ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 1, с. 97-104
НИЗКОТЕМПЕРАТУРНАЯ ПЛАЗМА
УДК 537.525
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО СТОЛБА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАЗРЯДА В АКСИАЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2013 г. Д. К. Ульянов, К. Н. Ульянов
Всероссийский электротехнический институт им. В.И. Ленина, Москва, Россия e-mail: dox@fpl.gpi.ru, kulyanov@vei.ru Поступила в редакцию 24.02.2012 г. Окончательный вариант получен 08.06.2012 г.
Рассмотрена неизотермическая модель положительного столба с учетом баланса энергии электронов. Изучено влияние аксиального магнитного поля на характеристики цилиндрического положительного столба разряда низкого давления в гидродинамическом приближении. Показано, что магнитное поле влияет на распределения плотности плазмы, скорости плазмы и энергии электронов. Для гелия при различных значениях магнитного поля рассчитаны зависимости концентрации, энергии электронов и скорости плазмы от радиуса, а также зависимости от радиуса скоростей азимутального движения электронов и ионов. Отмечено, что в уравнениях азимутального движения электронов и ионов необходимо учитывать инерцию. Полученные в гидродинамическом приближении результаты существенным образом отличаются от результатов широко распространенной диффузионной модели положительного столба в аксиальном магнитном поле. Показано, что при увеличении индукции аксиального магнитного поля и плотности газа распределения концентрации и скорости радиального движения плазмы в большей части объема положительного столба приближаются к распределениям, полученным в диффузионном приближении. Однако вблизи стенок всегда наблюдаются существенные различия.
Б01: 10.7868/80367292112120062
1. ВВЕДЕНИЕ
В теории положительного столба (ПС) разряда низкого давления широко используется диффузионное приближение, когда радиальные распределения концентрации плазмы, скорости амби-полярного движения электронов и ионов к стенке, а также распределение потенциала в аналитическом виде находится с помощью линейного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения амбиполярной диффузии). Для цилиндрического ПС в аксиальном магнитном поле Вг это уравнение имеет вид
1 й ( п йп\ —- № — I = ПУгап> гаг\ ап (1)
К. I I -1-1.1
А„ =■
k (Te + t )
М (V 1а +У 10п )(1 + РД-) Здесь Ба — коэффициент амбиполярной диффузии в магнитном поле [1], Я — радиус ПС, пе = п1 = = п — концентрация плазмы, — частота ионизации, \ш — частота столкновений ионов с атомами, Те, Т, = Та — температуры электронов, ионов и атомов, М — масса иона, Ре и Р,- — параметры Холла для электронов и ионов. Предполагается, что в разрядах низкого давления из-за высокой электронной теплопроводности Те не зависит от поперечной координаты г. При невысоких плотностях тока (меньше 1 А/см2) плотность атомов п0 также не зависит от г, поэтому величины Ба и можно
считать константами. Тогда решение (1) с нулевым граничным условием есть
1
п (г) = п (0) 10 (2.4г), Я =2.4. (2)
Распределение (2), полученное Шоттки для ПС без магнитного поля, справедливо и для ПС в аксиальном магнитном поле [1]. Второе соотношение в (2) определяет температуру электронов: она уменьшается как при увеличении произведения п0Я, так и при увеличении индукции магнитного поля. При этом уменьшается также и напряженность электрического поля Ег.
При выводе (1) из системы уравнений непрерывности и движения для электронов и ионов был сделан ряд допущений. В уравнениях движения не учитывалась инерция электронов и ионов, подвижность ионов считалась постоянной. В [2] была развита теория ПС без магнитного поля в гидродинамическом (недиффузионном) приближении, которая учитывала инерцию ионов и зависимость частоты \ш от скорости движения V электронов и ионов в амбиполярном режиме к стенке. Показано, что распределения п(г) и ^г) отличаются от (2). Характер этих распределений зависит от двух параметров: отношения радиуса Я к длине свободного пробега иона и квадрата отношения Я к дебаевской длине. Переход к распределению (2) происходит только при весьма
больших значениях каждого из этих отношений (больше 103).
