ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 3, с. 284-287
= МЕХАНИКА
УДК 539.374
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ В ТРУБЕ В УСЛОВИЯХ ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ
© 2015 г. Член-корреспондент РАН А. А. Буренин, Л. В. Ковтанюк, Г. Л. Панченко
Поступило 18.05.2015 г.
На основе теории больших упругопластических деформаций, обобщенной на неизотермический случай, получено решение последовательности связанных задач термоупругопластичности о зарождении и развитии течения среды в цилиндрической трубе в условиях меняющегося перепада давления и разогрева материала за счет трения о стенку трубы и последующем торможении течения при медленном снятии нагрузки и остывании материала слоя. Теплофизические и деформационные процессы взаимосвязаны при зависимости предела текучести от температуры. Указаны условия зарождения вязкопластического течения, закономерности продвижения по слою упругопластических границ, рассчитаны скорости течения, большие деформации, как необратимые, так и обратимые.
Б01: 10.7868/80869565215270080
Математических моделей [1—8] теории течения упругопластических сред, способных описать накопление больших необратимых деформаций в условиях их взаимовлияния с обратимыми, предложено достаточно. Здесь будем использовать математическую модель больших упругопластических деформаций [4], обобщенную на неизотермический случай [7, 9]. Основное достоинство этой модели — следование требованиям классической теории упругопластичности, когда пластические деформации в областях упругого деформирования и при разгрузке изменяются так же, как при жестком перемещении среды. Этот факт вместе с упрощающей гипотезой о независимости термодинамического потенциала от пластических деформаций позволил получить решения ряда краевых задач об упругопластическом [10] и упруговязкопластическом [11, 12] деформировании материалов, приобретающих большие деформации, в том числе некоторые точные решения. Такие решения краевых задач в рамках модели больших деформаций важны как для формирования теории деформирования, так и
Институт машиноведения и металлургии Дальневосточного отделения
Российской Академии наук, Комсомольск-на-Амуре Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской Академии наук, Владивосток Владивостокский государственный университет экономики и сервиса E-mail: panchenko.21@yandex.ru
для создания алгоритмов и программ расчетов интенсивных формоизменений в материалах и прогнозирования упругого отклика при разгрузке. Задача разработки таких алгоритмов и программ является одной из основных, стоящих перед современной механикой.
Постановки связанных задач деформирования и теплопроизводства с теплопередачей необходимы для моделирования неизотермических процессов обработки материалов. Часто в таких задачах расчетный технологический результат требует учета упругих свойств необратимо деформируемых материалов, деформации нельзя полагать малыми, предел текучести существенно зависит от температуры. Математическая и вычислительная сложность подобных задач такова, что публикаций, соответствующих оговоренным требованиям, единицы [13, 14]. В [15] получено точное решение задачи теории больших деформаций о движении упруговязкопластической среды в круглой трубе за счет изменяющегося перепада давления. Мы обобщим точное решение [15] на неизотермический случай, учитывая нагрев материала за счет трения о стенку трубы. Постоянный и убывающий перепад давления позволяет рассмотреть возникновение течения, его развитие, торможение и разгрузку с законами движения упругопластических границ.
1. Следуя [5, 8], кинематику деформируемой среды в прямоугольной системе пространственных координат Эйлера XI зададим соотношениями
т1ктк!
¿у = ту + Ру-^
■ ткРк
- Р1ктку + ЩкРк,тф ту = еи + а (Т - Т) 5у,
¿и ди ди
V - —'- - —'- + и ¡4], Щ у - —-, М? д? ' дху
Г, =1 (у - V„) + гу (в^Щк),
_ 11 , \ Впу _ ¿пу
■у - 2у + , _ Г1кпк/ + п1кГку,
Вр
(1)
Б?
у _ р р р
~ - ву - р1квку - в 1крк),
Вт, Б?
у -в -вР -
у у
- -((Вк - врк + г,к)тку + Щк(ву - вк - гц)).
жесткого целого
Вр,
т
ч _
= 0
. Неизменность тензора
необратимых деформаций при обратимом деформировании, введенная конкретная объективная производная тензоров по времени и уравнения переноса обеспечивают геометрическую корректность модели. В (1) эта производная записана для произвольного тензора Пу, компоненты гу нелинейной составляющей тензора вращений Гу = —у выписаны в [5, 8].
В случае независимости термодинамического потенциала от необратимых деформаций, следуя закону сохранения энергии и (1), наряду с уравнением баланса энтропии получаем [8] наиболее простые аналоги формулы Мурнагана, связывающие напряжения с упругими деформациями: = -Р5 у +
дЖ
1 + 3а(Т - То)дй1к
(5и - 24,-) при ру = 0,
= -Р15 у +
дЖ
1 + 3а (Т - То )дт(к
(5у - ту) при р у ф 0,
(2)
Л =
Здесь и¡, V — компоненты векторов перемещений и скоростей точек среды, Т0, Т — комнатная и текущая температура, а — коэффициент линейного расширения. Два последних дифференциальных соотношения в (1) — уравнения изменения (переноса) обратимых ту и необратимых ру составляющих (определения тензоров ту ир у) полных деформаций Альманси ¿у. Источники б р в уравнениях переноса р у — компоненты тензора скоростей пластических деформаций. При б р = 0 компоненты тензора р у изменяются так же, как при движении среды как
Ж (0,/2) = -2 ^ - + Ь/12 + + (Ь -ц)/1/2 3 + V0J1 + + v102 - к1/102 - к2/120 - к3/20 - V203, 0 = (Т - ТОТ-1,
(ру - 0) 1 (ру * 0),
¿1 = ¿у, ¿2 = ¿¡кйы, 11 = Сц, 12 = сцсы, Су = щ -1 т1кЩ.
