КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 4, с. 373-377
УДК 521.13
НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ ДВУХ
НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ
© 2007 г. А. Ю. Кочеткова, Л. Г. Лукьянов
Государственный астрономический институт им. П К. Штернберга МГУ sunny@sai.msu.ru, luka@sai.msu.ru Поступила в редакцию 23.06.2005 г.
Рассмотрена обобщенная задача двух неподвижных центров и ее предельный вариант. Получены новые возможные приложения этой задачи. С помощью симметричного варианта задачи аппроксимируется внешнее поле тягочения. Предельный вариант аппроксимирует внутреннее поле.
РАС8: 95.10.Ce, 45.40.Bb, 45.50.Jf
Обобщенная задача двух неподвижных центров или задача Еве Гредеакса [1] является одной из основных задач небесной механики и астродинамики. Эффективность использования обобщенной задачи двух неподвижных центров для создания аналитических теорий движения спутника в гравитационном поле сжатой планеты впервые была показана в работе [2]. Используя эту работу, в дальнейшем были созданы многочисленные высокоточные теории движения искусственных и естественных спутников планет. Основой этих теорий является возможность аппроксимации гравитационного поля сжатой планеты потенциалом обобщенной задачи двух неподвижных центров. При помощи такой аппроксимации удается учесть основные гармоники в разложении потенциала планеты и, благодаря интегрируемости задачи двух неподвижных центров, построить эффективную промежуточную орбиту.
Однако эта задача имеет более широкий спектр приложений. Некоторые из них рассматриваются в настоящей работе.
В качестве исходного будем рассматривать потенциал Дарбу [3]
Потенциал (1) будем записывать также в виде
иа =
а + ib , а - ib
(1)
1 , 1
ио = и1 + и2,где и 1 = а\ - + - , и2 = Ш --- .
1 '2
11
Г1 Г2
Если положить а = , Ь = а-^" , где т - общая
масса двух неподвижных центров, / - универсальная гравитационная постоянная, а а - некоторый безразмерный параметр, то получим потенциал Гредеакса в классическом виде [2]:
иг
= /т (
1 + ¡а , 1 - ¡а
2 V Г1
где г1 = ^Х+у^+^г-~1е)2, г2 = л/г2 + у2 + (г + ¡с)2, х,у, г - координаты движущейся точки, i - мнимая единица, а а и Ь - произвольные действительные величины. Этот потенциал создается двумя неподвижными гравитирующими центрами, расположенными на мнимом расстоянии ¡с друг от друга. Система координат х, у, г выбирается так, чтобы ось г проходила через неподвижные центры, а начало координат располагалось на равном удалении от неподвижных центров.
Хорошо известный симметричный вариант [2] обобщенной задачи двух неподвижных центров, для которого а = 0, описывается потенциалом и1. А потенциал и2 определяет силовую функцию некоторого предельного варианта обобщенной задачи двух неподвижных центров [4], который можно получить из потенциала Гредеакса предельным переходом, когда т —► 0 и а —► но так что величина /та/2 остается конечной величиной, равной Ь.
При аппроксимации потенциалов реальных физических тел потенциал и1 следует использовать для внешнего поля, а и2 - для внутреннего.
Потенциал обобщенной задачи двух неподвижных центров всегда принимает вещественные значения, а сами центры располагаются в комплексном пространстве. Возникает вопрос: нельзя ли найти гипотетическое гравитирующее тело, располагающееся в действительном пространстве и создающее такое же гравитационное поле? Ответ на этот вопрос может облегчить поиск новых практических приложений обобщенной задачи двух неподвижных центров.
Для решения такой задачи воспользуемся известными из теории притяжения [5] характери-
2
стическими свойствами Дирихле. Сначала по разрыву первого рода производной dUG/dz на диске D (на котором х2 + y2 < c2, z = 0)
üUg BUg 2 fmp lim --г--lim -=— = --—■■—;
z^ +o dz z^-o dz (c2 - p2)3/2
х2 + y2, установим, что на этом диске
Разложение потенциала и1 в ряд по сферическим функциям для г > с имеет вид:
и .=■? (1+1.)=fm к-1)" (c)2V
n = 0
где p = J.
должен располагаться простой слой. Приравнивая значение разрыва указанной производной величине -4nf5, можно определить плотность этого
слоя 5 в виде 5 = (-m/2п(c2 - p2)3 2). Полная масса простого слоя на диске D отрицательна и бесконечна, так как J2% ^ф^ p5 dp = Бесконечный
разрыв потенциала и всех его производных на окружности G (уравнения которой х2 + y2 = c2, z = 0), ограничивающей диск D, показывает, что на этой окружности должна располагаться гравитирую-щая масса с равномерной положительной плотностью.
Никаких других центров гравитации у гипотетического тела быть не может, так как вне диска D и окружности G потенциал и его производные первого и второго порядка непрерывны.
Массу материальной окружности можно определить по поведению потенциала на бесконечности, где любое тело притягивает как материальная точка. Из уравнения lim rU = fm = f(mD + mG),
r ^^
где mD и mG - масса диска D и окружности G соответственно, получим, что сумма их масс равна массе неподвижных центров m.
Таким образом, искомое гипотетическое тело должно состоять из материальной окружности G с положительной бесконечной плотностью и диска D c отрицательной плотностью. И окружность и диск обладают бесконечными массами разных знаков, но их общая масса конечна и равна m.
