ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Емельянов И.Г., Кузнецов А.В.
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ НАГРУЗКАХ
Предлагается метод разложения в ряды Фурье использовать для описания сильно локализованных механических нагрузок, которые могут действовать на тонкостенные оболочечные конструкции в виде тел вращения. Приведены результаты расчетов для оболочек нагруженных различными видами локальных нагрузок. Проведено сопоставление результатов расчета напряженного состояния, полученного с применением рядов Фурье и метода конечных элементов.
Экспериментально доказано, что разрушение элементов конструкций с большей вероятностью происходит в местах концентрации напряжений [1, 2]. Существует два основных источника концентрации напряжений. Это геометрические особенности (разрезы, отверстия и др.) и сосредоточенные нагрузки, которые возникают при взаимодействии элементов конструкций. Предметом изучения настоящей статьи будет второй источник концентрации напряжений, возникающих в тонкостенных конструкциях.
Поскольку в технике широко применяются тонкостенные элементы, то для их описания используются различные теории оболочек, что позволяет понизить размерность задачи на единицу. В настоящее время существует значительное число вариантов теории оболочек, построенных на основе принятия различных гипотез [3] и др. Появившиеся в последнее время вычислительные комплексы, основанные на методе конечных элементов, например АNSYS [4], Cosmos [5] и др. позволяют решать широкий круг прикладных задач для оболочечных конструкций. Таким образом, задачу определения напряженного состояния оболочки от механической нагрузки можно достаточно просто решить, используя данные вычислительные комплексы.
Однако, к числу особых задач для оболочечных конструкций относятся задачи их расчета под действием сосредоточенных или локальных нагрузок. При этом считается, что численные методы при решении таких задач малоэффективны [6, 7]. Ретроспектива развития таких задач и используемые методы приведены в работе [8].
В настоящей статье предлагается метод разложения в ряды Фурье использовать для описания сильно локализованных механических нагрузок, которые могут действовать на тонкостенные оболочечные конструкции в виде тел вращения.
В прикладных задачах механическая нагрузка, действующая на гладкую поверхность оболочки вращения, может быть либо от избыточного давления (распределенная нагрузка), либо от контактного взаимодействия с другими телами (локальная нагрузка). В первом случае задача становится одномерной, и достаточно описывать геометрию оболочки только в виде меридиана. Во втором случае нагрузка становится не осесимметричной, а задача становится двумерной. Если не учитывать возможное сцепление за счет сил трения в контактных задачах, то все многообразие механических нагрузок сводится к распределенной нагрузке q Y, действующей по нормали. Если область контакта стремится к нулю О ^ 0, то на оболочку будет действовать сосредо-
точенная сила. При решении прикладных задач область приложения внешней сосредоточенной нагрузки Q всегда должна быть ограничена физически Q > P х [с]-1 и математически ^ > h (где P — внешняя нагрузка, действующая по нормали к поверхности, [с] — допускаемое напряжение, h — толщина оболочки).
При исследовании оболочек вращения методом конечных элементов, нагруженных локальной нагрузкой, приходится строить двумерную поверхность оболочки. Чтобы описать не большую область Q, на которой действует P, приходится сгущать сетку конечных элементов, что требует больших вычислительных ресурсов. Один из путей определять напряженное состояние оболочек вращения от локальных сил, не проводя дискретизацию оболочки по окружности, — это использование другого численного метода — метода дискретной ортогонализации С.К. Годунова [3]. Он позволяет понизить размерность задачи на единицу, т.е. интегрировать уравнения оболочек по меридиану. Разложение компонент искомых функций в ряды Фурье по окружной координате позволяет определять их значения по окружности [3].
В настоящей статье предложенный ранее подход [9—11], позволяющий аппроксимировать внешнюю нагрузку, используется для описания сильно локальной нагрузки. Разработанный численно-аналитический метод сведения задачи к одномерной [3] и метод дискретной ортогонализации позволяет определять напряденное состояние оболочек вращения.
Координатную поверхность оболочки вращения отнесем к криволинейной ортогональной системе s, 0, где s — длина дуги меридиана, 0 — центральный угол в параллельном круге. Для описания оболочки будем использовать классическую теорию, основанную на гипотезах Кирхгофа—Лява. Следовательно, задача определения напряженного состояния оболочки описывается системой [3]
— 4 —
ТТ = X Am (s,+ 7(s, 0), Y = {Nr, Nz, S, Ms, ur, uz, u, 9sl, (1)
dS m=0 d0
где Nr, Nz — радиальное и осевое усилия; Ur, uz — аналогичные перемещения; S — сдвигающее усилие; Ms — меридиональный изгибающий момент; u — окружное перемещение; 9s — угол поворота нормали. Элементы матрицы Am зависят от геометрических и механических характеристик оболочки. Компоненты вектора f зависят от поверхностных и температурных нагрузок.
