УДК 524.3-78, 523.947
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЭНТРОПИЙНЫХ И МАГНИТОЗВУКОВЫХ ВОЛН В ОПТИЧЕСКИ ТОНКОЙ КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ
© 2007 г. Б. В. Сомов1*, Н. С. Джалилов2-3**, Ю. Штауде4***
1Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва 2Институт земного магнетизма и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова РАН, Троицк 3Шамахинская астрофизическая обсерватория Азербайджанской академии наук 4Институт астрофизики, Потсдам, Германия Поступила в редакцию 22.05.2006 г.
Задача о неустойчивости малых возмущений магнитогидродинамического типа в оптически тонкой идеально проводящей однородной плазме с космическим обилием элементов решена в линейном приближении. Учтены электронная теплопроводность вдоль магнитного поля и протонная теплопроводность поперек поля. Впервые показано, что энтропийные волны могут экспоненциально нарастать, а магнитозвуковые волны затухают в широком диапазоне физических условий, максимально приближенных к условиям в коронах звезд, c соответствующим учетом лучистых потерь. Особенно быстро затухают медленные магнитозвуковые волны. Для солнечной короны вычисленный коэффициент затухания медленных волн хорошо согласуется с усредненным коэффициентом затухания в 11 квазипериодических событиях, наблюдавшихся со спутника TRACE в жестком ультрафиолетовом излучении. Кратко обсуждаются другие возможные астрофизические приложения полученных результатов.
Ключевые слова: плазменная астрофизика, гидродинамика и ударные волны, короны звезд, вспышки, МГД-волны, устойчивость, магнитное пересоединение.
PECULIARITIES OF ENTROPY AND MAGNETOSONIC WAVES IN OPTICALLY THIN COSMIC PLASMA, by B. V. Somov, N. S. Dzhalilov, and J. Staude. The stability problem for small magnetohydrodynamic (MHD) perturbations in an optically thin, perfectly conducting homogeneous plasma with a cosmic abundance of elements is solved in the linear approximation. The electron heat conduction along the magnetic field and the proton heat conduction across the field are taken into account. We have shown for the first time that entropy waves can grow exponentially, while magnetosonic waves are damped in a wide range of physical conditions closest to the conditions in stellar coronae with the proper allowance for radiative losses. Slow magnetosonic waves are damped particularly rapidly. For the solar corona, the calculated damping factor for slow magnetosonic waves agrees well with the averaged one in 11 quasi-periodic events observed from the TRACE satellite in extreme ultraviolet radiation. Other possible astrophysical applications of the results obtained are briefly discussed.
PACS numbers: 52.30.Cv; 94.05.-a; 95.30.Qd
Key words: plasma astrophysics, hydrodynamics, and shock waves, solar coronae, flares, MHD waves, stability, magnetic reconnection.
ВВЕДЕНИЕ
Начиная с классической работы Филда (1965) известно, что оптически тонкая среда, лучистое
Электронный адрес: somov@sai.msu.ru Электронный адрес: Namig@izmiran.ru Электронный адрес: JStaude@aip.de
охлаждение которой зависит от температуры и характеризуется наличием одного или нескольких максимумов (Кокс, Такер, 1969), подвержена тепловой неустойчивости. Известны многочисленные проявления этой неустойчивости в космической плазме. Например, в связи с солнечными вспышками, Гусеинов и др. (1971) численно реша-
ли одномерную систему уравнении гидродинамики двухтемпературной плазмы с учетом существенных диссипативных процессов. Это позволило описать структуру фронта ударной волны и показать, что за фронтом волны плазма быстро охлаждается излучением и сжимается в холодные плотные слои.
Это же явление, т.е. конденсационная мода тепловой неустойчивости, в солнечных вспышках может проявиться до начала формирования ударных волн в результате нагрева хромосферы пучком ускоренных электронов (Сомов, Сыроват-ский, 1976), мощным потоком тепла или жесткого электромагнитного излучения (см. Сомов, 1992, гл. 2). В источнике энергии вспышки, в пересоединяющем токовом слое, тепловая неустойчивость может приводить к формированию холодных плотных волокон, окруженных высокотемпературной разреженной плазмой (Сомов, Сыроват-ский, 1982).
Современные космические наблюдения быстро затухающих колебаний в солнечной короне (см. Ашванден, 2004) и перспективы звездной сейсмологии ставят вопрос об устойчивости магнитогид-родинамических (МГД) волн и, вообще говоря, любых (включая апериодические) возмущений в оптически прозрачных высокотемпературных средах типа звездных корон или корон аккреционных дисков. Количественные исследования в этой области необходимы для понимания как вспышечных процессов в коронах звезд (Сомов и др., 2003), так и механизма их нагрева.
В разделе 1 мы формулируем задачу о малых возмущениях в линейном приближении и даем вывод общего дисперсионного уравнения. В разделе 2 рассмотрены два частных случая: а) малые возмущения, которые не изменяют плотность плазмы; б) возмущения, сопровождающиеся изменениями плотности. Затем, в разделе 3, дисперсионное уравнение для магнитозвуковых и энтропийных волн записано в приближении сильного магнитного поля. Здесь же показано, что энтропийные волны могут быть неустойчивы. В разделе 4 приведены современные данные о мощности лучистого охлаждения, необходимые для количественного рассмотрения тепловой неустойчивости в космической плазме в условиях, максимально приближенных к физическим условиям в звездных коронах. С учетом этих данных в разделах 5 и 6 показано, что энтропийные волны могут экспоненциально нарастать, а магнитозвуковые волны всегда затухают. Особенно быстро затухают медленные магнитозву-ковые волны. В разделе 7 обсуждается область применимости полученных решений. В разделе 8 кратко обсуждаются возможные астрофизические приложения полученных результатов, в первую очередь колебания в солнечной короне.