Отсюда ясно, что строго найти физическое тело, обладающее таким распределением плотности, невозможно. Можно только надеяться найти физические тела, потенциал которых близок к рассмотренному хотя бы в некоторой части пространства. Примером таких тел являются сжатые сфероиды (планеты) [2], которые во внешнем пространстве создают поле, близкое к полю обобщенной задачи двух неподвижных центров. Никаких других примеров пока не было известно.
Поэтому дальнейший поиск новых приложений обобщенной задачи двух неподвижных центров будем проводить путем отыскания таких физических тел, у которых отрезок ряда в разложении потенциала совпадает с аналогичным отрезком ряда для разложения потенциала Гредеакса. Иными словами, будем пользоваться тем же методом, что и в основополагающей работе [2].
= fm
r
1-' c )22 * (z)+(c)4 P{ r) -
r) <r
(2)
Г2 , 2 , 2
где г = л/х + у + г - радиус-вектор движущейся точки, а Р2п - полиномы Лежандра.
Аналогичное разложение потенциала и2 для г < с запишем в виде:
U22 = (1-1) = ^ .1 )n (c
2n
x P2
z) _ fmc
x
1-1-1 P2J? + fr) P4f- (3)
r) <
Сравнивая эти разложения с аналогичными разложениями материальных тел и подбирая соответствующим образом свободные константы т (или та) и с, можно аппроксимировать потенциалы рассматриваемых тел потенциалом задачи двух неподвижных центров. Ограничимся рассмотрением следующих материальных тел: однородная материальная окружность (круговое кольцо Гаусса); однородный диск (простой слой); однородный сжатый эллипсоид вращения; сжатый сфероид.
1. Кольцо Гаусса. Рассмотрим однородную материальную окружность радиуса а с массой М Разложение потенциала такого кольца Гаусса и0а в ряд по сферическим функциям имеет вид [5]:
для г > а
Ug. f Х<-1)
2n
, (2 n - 1 ) ! ■ (äy р f z (2 n)!! f r) 2nf r
= M
r
1-
1 (ä
2 f r
P
+ 3(ä\ P.I -I-
-8 (ä)6 p{ z
n=o
n=o
для г < а
иа.=а к-1 )■
2 п
= /М
а
1 ( г
3 ( г
2п
1-210")р (Г1^-
-5 (а)6 р«( г
(5)
2. Однородный диск. Рассмотрим теперь простой слой, расположенный на круглом диске Di. Радиус диска и его массу будем обозначать теми же буквами а и М, соответственно. Разложение потенциала такого диска в ряд по сферическим функциям имеет вид [5]:
для г > а
и„- -М К-1 >'
п = 0
( 2 п - 1 ) !! (п + 1)( 2 п ) !! V г
-Тр '2
Из разложений (2) и (4) видно, что параметры т и с можно выбрать так, чтобы совпали первые члены этих разложений:
/т = /м Мс}2р (?) = /М1 (-)2р (?).
г г ' г (г) 2(г) г 2Vг) 2(г/
Для этого следует положить т = М, с = а/л/2 . Тогда потенциал и1 будет совпадать с потенциалом кольца Гаусса с точностью до (с/г)3 включительно. Более того, будут совпадать (равны нулю) все члены нечетной степени, а соответствующие члены четной степени будут всегда одинакового знака. Иными словами, потенциалом обобщенной задачи двух неподвижных центров можно с высокой степенью точности аппроксимировать притяжение однородного кольца Гаусса в области г > а. Такая аппроксимация позволяет, например, получить вековые возмущения, создаваемые возмущающим телом, движущимся по круговой орбите радиуса а, внутри орбиты возмущаемого тела. Учитывая интегрируемость обобщенной задачи двух неподвижных центров, эти вековые возмущения можно представить в квадратурах.
Сравнивая аналогичным образом разложения (3) и (5), можно получить условия аппроксимации потенциалом и2 притяжения кольца Гаусса в области г < а: та , с = а 72 . Тогда у потенциалов (3) и (5) будут совпадать коэффициенты при нулевой и второй зональных гармониках, а также при всех нечетных гармониках. Такая аппроксимация также позволяет учитывать вековые возмущения, но, в отличие от предыдущего, возмущаемое тело здесь располагается внутри кольца Гаусса.
Если не принимать во внимание нулевые (постоянные) гармоники разложения в (3) и (5), которые не оказывают никакого влияния на движение, то величины та и с можно выбрать так, чтобы совпадали коэффициенты при второй и четвертой
зональных гармониках: та =
4М/(3 73 ), с = 2а/73 . Это дает возможность увеличить точность аппроксимации до пятой степени г/с включительно (члены нулевого порядка, конечно, будут отличаться).
= м
г
1 (а
1 - 4 (р2
-! (а) р« 'г
+ 1 (^ Р41 -I -
(6)
для г < а
_ /м
2 (2п - 1)!!(г а " 2п - 1 (2п)!! (а
п = 0
= К-1)
п = 0
г) _ /М
2п
X
X Р2п1 -I =
'М+4(а)Ч) - <7>
-4 (а)6 р«( г
Разложение (6) можно приближенно представить потенциалом (2), если положить
т = М, с = а/2, (8)
а разложение (7) - потенциалом (3), если считать
та = М, с = а. (9)
В разложениях тогда будут совпадать коэффициенты при гармониках нулевого и второго порядков, а также все коэффициенты при нечетных гармониках. Как и для кольца Гаусса точность аппроксимации ряда (16) можно довести до пятой степени г/а, если исключить из рассмотрения члены нулевого порядка. Для этого вместо (9) следует положить
та = 8М, с = 2а.
(10)
Потенциал однородного диска можно ис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.