ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 33, № 10, с. 723-726
УДК 524.86
НЕКОТОРЫЕ КВАНТОВЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕКОМБИНАЦИИ ПЕРВИЧНОГО ВОДОРОДА
© 2007 г. В. К. Дубрович*
Санкт-Петербургский филиал Специальной астрофизической обсерватории РАН
Поступила в редакцию 27.03.2007 г.
Рассмотрены некоторые проблемы двухфотонного распада высоко возбужденных уровней атома водорода и гелия. Показано, что необходимая точность расчета вероятностей переходов требует отказа от чисто дипольного приближения в теории излучения атома водорода. Обсуждается вопрос о пределах применимости теории возмущений к этому процессу. Предложен новый механизм перераспределения фотонов лаймановской серии атома водорода за счет очень близкого расположения уровней 20P и 19P атомов водорода и дейтерия соответственно (водородно-дейтериевый резонанс).
Ключевые слова: квантовая теория излучения, двухфотонные процессы, космология, рекомбинация, космическое микроволновое излучение.
QUANTUM PECULIARITIES OF THE RECOMBINATION OF PRIMORDIAL HYDROGEN, by V. K. Dubrovich. Some problems of the two-photon decay of highly excited levels of atomic hydrogen and helium are considered. The necessary accuracy of calculating the transition probabilities is shown to require abandoning the purely dipole approximation in the theory of atomic hydrogen radiation. The range of applicability of the perturbation theory to this process is discussed. We suggest a new mechanism of the Lyman photon redistribution due to very close locations of the 20Р and 19Р levels for the hydrogen and deuterium atoms, respectively (hydrogen—deuterium resonance).
PACS numbers: 98.70.Vc; 95.30.Jx
Key words: quantum theory of radiation, two-photon processes, recombination, cosmic microwave background radiation.
ВВЕДЕНИЕ
Стремительно нарастающий интерес к тонким эффектам процесса рекомбинации первичного водорода и гелия обусловлен новыми возможностями экспериментальной техники (см. Хирата, Свитцер, 2007, и цитированную там литературу). Сегодня оказываются востребованными результаты и идеи, ранее казавшиеся чисто "академическими" и поэтому зачастую даже не опубликованные. Очень существенными в этом плане являются исследования Зельдовича и др. (1968), Холупенко и Иванчика (2006), Крессера и др. (1986), Флорес-ку и др. (1988), Дубровича (1987), поскольку в них впервые были численно оценены вероятности нерезонансных двухфотонных распадов. Необходимо также отметить работы, посвященные общему
* Электронный адрес: dubr@MD1381.spb.edu
рассмотрению двухфотонных распадов возбужденных состояний: Зон и др. (1968), Кватропани и др. (1982). Хиратой и Свитцером (2007) достаточно подробно обсуждаются двухфотонные распады с высоких уровней по результатам многочисленных работ разных авторов уже конкретно по отношению к проблеме рекомбинации первичного водорода и гелия. На основе численных расчетов и аналитических аппроксимаций показано, что их роль в динамике рекомбинации как водорода, так и гелия ранее, в частности в работе Дубровича и Грачева (2005), была завышена. Однако использованные Хиратой, Свитцером (2007) формулы основаны на некоторых базовых приближениях, которые в данной задаче требуют более внимательного применения. В результате полученные оценки фактически могут привести к другой крайности — существенной недооценке роли двухфотонных распадов. Мы подробно остановимся на этом вопросе
724
ДУБРОВИЧ
в следующем разделе данной статьи. Далее будут описаны аргументы в пользу более глубокого рассмотрения вопроса о пределах применимости теории возмущений в данной задаче. Вообще при заданной точности расчетов список эффектов, которые необходимо еще учесть, должен быть дополнен. Целью данной статьи является описание только нескольких таких эффектов. В частности, при расчетах по теории переноса скорости ушире-ния La линии водорода может быть очень важным на некоторых этапах учет резонанса водородных и дейтериевых линий, описание которого также дано в статье. Учет этих эффектов может заметно повлиять на конечные оценки основных скоростей радиационных процессов в эпоху рекомбинации первичного водорода и гелия.