Обратим внимание на весьма существенный момент. До настоящего времени задачи в теории разрядов низкого давления рассматривались в изотермическом приближении. Предполагалось, что из-за высокой электронной теплопроводности энергия электронов s не зависит от поперечной координаты r. Баланс мощности для электронов исключался из рассмотрения. В работах [3—5] показано, что предположение s = const в теории ПС противоречит предположению об одномерности задачи. В изотермической модели ПС появляются двухмерные эффекты. Этот вывод непосредственно следует из баланса мощности, в котором при s = const содержатся члены, зависящие от r. Следствием этого является зависимость скорости Vz, от r, а также зависимость Vr от z [3—5]. Таким образом изотермическая теория ПС должна быть двухмерной. Корректная теория однородного по длине ПС может быть только неизотермической, энергия электронов должна зависеть от поперечной координаты r.
В настоящей работе будет развита неизотермическая теория ПС низкого давления в аксиальном магнитном поле.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Выпишем уравнение неразрывности для плазмы и уравнения амбиполярного движения электронов и ионов к стенке цилиндрического ПС с учетом действия магнитной силы на азимутальный ток Холла
(rnV) = nvion,
rdr
иг Vi d nmV--nm — = -enEr--pe —
■ dV_ dr
d_
drJ
(3)
(4)
— nmV (v ea +V ion)- enVeQBz, c
ur Vi
nMV — - nM — = enE„ - -
rdV_ dr
dr
Pi
- nMV(via + vion)-enVmBz c
n(M + m)V— = n dr
mVe
ea + MV2 ^
d (Hk (Te + T )) dr
- nV (M (v ia + Vion ) + m (v ea + V ion )) - П- ( + Vm )Br
c
В левой части (6) пренебрежем массой электрона. В силе трения в правой части (6) можно пренебречь силой трения электронов по сравнению с силой трения ионов и температурой ионов по сравнению с температурой электронов. Исключим производную dn/dr, используя уравнение (3). В (6) при вычислении частоты vía необходимо учесть скорость V при определении относительной скорости. Для этого используем аппроксима-
(2 2\1/2
va + V ) , которая правильно описывает оба предельных случая и имеет незначительную погрешность в узкой промежуточной области va ~ V. Перейдем к безразмерным переменным r = r/R, V = V/ V*, V* = (к (Te + T¡ )/M)1/2, t = T- (r) /T- (0).
Запишем уравнение (6) для V в безразмерной форме (значок в дальнейшем опускаем)
f = (t - V2)r-V(l + mVeí + V2) + btf2 (t)
dr v ; _ MM )
+
+V~ + dl (Vfi + Vßed4 ( + Ve)) fi = (l + d2V2)) + df2, f2=^^
(7)
b = RVion (0)
d3 =
V *
Voon (0)
0
Via
d1 =
Rv0
d4 =
V* m Ve
d2 =
+ V
Von (0)' _nTe (0) 8Ta ' (0)
(8)
M
(5) =
где Via — значение v¡a при V = 0. Для перехода к диффузионному приближению следует считать I = 1, пренебречь членом V2 по сравнению с
единицей, считать что /1 = 1 (т.е. Via = via), а также использовать приближенные соотношения ¥ве = = в^ и Vе = вУ, связывающие скорости орби-
