КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 2, с. 99-110
УДК 550.385.41
НАХОЖДЕНИЕ ДИСПЕРСИИ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН В КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ МНОГОСПУТНИКОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
© 2008 г. С. А. Романов
Институт космических исследований РАН, г. Москва Поступила в редакцию 04.08.2006 г.
Представлено описание усовершенствованного метода анализа низкочастотных волновых процессов в межпланетной плазме по результатам многоспутниковых измерений. Новый метод развивает метод разности фаз и отличается тем, что позволяет анализировать длины волн, в несколько раз более коротких, чем среднее расстояние между космическими аппаратами, ведущими измерения. На нескольких примерах дисперсионных зависимостей, полученных с помощью данного метода по результатам обработки измерений магнитного поля на четырех КА миссии Кластер, показаны его возможности и пригодность для анализа событий в различных областях, где ведутся измерения плазмы на космических аппаратах. Показана выдающаяся роль ионно-циклотронных колебаний в области внешнего магнито-сферного каспа, выражающаяся в генерации волн и формировании нелинейных структур.
PACS: 94.05.-a
1. ВВЕДЕНИЕ
Определение дисперсионных характеристик плазмы необходимо для идентификации волновых мод и понимания происходящих плазменных процессов. Этой задаче уделяется значительное место в исследованиях космической плазмы. Ее решение потребовало проведения многоточечных измерений с использованием нескольких космических аппаратов и разработки адекватных методов анализа таких измерений. Наибольшим экспериментальным достижением в этой области был запуск на орбиту вокруг Земли и эксплуатация четырех аппаратов миссии Кластер.
В настоящее время известны два способа волнового анализа многоточечных измерений: метод разности фаз [1-5] и к-фильтрации или волнового телескопа [6-9]. Первый применялся в работах [4, 5]; второй - в работах [10, 11]. В работе [12] проведено сравнение этих двух методов. В обоих методах используется приближение слабой турбулентности, при котором реальное волновое поле представляется в виде суперпозиции плоских волн при условии квазистационарности и ограниченной однородности исследуемых волновых полей.
В методе разности фаз по фазовым задержкам сигнала на частоте ю между двумя спутниками находятся проекции волнового вектора к на три независимых базовых вектора. Вектор к реконструируется по этим проекциям, затем определяется доплеровский сдвиг и частота в системе отсчета покоя плазмы [2, 3]. Недостатком этого метода является неполное использование имеющегося экспериментального материала и возможность
неоптимального выбора базовой системы отсчета. Его применение ограничивалось случаями доминирования какой-либо одной волновой моды.
Метод к-фильтрации использует записи волновой формы исследуемого сигнала, со всех КА, входящих в состав Кластера (допускается любое число точек измерения, большее трех). Все эти данные используются для нахождения четырехмерной энергетической функции распределения Р(ю, к), зависящей от частоты ю и волнового вектора к. Основанием для определения волнового вектора здесь также служит анализ совокупности фазовых сдвигов сигнала на разных аппаратах. Допускается использование данных нескольких физических величин [12].
Главное ограничение обоих методов в их нынешнем виде заключается в условии, чтобы исследуемое волновое поле не содержало волн, более коротких, чем расстояние между спутниками. Если это условие не выполнено, результаты искажаются сложением эффекта от разных длин волн (так называемый пространственный элайзинг). Поэтому предыдущие исследования ограничивались лишь областью больших длин волн и низких частот.
В настоящей статье излагается новый метод, также основанный на анализе совокупности разностей фаз, который позволяет находить функцию распределения Р(ю, к) в более широкой области значений к, продляя ее в сторону больших значений за пределы, вообще говоря, запрещенные пространственным элайзингом. Новшеством данного метода является также комплексное представление волнового вектора и поиск не только дей-
ствительнои, но и мнимои его частей, что позволяет оценивать, кроме длины волны и фазовой скорости, также коэффициент поглощения, описывающий степень пространственного затухания/роста выделенной моды. С точки зрения полноты использования информации данный метод по существу аналогичен методу к-фильтрации. С его помощью также можно находить волновые характеристики, используя расширенный набор экспериментальных величин. В разделе 2 настоящей статьи дано описание нового метода. В разделе 3 представлены некоторые результаты применения его к реальным данным - измерениям магнитного поля на четырех КА миссии Кластер в области магнитосфер-ного каспа с целью нахождения дисперсионных соотношений и других волновых характеристик.
2. ОПИСАНИЕ МЕТОДА
2.1. Основные уравнения. Будем исходить из того, что в составе измеренного сигнала присутствует когерентная часть, представляющая собой суперпозицию колебаний с сохраняющимися значениями частоты и начальной фазы, а также шум со случайной фазой и частотой. Представим когерентную часть измеренного сигнала В(г, г) в виде разложения в ряд Фурье по плоским волнам:
Нетрудно показать, что следствием (2) и (3) является уравнение:
В(г, г) = ^В(ю, к)ехр[г(кг - юг)].