НЕДИПОЛЬНОСТЬ РАДИАЦИОННЫХ ДВУХФОТОННЫХ РАСПАДОВ
Точность результатов стандартных расчетов скоростей радиационных процессов ограничена применимостью дипольного приближения в теории излучения атомов. Хирата, Свитцер (2007) упоминают это утверждение из работы Дубровича и Грачева (2005), но в дальнейшем везде полностью игнорируют. Рассмотрим более подробно величину ошибки, которая при этом возникает. Напомним общие теоретические положения квантовой механики процесса излучения фотона. Вероятность излучения в единицу времени в первом приближении по теории возмущений определяется матричным элементом от возмущения V гамильтониана системы за счет взаимодействия фотона с токами заряженных частиц (Берестецкий и др., 1989)
V = -дЦАП, (1)
где д — заряд частицы, А^ — волновая функция излучаемого фотона, = (¿0, j) — 4 — вектор плотности тока частиц. Волновая функция фотона с определенной частотой и, импульсом к и поляризацией е есть (Берестецкий и др., 1989, стр. 190)
А^ = -4П —= ехр(гкг) (2)
л/2ш
(временной множитель опущен). После некоторых преобразований дифференциальная вероятность излучения dwfg (в 1 с) в элемент телесного угла dq фотона с поляризацией е = (0, е) при переходе системы из состояния f в состояние д может быть представлена в виде (Берестецкий и др., 1989, стр. 194)
dwf9 = Я2 2П\еЧ^(к)\ЧП, (3)
jfg(k) = у jfge-гkrd3x. (4)
Обратим внимание на стоящий под интегралом экспоненциальный множитель, который описывает излучаемый фотон. В принципе именно выражение (4) должно входить как матричный элемент гамильтониана взаимодействия во все формулы теории возмущений. Дипольное приближение получается из общей формулы (3) в случае, когда длина волны фотона Л много больше размера области излучения: ^ = 2пг/Л ^ 1. Тогда экспонента в (3) принимается равной единице, а радиус орбиты входит в результат через свою производную — скорость движения частицы, определяющую ток. Такое приближение прекрасно работает практически для всех возможных переходов в атоме водорода, кроме двухфотонных распадов высоких состояний. Действительно, величина ^ для переходов между близкими уровнями п> п' есть
^ & (2па0п2/Л0) х (5)
х (1/п/2 — 1/п2) & 7.21 х 10-4(п — п')/п2,
где а0 = 5.29 х 10-9 — радиус первой боровской орбиты в атоме водорода, Л0 = 0.912 х 10-5 см — длина волны лаймановского предела. Для далеко отстоящих уровней, дающих лаймановские переходы, ситуация менее очевидная. Формально, длина волны Ьп перехода становится порядка радиуса орбиты при том же значении п > 30. Однако, беря точное выражение для матричного элемента дипольного момента d1n такого перехода (Берестецкий и др., 1989, стр. 225), легко видеть, что основной вклад будут давать области радиуса вблизи центра г1п & а0/п3/2 и, соответственно, эффекты недипольности не существенны. Все эти оценки относятся к переходам, в которых номер уровня и частота излучаемого фотона жестко связаны. Совершенно иная ситуация складывается, когда мы рассматриваем не резонансные переходы, а такие комбинации номеров уровней и частоты, в которых эти параметры независимы. Так, в двухфо-тонном распаде мы можем рассматривать переход между уровнями с одинаковым п, а длину волны фотона Л брать порядка 2Л0. Главный вклад в интеграл (3) будет при этом давать область вокруг радиуса г & а0/п2, а величина k & п/Л0. В результате имеем ^ & 1.8 х 10-4п2. Для переходов между уровнями п и П имеем ^ & 1.8 х 10-4пп'. Рассмотрим теперь качественно, к чему это приводит для оценки вероятности духфотонного перехода. Хирата, Свитцер (2007) приводят упрощенное описание характера подавления суммы матричных элементов для переходов с высоких уровней. Это рассмотрение вполне достаточно только для доказательства отсутствия роста данной суммы пропорционально п. Однако закон стремления ее к нулю (Хирата, Свитцер, 2007, приложение А)
НЕКОТОРЫЕ КВАНТОВЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕКОМБИНАЦИИ
725
не очевиден, так как в рамках выбранного приближения отброшены дополнительные слагаемые, величина которых совершенно не оценена. Так, использование волновой функции в квазиклассическом приближении и интегрирование ее только по классически разрешенной области приводит к следующим ошибкам: 1) квазиклассическое интегрирование вблизи центра должно вестись от некоторого rmin & l(l + 1)a0/n2 (l — орбитальный момент); 2) при больших n нужно учесть вклад в интеграл от области r > rmax. Все эти оценки, однако, имеют характер математических упражнений, которые для достаточно малых n могут быть заменены точными численными расчетами, а для больших n теряют смысл, так как не учитывают недипольность переходов. Применимость диполь-ного приближения (kr > 1) теряется при n > 30. Однако высокая степень компенсации центрального матричного элемента (переход n—n) суммой всех других матричных элементов уже не будет иметь место при гораздо меньших n. Действительно, коррекция за недипольность будет существенно различна для переходов вниз и вверх по n. Кроме того, появляется дополнительная, довольно сложная зависимость от частоты излучаемого фотона. Если при этом компенсация в начальной сумме имеет порядок 1/n2, а kr & 10-4n2, то учет недипольности будет менять характер компенсации уже при n > 10. Очень важно также учитывать то обстоятельство, что недипольность приводит к появлению на первом шаге переходов с изменением орбитального момента l электрона более чем на единицу. Это означает, что мы должны учитывать вклады в матричный элемент от таких переходов и суммировать по моменту соответствующие состояния с их статистическими весами. Конечный результат таких вычислений совершенно не очевиден, а в цитированной разными авторами литературе такая задача не рассматривалась. Поэтому вопрос о роли двухфотонных переходов в динамике рекомбинации первичного водорода (и особенно гелия) остается открытым.
ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Еще один вопрос из теории квантовой механики в применении к задаче о двухфотонных переходах требует детального анали
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.