ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, Л* 1 июль, 2005
©2005 г. С. Дюваль*, П. А. Хорвати+
НЕКОММУТАТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ, ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ И АНОМАЛЬНЫЕ АНИОНЫ В ЭФФЕКТЕ ХОЛЛА
Дан обзор предложенной ранее модели "экзотической частицы" и более новой модели аномального аниона, которая обладает произвольным гиромагнитным отношением д. Нерелятивистский предел модели аниона обобщает модель экзотической частицы, которая имеет гиромагнитное отношение д = 0, до модели с произвольным д. В плоском электромагнитном поле эффект Холла становится обязательным для всех д ф 2, когда поле принимает некоторое критическое значение.
Ключевые слова: экзотическая галилеева симметрия, некоммутативные координаты, эффект Холла.
1. ВВЕДЕНИЕ
Классические заряженные частицы в задаче Ландау движутся вдоль спиральных траекторий вокруг направляющего центра, который, в свою очередь, подчиняется закону Холла. В квантово-механическом случае ограничение на движение направляющего центра означает проецирование на нижний уровень Ландау (НУЛ). Координаты направляющего центра являются некоммутирующими [1]-[3],
= (1-1)
По Лафлину, дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ), наблюдаемый в тонких пленках полупроводниковых гетероструктур, должен объясняться в пределах НУЛ [4]. При более точном описании заряды становятся квазичастицами, а именно заряженными
* Centre de Physique Théorique, CNRS, Luminy, Case 907, F-13288 Marseille Cedex 9, France; UMR 6207 du CNRS associée aux Universités d'Aix-Marseille I et II et Université du Sud Toulon-Var; laboratoire affilié à la FRUMAM-FR2291
^Laboratoire de Mathématiques et de Physique Théorique, Université de Tours, Parc de Grand-mont, F-37200 Tours, France. E-mail: horvathy@univ-tours.fr
НЕКОММУТАТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ, ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
27
Г
плоскими вихрями [3], [4], динамика которых может быть описана простой гамильтоно-вой моделью1) [5], [6]. Координаты снова являются некоммутируюшими. Фактически, эта модель может быть получена посредством редукции модели "экзотической частицы" [7]. Последняя связана с двукратным центральным расширением плоской группы Галилея [8] и с самого начала обладает некоммутируюшими координатами. Для критического значения магнитного поля (см. далее (2.11)) единственными разрешенными движениями являются движения, подчиняющиеся закону Холла [7]. Квантование позволило вывести те волновые функции, с которых начинал Лафлин, и снова получить коммутационное соотношение (1.1) [7].
Мы полагаем, что наши экзотические частицы должны описывать эффективное движение квазичастиц Лафлина, хотя до сих пор мы не имеем убедительного доказательства, а лишь косвенные свидетельства этого факта.
Математически "экзотическая модель" возникает благодаря особым свойствам плоскости, а именно коммутативности вращений [8]. Но в чем физическая природа этой модели? Джакив и Наир [9] получили свободную экзотическую модель как нерелятивистский предел анионов2', тогда как второй параметр расширения группы Галилея возникает как "нерелятивистская тень" релятивистского спина [10].
Взаимодействие анионов с электромагнитным полем рассматривалось в работах [11], [12]; в работе [9] было заявлено, что наша экзотическая система с взаимодействием на самом деле будет пределом Джакива-Наира (ДН-предел) системы Чоу и др. [1].]. То, что это не может быть справедливо, видно из сравнения гиромагнитных отношений. Модель в работе [11] обладает гиромагнитным отношением д = 2; по сути, некоторые теоретики в области физики высоких энергий [11], [12] утверждали, что гиромагнитное отношение анионов непременно равно 2. Это противоречит экспериментальным данным: для ДКЭХ з ~ 0 [3], [13].
В новой работе [14] предложена обобщенная анионная модель, которая допускает любое значение гиромагнитного отношения. Установлено, что в случае д ф 2 все движения подчиняются закону Холла, если поле и спин удовлетворяют некоторому соотношению, которое обобщает (2.11). Нерелятивистские аналоги могут быть получены переходом к ДН-пределу. В частном случае д = 0 мы возвращаемся к экзотической модели работ [7].
2. ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
Экзотическая модель работ [7], связанная с двукратным центральным расширением группы Галилея [8], была построена в работах [7], [15] с помощью теоретико-группового метода Сурьё [16]. Будем использовать более традиционный язык. Рассмотрим четы-
1^Эта модель имеет длинную историю, отраженную в [6]: относительное движение точечных вихрей описывается этой моделью в работе Миттага, Стефена, Йорграу (1968 г.); ранее она использовалась Онзагером для описания вихрей в пленках сверхтекучего гелия (1949 г.); Онзагер фактически ссылается на Лэмба (1932 г.), который, в свою очередь, упоминает, что эта модель в действительности открыта в работе Кирхгофа (1883 г.); подробности можно найти в работах П. Хорвати.
2)Под "анионом" мы понимаем просто частицу в плоскости, обладающую (произвольным) спином.
28
С. ДЮВАЛЬ, П.А. ХОРВАТИ
рехмерное фазовое пространство, снабженное "экзотической симплектической структурой" с заданным свободным гамильтонианом Но'-
в р2 Г^О = ¿р А ¿X + А ¿р., Н0 - -—.