1. ВЫВОД ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ
Пренебрегая для простоты обычной и магнитной вязкостью, запишем систему уравнений МГД в следующем виде(Прист, 1982):
(р
(И
+ р div V = 0,
1 (р 7 р (р
оТ— =
9 £Й 7 - 1 £Й
7 — 1 р М
(1)
(2)
(3)
V,, {к^Т + ^ (к±У±Т) — С(р, Т) + Н, (В
— + ВШУУ-(В-У)У = 0, (4)
divB = 0, р=-рТ,
(5)
(6)
где в — энтропия единицы массы, 7 = cp/cv — отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме, С — скорость потерь энергии на излучение оптически тонкой плазмы в единице объема, измеряемая в эргс_1см_3.
В высокотемпературной плазме, например в короне Солнца, большую роль играет теплопроводность. В присутствии достаточно сильного магнитного поля она анизотропна. Теплопроводность вдоль магнитного поля (к,,) определяется электронами, а поперек поля (к±) — для полностью ионизованной водородной плазмы тепловыми протонами (Спитцер, 1962). Вкладом в поперечную теплопроводность более тяжелых ионов можно пренебречь ввиду их малого обилия. Между тем именно эти ионы определяют огромную мощность потерь энергии на излучение в УФ - и мягком рентгеновском диапазонах (см. Рознер и др., 1978).
Нас будет интересовать поведение малых возмущений на фоне однородной равновесной плазмы с вмороженным однородным постоянным магнитным полем Во. Наличие стационарного состояния в такой плазме подразумевает присутствие постоянного однородного источника нагрева, мощность которого Н равна скорости потерь энергии на излучение. В космической плазме обычно применимо приближение идеальной проводимости, что позволяет пренебречь джоулевым нагревом и связанной с ним перегревной неустойчивостью (см. Кадомцев, 1963). Вместо этого в астрофизической литературе широко обсуждаются разнообразные механизмы нагрева: например, при исследовании
атмосфер звезд учитывается нагрев теми или иными волнами, рентгеновским излучением, микровспышками и т.д. К сожалению, из наблюдений ничего не известно о физических свойствах такого нагрева. Поэтому обычно предполагается не джоу-лев нагрев, а некий фоновый источник тепла, не зависящий от параметров плазмы, т.е. в правую часть уравнения (3) добавляется некоторая постоянная величина Н.
Представим все физические переменные в виде / (г, = /о + /'(г,г). В частности, газовое давление р(г,г) = Ро + р'(г,г), где ро = (Я/^)р0То, постоянные р0 и Т0 — невозмущенные значения плотности и температуры плазмы. Кроме того, в силу предположения об однородности среды и поля ищем решение для малых возмущений в виде плоских волн
/'М) = /\ ехр ¿(к • г - иг). (7)
Вместо исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных находим обычным образом систему линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами:
ирг — ро(к • VI) = 0, (8)
шролтх - к + В°47;В1^ + (9)
в
+ (к.В0)^=0,
—ги 7^1
(Р1 — с2р^ + ЯрРг +
+ Ят Тг + КТг = 0, иВг — Во(к • VI) + (к • Bо)vl = 0,
(к • Вг
0,
Е± - £± + И
Ро Ро То'
(10)
(11) (12)
(13)
Здесь с2 = 7ро/ро — квадрат скорости звука; коэффициенты
Яр =
дС
др
Ят
Т
д£
дТ
К = кцЩ + к± к]_
(14)
(15)
характеризуют излучательную способность плазмы и анизотропную теплопроводность в ней. Постоянная величина Н после дифференцирования исчезает; производных от нее нет в уравнении (10).
Исключим рг и рг из системы уравнений (8)—(13), используя соотношения
ирг = ро(к • VI), рг = — У(к • VI), (16)
где
р
у = ~гиро4 ~ (7 ~ 1 )р2оЯР + (7 ~ 1)Тр(Ят + (т
и[1ир0-^-1){Ят+1С)/Щ Ро• { '
В результате получим два уравнения
ир^г — к
—У(к • Vl) +
Во • Вг
4п В
+ (к.В0)^=0,
+
(18)
(к • В
г) =
0.
Скалярное произведение уравнения (18) на Во дает
следующее соотношение:
у
(Во • VI) =--(В0-к)(к-У1). (22)
иро
Умножив уравнение (19) скалярно на Во, нахо-
иВг — Во(к • V!) + (к • Во)vl = 0 (19)
относительно двух неизвестных уг и В г, а также обычное условие дивергентности магнитного поля
дим
и(Во • Вг) — В2(к • vl) +
0.
(23)
(20)
+ (к • Во)(Во • Vl)
После подстановки (21) и (22) в (23) получаем искомое дисперсионное уравнение
Умножим (18) скалярно на волновой вектор к. С учетом условия (20) получим
4п
(Во • В1) = -р (Ей2 + сс>ро)(к • VI). (21)
(к • Vl)
4п
-с^(ЕА;2 +шр0)+ (24)
+ В1 + — (к-В0) иро
У
Входящая в это уравнение функция £ = £(ш) определяется ф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.