ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 1, 2004
УДК 539.3
© 2004 г. Г. 3. Шарафутдинов
НАПРЯЖЕНИЯ И СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ СИЛЫ В ТОНКИХ КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИНКАХ
При помощи функций комплексной переменной получены точные решения некоторых пространственных задач деформирования тонкой кольцевой пластинки, неподвижно закрепленной по внешнему контуру и нагруженной определенным образом по внутреннему контуру. Предельным переходом, при радиусе внутренней окружности, стремящемся к нулю, получены распределения напряжений на ней при действии сосредоточенных сил различного характера.
Сосредоточенные силы в тонких пластинках следует различать по характеру воздействия на деформируемые тела с учетом их происхождения и технических, технологических или научных приложений. Один из типов сосредоточенных сил связан с перемещением впаянного в тонкую пластинку жесткого диска, используемого при креплении на ней приборов или каких-либо иных устройств, или жесткого стержня, используемого в качестве крепежного элемента или оси. Другой тип сосредоточенных сил возникает при мгновенном прожигании тонкого цилиндрического канала в пластинке. И, наконец, третий тип сосредоточенных сил возникает при увеличении диаметра отверстия в пластинке, вызванного увеличением диаметра заклепки в результате ее деформировании, или при действии специальных инструментов в технологических операциях.
При анализе действия сосредоточенных сил в механике деформируемого тела обычно предполагается бесконечная протяженность пластинки. Такое предположение не всегда корректно; так, при исследовании сосредоточенных сил первого из перечисленных типов оно приводит к тривиальному решению, хотя ясно, что в пластинке конечных размеров, закрепленной по внешнему контуру, напряжения (и деформации) в таком случае отнюдь не будут нулевыми. Кроме того, априорное задание распределений напряжений на контуре отверстия, подверженного действию сосредоточенных сил, в некоторых случаях может оказаться не соответствующим реальному.
1. Представление компонент вектора перемещений и тензора напряжений в задачах деформирования тонких пластинок при использовании трех комплексных потенциалов. Теория функций комплексной переменной (ТФКП) широко применяется в теории упругости, в первую очередь при решении плоских задач [1]. При дальнейшем развитии применения методов ТФКП в теории упругости в дополнение к двум комплексным потенциалам Колосова-Мусхелишвили был введен третий комплексный потенциал и исследованы постановки пространственных задач теории упругости для тонких пластинок переменной толщины с учетом этого обстоятельства [2]. С использованием трех комплексных потенциалов были получены новые решения классических задач об одноосном растяжении тонкой пластинки со свободным круговым и свободным эллиптическим отверстием в трехмерной постановке [3, 4].
Имея в виду в дальнейшем применение методов ТФКП при изучении напряженно-деформированного состояния, приведем основные соотношения, связывающие компоненты вектора перемещений (м1, и2, и3) в прямоугольной системе координат ОХ1Х2Х3 (или («р, иФ, и3) - в цилиндрической полярной системе координат (р, Ф, х3)) и тензора напряжений (о11, о22, о12, о13, о23, о33) - в прямоугольной (соответственно °рр, °р«, °р3, °«3, °33 - в цилиндрической полярной) системе координат с тремя комплексными потенциалами.
В прямоугольной декартовой системе координат указанные величины, выраженные через три комплексных потенциала ф(г), ф(г), /(г), имеют вид [2]
4 « + ¿«2) = / (г) - 2 [ф( г) + гф'( г) + ф( г)] (1.1)
оп + 022 + °33 = 2 (1 + V) [ ф' (г) + ф' (г)] (1.2)
011 + 022 = 2[/(г) + /(г)] - 2(1 - 2v)[ф'(г) + ф'(г)] (1.3)
022 - 011 + 2¿012 = 2 [ гф'' (г) + ф' (г)] (1.4)
(1.5)
013 — '023 — 2 Хз
2 (1- V)ф''( г) -1 /"(г)
1
033 — 2(2-V) [ф' (г) + ф' (г)]-2- [/' (г) + / (г)] (1.6)
где г = Х + ¿х2, V - коэффициент Пуассона. Чертой наверху обозначены комплексно сопряженные величины.
