ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2007, том 43, № 3, с. 419-425
УДК 551.46
НАКАТ ОДИНОЧНЫХ ВОЛН РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ НА БЕРЕГ
© 2007 г. И. И. Диденкулова***, А. А. Куркин*, Е. Н. Пелиновский***
*Нижегородский государственный технический университет 603600 Нижний Новгород, ул. Минина, 24 E-mail: kurkin@kis.ru **Институт прикладной физики РАН 603600 Нижний Новгород, ул. Ульяновская, 46 Поступила в редакцию 07.09.2006 г.
Проблема наката морских волн на берег обсуждается в рамках точных решений нелинейной теории мелкой воды. Ранее в литературе уже рассматривался накат одиночных волн различной формы (гауссов и лоренцев импульсы, солитон, импульсы специальной формы) в рамках этой же теории. В зависимости от формы подходящей волны получались различные формулы для высоты наката волны на берег. Новым моментом здесь является доказательство универсальности формулы для максимальной высоты наката одиночной волны на побережье при соответствующем физическом выборе определяющих параметров подходящей волны, так что эффект различия формы нивелируется. В результате удается предложить аналитическую формулу для высоты наката одиночной волны на берег, удобную для приложений, в частности, в задачах, связанных с проблемой волн цунами.
1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема наката длинных необрушенных волн на плоский откос является достаточно хорошо разработанной с математической точки зрения в рамках нелинейной теории мелкой воды, допускающей аналитическое решение с помощью преобразования Карриера-Гринспана [1]. Разнообразные примеры подхода волн различной формы рассмотрены аналитически в литературе [2-23]. Особо выделим работы, в которых рассматривается подход одиночной волны (гребня) к берегу. Такая ситуация является типичной для волн цунами, кроме того, она легко реализуется экспериментально в гидролотках. Как это часто бывает в нелинейных задачах, получение аналитического решения считается большой удачей, поэтому получаемые формулы "не всегда стыкуются" между собой и не могут быть сопоставлены. Между тем можно выбрать физически разумную постановку задачи, когда подходящая к берегу волна задана далеко от берега, где она, по существу, линейная. В этом случае определение характерных параметров исходной волны (амплитуды и длины) не представляет трудностей. В аналитических решениях нелинейной задачи рассматривается только откос постоянного уклона, так что угол откоса является единственным параметром профиля дна. Между тем формулы для максимальной высоты наката одиночного импульса на плоский берег, полученные для волн различной формы, оказываются разными; что можно видеть, сопоставляя, например, результаты работ [4] для лоренцевых импульсов, [8] для солитона, и [19] для гауссовых импульсов. Рассматриваемые импульсы являются достаточно гладкими с хорошо спадающими спектрами, их формы похожи между собой, и различие в полу-
чаемых формулах оставляет чувство неопределенности, тем более что на практике форма подходящей волны обычно неизвестна и не может быть параметризована. Настоящая статья посвящена исследованию этой проблемы, связанной с различием в форме накатывающейся на берег волны. Как мы покажем далее, использование физически разумного определения длительности одиночной волны позволяет значительно уменьшить влияние фактора формы падающего импульса, так что формула для высоты наката волны на берег становится универсальной и содержит только измеряемые параметры подходя-щей к берегу волны.
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАКАТА ДЛИННЫХ ВОЛН НА БЕРЕГ
Рассмотрим накат длинных волн на берег постоянного уклона (геометрия показана на рис. 1), когда невозмущенная глубина представляется в виде И(х) = -ах. Исходные уравнения мелкой воды для такой геометрии записываются в виде
f + |[(- «г + П) u ] = 0,
Эи , Эй Э^ п
э7 + идГ + 8дГ = °,
(1)
где п - смещение уровня моря, и - усредненная по глубине скорость водного потока, g - ускорение силы тяжести, и ось х направлена к берегу (х = 0 соответствует невозмущенному положению уреза).
Рис. 1. Схематичное представление зоны наката.
Как было показано еще в пионерской работе [1] (см., также [11, 15]), нелинейные уравнения (1) точно сводятся к линейному волновому уравнению
д2 ф _ д2Ф _! ЭФ = 0
~ " ада
(2)
ЭХ2 да2 ада и все исходные физические переменные определяются через функцию Ф(а, X)
П
= _1ГЭФ _
2я[ЭХ '
х =
1 гэф _ 2_а_
2 а^ ЭХ и 2
1 дФ
и = , а да
«= лгх - а»
а да
(3)
а я
дП , д г. . „ ди дп п
д + дх[(-ах)и] = °' ди + яэХ = 0'
(5)
то мы снова придем к линейному волновому уравнению (2) для функции Ф;(а;, Х;), и все переменные выразятся как
П;
= _!_(дФА = 1 ЭФ
2^ д X ¡)' Щ ада;'
х = -
2 аг
4 а я'
г =
Х±
а я'
(6)
а = 0 описывает "истинную" динамику подвижного уреза, то вторая - колебания уровня воды на неподвижном урезе (х = 0) в линейной постановке. Естественно, что функции х(г) получаются разными в линейной и нелинейной задачах, но их экстремумы совпадают. Тем самым мы показываем, что максимальная высота наката (и глубина отката), рассчитываемая в рамках линейной теории как максимальная высота (глубина) уровня воды на неподвижном урезе, совпадает с "истинной" высотой наката (глубиной отката) волны на берег в рамках нелинейной теории. Этот вывод в той или иной форме уже делался в литературе (см., например, [15]), и он, по существу, позволяет использовать линейную теорию для нахождения максимальной высоты заплеска волны на берег, если падающая волна задана далеко от берега. В этом случае удобно работать в "привычных" обозначениях, сводя линейную систему (5) к "классическому" волновому уравнению
д2цм д Г ЭП я а ЭХ Г х ЭХ ) =
0.