2 ¿тп
(2.1)
Отметим, что второй ("экзотический") член симплектической структуры существует только на плоскости. По построению система (2.1) реализует двукратное центральное расширение галилеевой симметрии [8], [7]. Энергия и импульс имеют обычный вид; экзотическая структура проявляется только в моменте импульса и галилеевых бустах:
3 -х хр + ^вр2,
Кг - тХг — ^Эг^ + ТПв^^р^.
(2.2)
Коммутационные соотношения имеют обычный вид, за исключением соотношения для бустов:
{К1,К2} = -тп2в, (2.3)
которое является признаком "экзотической галилеевой симметрии" [8]. Минимальное взаимодействие достигается путем добавления электромагнитной 2-формы еР [16]. Это приводит к фундаментальным скобкам Пуассона
где
{ХХ,Х2} - —:в, тп
{РъРг} = —¿еВ, тп
тп* = тп{\ - 6еВ).
(2.4)
(2.5)
Наши коммутационные соотношения (2.4) похожи, но все же отличаются от соотношений, постулированных позднее Наиром и Полихронакосом [17]
{хх,х2} = в,
{Хг,Ру} =
{Р1,Р2} =еВ-
(2.6)
На самом деле две системы эквивалентны только в случае свободных частиц, Г — 0.
Внешне соотношения (2.6) выглядят более естественно. Однако они состоятельны только в случае однородного магнитного поля VВ = 0; в противном случае нарушается тождество Якоби [7]:
{хи{р1,р2}}сусПс=ве^В. (2.7)
С другой стороны, странного вида "экзотические соотношения" (2.4) требуют только выполнения естественного условия ¿Г = 0 и имеют поэтому более широкую область
Поз
и структу-
(2.1)
шествует -тральное ¿л вид; эк-!л"стах:
(2.2)
НИЯ для
(2.3)
^.¿альное г "16]. Это
(2.4)
(2.5)
гоотно-
(2.6)
—■г ЛЬНЫ
•дается
(2.7)
.о тъ
применения. Различие между моделями происходит из-за взаимодействия: в то время как мы используем рецепт Сурьё (добавляя 2-форму), авторы работы [17] постулируют скобки Пуассона (2.6). Модели могут быть преобразованы одна в другую путем следующего переопределения времени:
тп
(2.8)
т
г -> —г,
т*
что исправляет недостаток соотношений (2.6) для любого В такого, что т* ф 0. Однако при т* = 0 такое преобразование невозможно, что приводит к неэквивалентному поведению моделей.
Далее мы будем рассматривать только более удовлетворительную экзотическую модель.
В рамках лагранжева подхода наша минимально взаимодействующая система описывается выражением первого порядка [7]
Ь ~ (р- еА) ■ х — --еУ + ^-р х р.
2т 2
(2.9)
(2.10)
В соответствующих уравнениях Эйлера-Лагранжа (или, эквивалентно, в уравнениях Гамильтона)
т*Хг = Рг — етве^Е^, Pi = еЕ{ + еВ^цХ]
параметры расширения объединяются с магнитным полем в эффективную массу т* в выражении (2.5). В случае ненулевой эффективной массы (т* ф 0) движения похожи на движения обычной частицы в плоском электромагнитном поле. Однако когда эффективная масса обращается в нуль (т* = 0), т.е. в случае
(2.11)
система становится сингулярной, и совместимость уравнений движения (2.10) может быть сохранена, только если координаты направляющего центра
— х^
подчиняются закону Холла,
тЕг
~7в2
0г — ^ ,
(2.12) (2.13)
где Ei = —д{У. Доказательство можно провести следующим образом. Положим
Qi — Xi + Су ^ .
Подставим сюда скорость, полученную из выражения для силы Лоренца,
. Рз .
' еВ'
30
С. ДЮВАЛЬ, П.А. ХОРВАТИ
при этом содержащие р^ члены сокращаются, и остается выражение3^ (2.13) для <2. Характерная особенность здесь заключается в том, что при то* = 0 первое уравнение в (2.10) влечет
Е •
pi = meij-±. (2.14)
Импульс, таким образом, не является более динамической переменной, поскольку он определяется положением. Единственные динамические степени свободы суть величины <3г (в действительности Qi = QгB силу (2.14)), движение которых (подчиняющееся закону Холла) определяет движение физических координат хг. Тем самым реализуется идея Лафлина, который утверждал, что ДКЭХ должен означать "конденсацию в коллективное основное состояние" [4].
В случае постоянного электрического поля, в частности, дополнительный член в (2.12) просто является константой и сама частица подчиняется закону Холла.
Условие (2.11) согласуется с (1.1), так как оно фиксирует значение магнитного поля как функции некоммутативного параметра в, рассматриваемого как физический параметр частицы на том же основании, что и масса. Для этого значения проецирование на НУЛ обязательно.
Наглядная картина такова. При то* ф 0 частица движется вдоль спиральных траекторий вокруг направляющего центра. Движение последнего может на самом деле представлять собой реальное движение при специальных начальных условиях, когда начальная скорость такова, что сила Лоренца в точности компенсируется электрической силой. Тогда движение происходит вдоль эквипотенциальных поверхностей. Однако когда то* —\ 0, у нас остается только движение направляющего центра, поскольку начальные условия, отвечающие возможному спиральному движению, оказываются запрещенными. Результатом несовместимости начальных условий является мгновенное распространение [7], что делает квантовый пропагатор конечным для бесконе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.