Согласно (2), среда полагается изотропной и механически несжимаемой, Ж — упругий потенциал (массовая плотность распределения свободной энергии), ц, Ь, V, v1, к1, к2, к3, v2 — термомеханические постоянные, ц — модуль сдвига. При принятии закона теплопроводности Фурье следствием уравнения баланса энтропии является уравнение теплопроводности
1+Ь 0+Ь х,1£+Ь ууху =
у1 у1 ) М у1
д 20 I р ~ — ъуву
(3)
' дхудху 2у1
Р1 (1 - 3аТ0)- 3у 2, р2 =-К1,
р3 =- (у + К3 ),
где ц — коэффициент температуропроводности. Там, где деформирование обратимо, Ху = Му, у у = &у, I = 0; в области течения Ху = с у, у у = &у - & р, I = 1; в области разгрузки Ху = с у, у у = &у, I = 0.
Поверхность нагружения Ш задана обобщением условия Треска
В (а у, 6 р) = тах |а;- - а у - 2к + 2ц тах б ц = 0,
6 р =
у
Хд£ да у '
(
Х> 0, к = к0
->2
Л
1 -^Г
0*у
(4)
Здесь а¡, г{ — главные напряжения и скорости пластических деформаций, п — вязкость, к0, к — предел текучести при комнатной температуре и текущий при относительной температуре 8 соответственно, 0* — относительная температура, соответствующая температуре плавления.
2. Считаем, что упруговязкопластическая среда заполняет бесконечную круглую трубу внутреннего радиуса Я с образующей, параллельной оси г цилиндрической системы координат г , ф, г. Среда находится под действием переменного перепада давления — = -/ (?) (/(0) = 0) и до момента дг
времени ? = ?0 удерживается в трубе за счет сухого
трения на стенке, т.е.
< а0 при г = я
286
БУРЕНИН и др.
(а0 = const, а0 < к0). В момент времени t = t0 перепад давления становится таковым, что |ст rz| = ст0 и начинается проскальзывание материала по трубе. Закон трения при скольжении зададим зависимостью | стrz| - ст0 - 2, v = 0 при r = R, 2, = const — коэффициент вязкого трения. Трение инициирует разогрев деформируемой среды такой, что для формирующегося поля температур выполняются условия: 0(r, t0) = 0, 0(R, t) = a1u(R, t) при t > t0. Здесь u = uz (r, t) — единственная отличная от нуля компонента перемещения, а! — постоянная тепло-производства за счет трения. Интегрирование уравнений равновесия (квазистатический случай) задает напряжения: arz = c(t)r + Ci(t), p = c(t)z + a(t). Для 2 r
неизвестных функций интегрирования имеем: c!(t) = 0, так как стrz при r = 0 конечно, c(t) = -f (t), a(t) — задаваемая функция контрольного давления при z = 0.
Материал деформируется обратимо до момента времени t = t1 > t0, в который выполнится условие пластичности (4), принимающее в нашем случае форму |ст rz\ = к (t1 ). Учитывая полученное распределение напряжений, следуя (1)—(3), в интервале времени [t0, t1] имеем связанную задачу термоупругости для отыскания функций u(r, t) и 0(r, t) с учетом краевых условий
u(R, t) = u0(t) =
0(R, t) = a1u0(t),
( t
1
' 2
2R\f (t)dt -CT0(t -10)
(5)
0,r (0, t) = 0.
В расчетах полагали /($) = yt , а постоянные задавали следующими: дЯ= 3, -1 = 0.00229796, /ц-1 = 0.001, р1 = 0.5, ст0ц-1 = 0.0005, ст-1Я"V = = 0.08, ст 0ц\ = 0.08, а1Я = 10, v1|а-1 = 0.02, где
¥
VTTR1.
Начиная с момента времени t = t1 в среде присутствуют две области, деформирование в которых происходит по-разному. Разделяются эти области движущейся упругопластической границей г = г^); область 0 < г < г^) является движущимся и продолжающим обратимо деформироваться ядром, в области г^) < г < Я осуществляется вязко-пластическое течение и всюду согласно (4)
ст= -к + пб, что позволяет вычислить ба из условия ее обращения в нуль на границе г = г^) установить закон ее движения
r1(t) = 2k0f >)(1 -02 (r1(/),t )0*2 ).
-2 ч
(6)
В области течения u,r = 2 (mrz + prz ), где prz определяется интегрированием по времени полу-
меннои после прохождения через точку с координатой r упругопластической границы. В уравнении теплопроводности (3) для области течения появляется слагаемое в форме источника, отражающее теплотворную способность деформирования. Это потребовало составления специальной конечно-разностной схемы расчетов, которая учитывала условия на продвигающейся границе, положение которой также остается элементом решения.
Если с некоторого момента времени t = t2 > t1 перепад давления перестает меняться (f(t) = const при t > t2), то в отличие от изотермического случая [15] область вязкопластического течения будет продолжать развиваться за счет роста температуры в среде вследствие теплотворной способности трения и необратимого деформирования при существенной зависимости предела текучести от температуры. Более того, развитие области вязкоп
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.