(7)
Заметим, что физический смысл переменной а может быть легко получен из (3)
а = 2л/?(- ах + п). (4)
Она пропорциональна полной глубине воды, так что уравнение (2) решается на фиксированной полуоси 0 < а < га, и точка а = 0 соответствует подвижному урезу. Здесь мы сосредоточимся на изучении характеристик наката, то есть исследовании временной динамики подвижного уреза, выражаемого параметрически через х(а = 0, X) и г(а = 0, X); вертикальное смещение уреза затем находится по формуле г = ах.
Если применить аналогичный подход к исследованию линейной системы мелкой воды
Уравнение (7) и будет использовано для расчета максимальной высоты наката на берег одиночных волн различной формы. Его общее решение может быть представлено интегралом Фурье
п( х, г) = | А (ю) J0 Г ^в^а*-) ехр (7 ® г) ё®' (8)
где J0(y) - функция Бесселя нулевого порядка и А(ю) - комплексный спектр, отвечающий известным свойствам симметрии для действительного волнового поля. Он находится из асимптотического представления волнового поля на бесконечности
П( *
г) =
= п+[*, г - т(*)] + П-[*, г + т(*)],
(9)
где оно разделяется на падающую и отраженную волны с переменной (в пространстве) амплитудой. Здесь
, , 2|х\ г ёх
т(*) = -Н) = I "П
С ( Х ) ¿С (х)
(10)
фазовый сдвиг волны в пространстве с локальной скоростью длинных волн с(х) = (£И)1/2 (напомним, что И = -ах), а каждая из волн есть
Если падающая волна задана достаточно далеко от уреза, где глубина велика и волну можно считать линейной, то граничные условия для волнового уравнения (2) в линейной и нелинейной задачах совпадают, а следовательно, совпадают функции Ф(а, X) и Ф¡(а¡, Х;). Но если первая функция при
п±( *, г) =
1
72пт(х)
х
х| ЛИехр
7[ юг± Пsign(ю)
(11)
ёю.
Считаем, что падающая волна в фиксированной точке |х| = L (далеко от берега) задана интегралом Фурье
П
X t) = J H (ю) exp (i ю t) dю, (12)
тогда ее амплитудно-фазовый спектр легко находится в явном виде через обратное преобразование Фурье
1 + г
Н(го) = — I п+(Оехр(-/гоt)dt. (13)
2п J
Сравнивая (11) и (12), находим функцию Л (го):
Л(ю) = 72пт( L )|ю| exp
—i/j" sign (ю)
и решение (8) становится полностью определенным. Как мы уже говорили, само линейное решение имеет вспомогательный характер и нужно нам только для нахождения его экстремумов в точке х = 0; эта величина определяет максимальную высоту наката волны на берег в нелинейной теории, мы обозначим ее через Я:
R =
4 nL
■ х
х max
J Н(ю)exp j i(юt- 4sign(ю)
^ю
(15)
R p HJ L pHJcLr0'
(17)
+ ^ + ^
p = -j=max J JVQf(Z)x
л/ П
(18)
x exp j i
Q(t'- Z) -4signQ
\dQ d Z.
Фактически коэффициент формы также "спрятан" в (17) через определение длительности падающей волны Т0, и он может в определенной степени компенсировать коэффициент р. На практике применяются различные определения длительности волны. В случае финитных возмущений естественно определять длительность волны между двумя соседними нулями. Однако в океанологии трудно выделять нули волны на фоне морского волнения, поэтому можно определять длительность по уровню 0.5 от максимальной высоты волны (Т1/2). Другие определения длительности волны учитывают интегральные характеристики одиночной волны, например, ее "массу", Тт или энергию, Т:
■*■ О'
H(ю), (14) Tm = To J f(Z)dZ, Te = To J f (Z)dZ. (19)
Отсюда уже видно, что при переходе к другому определению длительности падающей волны, численный коэффициент в (17) меняется. Поэтому удобно переписать (17) в виде
R = = ^,
(20)
где "коэффициент формы" ц зависит от определения длительности волны
^ =p Д-
(21)
где ^-скорость длинных волн на расстоянии L от берега. Формула (15) может быть использована для анализа наката на берег волны любой формы. Если падающая волна является одиночной (для определенности мы будем рассматривать подход одиночного гребня), то естественно представить ее в виде
П+(t) = Hf (t/To), (16)
где H - высота гребня и T0 - характерная длительность волны. В этом случае формула (15) принимает окончательный вид
В дальнейшем мы будем использовать тот же индекс у коэффициента формы, что и у длительности падающей волны. Нашей главной целью является подбор оптимального определения длительности падающей волны, при которой изменения коэффициента формы являются минимальными.
3. НАКАТ ОДИНОЧНОЙ ВОЛНЫ "СИНУСОИДАЛЬНОЙ" ФОРМЫ
В качестве первого примера рассмотрим семейство одиночных гребней в форме синусоидальной полуволны, заданной на отрезке [-1/2, 1/2],
f (Z) = cos"«).
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.