радиуса сравнима или меньше размера неоднородности, роль которой играет неоднородность электрического поля по радиусу.
Дальнейший вид траектории изображен в полярной плоскости на рис. 2, а на рис. 3 приведен график зависимости энергии иона на отрезке времени, за которое ион проходит показанный на рис. 2 участок траектории. На рис. 2 виден характер траектории при переходе магнитного поля через ноль. В те моменты, когда магнитное поле мало, ион движется под действием двух сил: 1) со стороны азимутального электрического поля и 2) под действием центробежной силы, действие
которой приводит к увеличению радиуса иона. Таким образом, к тому моменту, когда магнитное поле принимает нулевое значение и появляется электрическое поле обратного знака, ион уходит достаточно далеко от центра. Этот факт является
Е, эВ
Рис. 3. Зависимость энергии иона от угла. Цифрами обозначены точки траектории, изображенной на рис. 2. Ион, ускоряясь, продвигается от точки 1 до точки 6, далее, начинается его квазикруговое вращение, характерное для дрейфового движения.
I 101 10-1 10-3 10 10-7 10-9
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.