(1)
1п(|В(ю, Гр)/В(ю, г„)|) + гЛуар(ю) = = гпкЛ Гар - п %Лгар.
(4)
В(ю, к) - векторная амплитуда элементарной волны; г - радиус вектор точки измерения. Как видно из уравнения (1), мы исходим из вполне естественного для когерентного сигнала предположения, что каждому значению частоты ю в спутниковой системе отсчета в определенный момент времени соответствует лишь одно значение волнового вектора. Это предположение достаточно сильно упрощает задачу и в то же время не отменяет возможности появления решения, при котором для двух рядом стоящих точек по частоте будут найдены различные значения к. Если в составе анализируемого волнового поля присутствуют волны, имеющие практически совпадающие в спутниковой системе отсчета частоты и разные значения волновых векторов, то при усреднении по ансамблю или по частоте они проявятся в виде разброса находимых значений волнового вектора.
Волновой вектор запишем в комплексном виде: к = п(к + гх), (2)
где п - нормаль к волновому фронту.
Беря отношение когерентных сигналов на частоте ю, регистрируемых одновременно на двух аппаратах, находящихся в момент измерения в точках с радиус-векторами га и гр, получим:
В(ю, гр)/В(ю, г„) = ехр(гкЛгар), (3)
где Лгар = гр - га.
Здесь: Луар(ю) = Уа(ю) - ур(ю); уа(ю), ур(ю) -фаза волны в точках га, гр соответственно. Амплитуды |В(ю, гр)| и |В(ю, га)| находятся из соответствующих скалярных авто-спектров сигналов в точках гр, га; разность фаз Луар(ю) - из перекрестного спектра этих сигналов (см. ниже). Вопрос о нахождении разности фаз требует особого рассмотрения с точки зрения возможности определения числа целых периодов, которое необходимо добавить в каждом отдельном случае для устранения эффекта пространственного элайзинга. Это будет сделано в следующем разделе, а пока будем считать Луар(ю) известной величиной.
Составляя уравнения (4) для всех возможных пар КА (из С1,С2,С3 и С4) и приравнивая в них по отдельности мнимые и действительные части, мы получим две системы уравнений: одну (5) - для нахождения пк, и вторую (6) - для нахождения %:
пк(ю) ■ Лгар = ЛУар(ю), (5)
(П ■ Лгар)Х(ю) = 1п(|В(ю, га)/В(ю, гр)|). (6)
Очевидно, всего при наличии данных с четырех КА можно получить по шесть уравнений для каждой из этих систем, используя только одну реализацию (один временной интервал) измерений магнитного поля на всех аппаратах. Для нахождения трех компонент действительной части волнового вектора пк(ю) (собственно волнового вектора, который в дальнейшем также будем обозначать буквой к) формально достаточно иметь три уравнения, а для скалярной величины %, описывающей затухание/рост амплитуды волны в направлении распространения, - только одно. Однако, исходя из статистического характера экспериментальных данных и их спектрального отображения, необходимо использовать максимально возможно имеющуюся информацию. Поэтому при нахождении интересующих нас величин мы должны учесть все шесть уравнений в обоих случаях. Более того, для лучшей статистической достоверности результата следует использовать не один, а несколько перекрывающихся временных интервалов, сдвинутых друг относительно друга на небольшую величину. Каждый из них добавляет еще по шесть уравнений к обеим системам. Общее число уравнений, которое можно составить таким образом, ограничено сверху лишь соображениями разрешения по времени, которое мы хотим получить при определении изменяющихся характеристик волнового поля.
Системы уравнений (5) и (6) могут рассматриваться как полностью независимые друг от друга, если не требовать тождественности в них величины нормали п. Тогда они могут решаться отдель-
но, и в результате решения системы уравнений (6) мы будем находить не скалярную величину %, а вектор п% (градиент затухания), направление которого может не совпадать с направлением нормали к фронту волны (вектора к), находимого из системы уравнений (5). Такой подход возможен, однако он не соответствует концепции плоской волны, используемой в данной работе. Поэтому здесь принят другой путь решения, по-видимому, оптимальный. Сначала с помощью метода наименьших квадратов (МНК) решается система уравнений (5), находится пк(Ю) и п(ю). Затем п(ю) подставляется в систему уравнений (6), решение которой дает величину х(ю). Значение %(ю), наилучшим образом удовлетворяющее совокупности уравнений (6) в смысле МНК, вычисляется при этом просто, как средняя величина по всем уравнениям.
Заключительным шагом в нахождении дисперсионных соотношений является учет доплеровско-го сдвига частоты для перехода в систему координат покоящейся плазмы согласно уравнению:
юх(кх) = ю(к) - к ■ Уо,
(7)
где: юх(кх) - круговая частота и кх - волновой вектор в системе координат покоящейся плазмы; ю(к) и к - в спутниковой системе отсчета (к и к могут различаться знаком- см.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.