Поскольку рассматриваются замкнутые в окружном направлении оболочки вращения, то все факторы нагрузки и напряженно-деформированного состояния являются периодическими. В силу периодичности компонент поверхностной нагрузки все используемые функции, определяющие состояние оболочки можно разложить в ряды Фурье по окружной координате 0.
Ввиду громоздкости формул они приведены в [3]. Приведем только разложение компонентов внешней распределенной нагрузки, действующей по касательной к меридиану qs и окружности q0, и по нормали qY к поверхности оболочки
да да
qs(s, 0) = £ [q*,k(s) cos k6 + q'kk(s) sin k6], q0(s, 6) = £ [qu(s) cos k6 + q'k(s) sin k6],
k=0 k=0 (2)
да
qy(s, 6) = £ [qy>k (s) cos k6 + q (s) sin k6].
k=0
Таким образом, с учетом разложения вида (2) система в частных производных (1) сводится к ряду систем обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка [3]
dY = Ak (s)Yk + fk (s) (k = 0,1,2...),
ds (3)
Ak(s) = |4k)(s}| (i, j = 1,2.8), fk = {fik, f2k-Ak],
с граничными условиями B-Y(s0) = b1, B-Y(sL) = b2, где B-, B- — заданные матрицы; f (s), b-, b- — заданные векторы, k — номер гармоники.
Ограничимся рассмотрением только нормальной распределенной нагрузки qY (в дальнейшем индекс у будем опускать).
Если распределение внешней локальной нагрузки известно по координате меридиана s, а распределение по окружной координате, определяемой углом 0, имеет плавный характер, то задача решается хорошо разработанным методом [3]. Однако при распределении нормальной нагрузки q по окружности в виде локальных сил, а также для нагрузки, которая определяется в процессе решения задачи, например в задачах контактного взаимодействия, определить напряженное состояние оболочки известными методами затруднительно. Для контактных задач распределение контактной нагрузки и область ее приложения неизвестны и следовательно уравнение (1) принимает вид [10]
— 4 —
дY = I Am (s, 0)^ + f (s, 0) + XEq (s, 0), q = {q,0,0,0,0,0,0,0}T ,
ds m=0 d0
X (s, 0eQ) = 1, X (s, 0«Q) = 0,
где Е — единичная матрица.
Для решения таких задач введем понятие виртуального оболочечного элемента [11], на котором примем постоянное значение нормальной нагрузки q.
Виртуальный оболочечный элемент аналогичен контактному элементу, используемому при решении контактных задач, на котором принимается постоянное значение контактного давления [9]. Отличительной особенностью виртуального оболочечного элемента от конечного элемента, применяемого в методе конечных элементов, в том, что количество решаемых уравнений не зависит от уровня дискретизации поверхности, т.е. от количества элементов.
Выделим область поверхности оболочки Qp в месте приложения локальной нагрузки. Для этого разделим меридиан на участки с постоянным значением заданной внешней нагрузки. Затем разбиваем дугу окружности на участки с постоянным значением внешней нагрузки. Следовательно, область поверхности Qp будет покрыта криволинейной сеткой. На рис. 1 показан виртуальный оболочечный элемент с размерами as и я0. Размеры, as и а0 по меридиану и окружности необходимо выбирать в зависимости от степени локализации заданной внешней нагрузки P. Например, при решении контактных задач для тонких оболочек известен эффект образования сосредоточенных сил на границе области контакта, следовательно, размер элемента по окружности должен быть минимально возможным. При аппроксимации плавных нагрузок размер элемента может быть увеличен. Следовательно, для определения напряженного состояния оболочки необходимо на введенных виртуальных элементах аппроксимировать с необходимой точностью внешнюю локальную нагрузку q.
На области Qp примем qjt = const (j = 1...K, I = 1...N, где K, N — число элементов по меридиану и окружности). Если известно значение распределенных нагрузок q по любому выделенному параллельному кругу длиной as, то для интегрирования уравнения (3), учитывая (2), значение нагрузи должно быть представлено в виде разложения в ряд Фурье. Если рассматриваются симметричные относительно вертикальной оси нагрузки, то аппроксимирующая нагрузка qf будет четной. Поскольку функция на-
Рис. 1
Рис. 2
грузки, известная на множестве виртуальных элементов, периодическая с периодом 2Nи четная, то ее можно разложить в ряд Фурье по косинусам [12]
да
qf = — + ^ (ак cos kQ + bk sin k9). (4)
2 k=i
Коэффициенты разложения представляются следующим образом: N-1
2
ак = —
k N
1 , V" nk ■ it ,\k
2q¡ + ь q¡cos+ 2(-1) qN
i=1
bk = 0. (5)
Данное разложение в ряд Фурье применялось для определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций, находящихся в контактном взаимодействии [9, 11].
Точность решения задачи (определение напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций от локальных нагрузок) зависит от точности аппроксимирующей нагрузки (4) и точности интегрирования системы уравнений (3). Эта
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.