Приведем также выражение для компоненты тензора деформации е33:
2(1 -у)[ф'(г) + )] -1 [
£33 — \ 2(1 - V) [ф'(г) + ф'(г)] - -- [/'(г) + /'(г)] \ (1.7)
где Е - модуль Юнга. При этом величина перемещения в третьем направлении определяется выражением
и3 — £33 Х3 (1.8)
Соотношения между компонентами вектора перемещений и тензора напряжений в прямоугольной и цилиндрической полярной системах координат имеют следующий вид:
ир + ¿ид — (и1 + ¿и2) е(1.9)
0рр + + 033 — 011 + 022 + 033 (1.10)
- 0рр + 2¿0рй — (022- 011 + 2'012)(1.11)
0р 3-' 0«3 — (013- ¿023) е'д (1.12)
Из соотношения (1.10), в частности, следует
0рр + — 011 + 022 (1.13)
Комплексные потенциалы зададим в виде [2]
X"™4 к
ф(г) — Аг1пг + а 1пг + £ акг (1.14)
к —
+ ^
ф(г) — в 1пг + £ Ъкгк (1.15)
к — + ^
/(г) — у 1пг + £ Скг (1.16)
к —
где А - действительная величина.
+^
2. Напряжения в кольцевой пластинке, закрепленной по внешнему контуру при перемещении впаянной центральной жесткой шайбы. Рассмотрим кольцевую пластинку с внутренним радиусом г и внешним радиусом Я. Допустим, что внутри кольцевой пластинки впаян жесткий диск радиуса г и пластинка неподвижно закреплена по внешнему контуру. Допустим далее, что жесткое включение перемещается в некотором направлении.
Центр пластинки совместим с началом прямоугольной декартовой и цилиндрической полярной систем координат. Граничные условия сформулированной выше задачи сводятся к двум соотношениям
(и1 + ¡и2 )|
р = г
и 0 + г'У0, (и1 + ш2 )|р = Я = 0
(2.1)
Будем считать, что компоненты вектора перемещения на контуре внутреннего отверстия пластинки - постоянные величины.
Нетрудно видеть, что жесткое закрепление центрального абсолютно жесткого включения приводит к граничному условию
р=г
0
Допустим также, что на внешнем контуре выполняется условие °эз| р = Я = 0
(2.2)
(2.3)
Для реализации граничных условий (2.1) выражения (1.14)-(1.16) подставим в соотношение (1.1). Получим
4ц(и1 + ¡и2) = у( 1пр + ¡'®) + £ скр
к ¡к® е -
к = -
-2
Аре1 (1пр + г'®) + а( 1пр + г'®) + £ акр
к ¡к®
-2 р е
¡®
А (1п р - г'®) + - + £ какр
, _ к -1 '(к -1)®
е
к-1
- £ к р
к=0
к = -1
-2
в( 1пр - ¡®) + £ Ькр
к=0
к -¡к® Г
е + £ Ькр
к = -1
Г к -¡к®
е
(2.4)
В силу однозначности перемещений сумма коэффициентов при ¡® должна быть равна нулю [1, 2]:
у -2а + 2 в = 0
Собирая теперь коэффициенты при е0 и учитывая условия (2.1), имеем (у -2а -2 в) 1п г + А0-4а2г2 = 4ц( и0 + 1У0) (у -2а -2 в) 1п Я + А0-4а2 Я2 = 0
(2.5)
(2.6)
и
з
+^
к
где Ао = Со - 2ао - 2 Ь0
Суммы коэффициентов при в'® в равенстве (2.4) приводят к двум уравнениям, следующим из граничных условий (2.1),
Ь
с1т-2а1 т -4 Ат1п т-2Ат-2а1 т-2— = 0
^ (2.7)
Ь
с1 Я -2а1 Я -4АЯ1пЯ -2АЯ -2а1 Я -2--1 = 0
Я
2'®
а при е - к уравнениям
2 2 Ь 2
с2т - 2а2т - 2а -2-у = 0 т2
(2.8)
9 9 Ь 9
с2Я -2а2Я -2а-2—2 = 0
2 2 Я 2
Полученная система (2.5)-(2.8), состоящая из семи уравнений, содержит 11 неизвестных коэффициентов
а, в, у, А0, а2, Ьс2, А, а1, Ь-1, с1 (2.9)
Обратим внимание на то, что в комбинации коэффициентов при других значениях
к в е'к®
скрк- 2акРк- 2а-к—2 - 2Ь-к = 0, к > 3
Р Р (2.1°) ^ - 2^ - 2(к + 2)~ак + 2рк +1 - 2Ькрк = 0, к > 1 Р Р
ни один из коэффициентов (2.9) не входит.