Здесь V(r) = Ve(r) = V(r) — скорость радиального движения плазмы к стенке, Veе — скорость азимутального движения электронов, V¡е — скорость азимутального движения ионов, Ег — радиальное электрическое поле, vea — частота столкновений электронов с атомами, pe ир^ — давления электронов и ионов. Будем считать, как это принято для разрядов низкого давления [1], температуру тяжелых частиц независящей от поперечной координаты г. Сложим уравнения (4) и (5). Имеем
тального движения электронов и ионов со скоростью их радиального движения. Используя (3) и (7), получим уравнение для концентрации плазмы
dn dr
1 (v 2 + m Л m
Vel + Vil
t - V
Vbf2 + dr + di (fi + d4ße ( + Ve))) •
(9)
Безразмерные уравнения для Veе и V¡е в цилиндрической системе координат [6] имеют вид (при азимутальном движении на электроны и ионы
r
r
n
действует магнитная сила (e/c)nVBz и сила трения электронов и ионов) [6]
йг
^ + ^ = йА [р. - Ц [1 + йз /2
а
+ & = а, (а 4Р. - & /
йг г \ V
йб ,(10)
(11)
Представим (7), (9) и (10) в форме, удобной для численных расчетов. Введем переменные
>-0 = п, >>1 = V, У 2 = ^,
Ре
Ую . йг у3 = , >4 = г, >5 = —. й4р. йг
Имеем йу0 _
>0
2
1 2 п2 (т 2 .2 2\| ,
-1 (>1 +Р^ (МУ2 + й4У3 )) +
йг У 4 - >1
+ УМ2 + >5 + й1 (>1/1 + й4р. (>2 + й4Уз) )) ,
(12)
+
й> = ^ (т>22 + «Ц)
+ Ьг/2 + >1>5 + й1>1 (>1/1 + 4р2 (>2 + й4>3 ))
й>2 = - >2 + й1йб |1 - >211 + ^ йг г у >1 У йб
й>1 йг
- >+й111 - >3 /11.
(13)
(14)
(15)
nvjr (кТ.) + п (кТ. + тК1 + ) V
2 йг
■ V
-V-q. = - Ж
(16)
а
а — электропроводность плазмы, qe — поток тепла за счет электронной теплопроводности. Уравнение (16) получено из баланса энергии с использованием уравнений движения электронов и ионов [7]. Первый член в правой части (16) — джоулев нагрев электронов. Второй — потери мощности, связанные с неупругими (ионизация, возбужде-
ния) и упругими столкновениями электронов с атомами:
= ^^¡оп + Ж'еха + ^е/, ^^¡оп =
mVе,
еха 2
МУ-2 3 + + 3 кТе +1
V/,
W = пТI V
еха еха еха
V2 = V2+ге1+Vе2, V2 = V2+VI+V
т
(17)
Же/ = 3к (Те - Т )М (еа + „„).
Це _ -К е
Электронный поток тепла
йТе _ 5пкм2
йг ' 12Уеа (1 + Ре),
V — тепловая скорость электрона. Выражение для ке взято из [1]. Запишем баланс мощности (16) в безразмерном виде, удобном для численных расчетов. Уравнение (16) представляет собой (с учетом теплопроводности) нелинейное уравнение второго порядка, оно эквивалентно двум уравнениям первого порядка
й>5
йг
>5
2а
>4
й>4 = > йг
2 2
>5 >1___
>4 (>4 - ) г (>4 - >12)
(18)
>5
(
^ (/2 + й1 (>1/1 + й4Р2 (>2 + й4>3))) ■ >4 - >1 )
/
г V >1
При г = 1 и Ре = Р,- = 0 уравнения (12) и (13) совпадают с уравнениями, которые использовались в
[2]. Отметим, что при >12 = > 4 производные йу0/йг и йух/йг обращаются в бесконечность, поэтому
2 ^ >1 ^ >4.
Баланс мощности для потока плазмы (по г) в форме баланса тепла [3—5] выглядит так:
О
3 5
3 >5 (3 >4
2 ■>1
>4 >13
(19)
+ >4>1 й1 (>1/1 + й4Р2 (>2 + й4>3)) - О (>4 - >12 )х
X ( (2 + й7 (1 - /2 ) + йМ1У2 ) + 3 Ь>4/1 (5 >4 - >12 ))
йхйА (1 + Р2) I где О = —^-^, й7 =-—.
>4 (>4 - >2) кТе (0)
Система уравнений (12)—(15), (18), (19) является полной, достаточной дл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.