Дополним полученные соотношения уравнениями, следующими из условий (2.2) (при учете выражений (1.7), (1.8)) и (2.3). С этой целью подставим выражения (1.14)-(1.16) в указанные граничные условия. Очевидно, представляют интерес, в первую очередь, уравнения, содержащие неизвестные из множества (2.9). Такими уравнениями являются
8(1-v)[2А(1пт +1) + (а1 + а1)] - (с1 + с1) = 0 (2.11)
8 (1-v)(2а9 т + а) - (2с2т + ^) = 0 (2.12)
4(2-v)[2А(1пЯ +1) + (а1 + а1)] -(с1 + с1) = 0 (2.13)
4 (2 - v)^2a9 Я + а) - (2с2 Я + Я) = 0 (2.14)
Заметим, что остальные уравнения, получаемые из граничных условий (2.2), (2.3), не содержат неизвестных из множества (2.9) и не приводятся здесь по следующей причине. Указанные граничные условия - однородные, и, следовательно, не приведенные здесь уравнения относительно неизвестных, не входящих во множество (2.9), совместно с уравнениями (2.1°) могут образовать лишь однородную систему. В силу произвольности входящих в эту систему величин определитель такой системы не бу-
дет равен нулю, что приводит к тривиальному решению. Это означает, что все неизвестные коэффициенты разложения, не принадлежащие множеству (2.9), равны нулю.
Полученная система уравнений (2.5)-(2.8), (2.11)-(2.14) состоит из двух подсистем: одна содержит уравнения (2.5), (2.6), (2.8), (2.12), (2.14) с неизвестными
а, в, у, А0, а2, Ь_2, с2 (2.15)
а вторая - из уравнений (2.7), (2.11), (2.13) относительно набора неизвестных
А, а1; Ъ-х, с1 (2.16)
Рассмотрим сначала вторую систему. Она легко преобразуется к виду
-2 г (21п г +1) А -2 г (а1 + а1) -^Ъ-г + гс1 = 0
(2.17)
-2 Я( 21п Я + 1) А -2 Я (а1 + а1) -2 Ъ-1 + Яс1 = 0 16( 1-v)( 1пг + 1)А + 8(1-v)(а1 + а1) - (с1 + С1) = 0 8(2-v)( 1п Я + 1) А + 4(2-v)(a1 + а1) - (с1 + с1) = 0
Относительно действительных и мнимых частей неизвестных коэффициентов разложения отсюда получаем две системы уравнений. Их матрицы имеют соответственно вид
(2.18)
Непосредственно можно проверить, что определитель первой матрицы отличен от нуля, и поэтому действительные части неизвестных, принадлежащих множеству (2.16), равны нулю. Из системы уравнений относительно их мнимых частей нетрудно видеть, что коэффициент ах определяется с точностью до мнимой части этого коэффициента. Однако это обстоятельство не оказывает никакого влияния на напряженно-деформированное состояние в кольцевой пластинке, поскольку во все величины входит только действительная часть коэффициента ах.
Обратимся теперь к первой системе. Для упрощения работы с ней несколько преобразуем эту систему. Сначала учтем равенство (2.5) в соотношениях (2.6). В результате имеем
-2г (21п г +1) -4 г 2 г г 2 0 0 2 г г
-2 Я (21п Я +1) -4 Я 2 Я Я и 00Я Я
16 (1- v)( 1п г +1) 16 (1- V) 0 -2 0 0 0 0
8(2-V)( 1пЯ +1) 8(2-V) 0 -2 0 0 0 0
А0-1пг(4а -2у) -4г а2 = 4ц( и0 + IV0)
2
А0-1п Я( 4а -2 у) -4 Яа2 = 0 Вычитая второе уравнение из первого, получим
22
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.