ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2013
УДК 621.83.05
© 2013 г. Леонтьев М.Ю., Насонов Д.А., Бедный И.А.
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ И АЛГОРИТМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ САТЕЛЛИТНЫХ УЗЛОВ ПЛАНЕТАРНЫХ
ПЕРЕДАЧ
Усовершенствована математическая модель для определения погрешностей изготовления сателлитных узлов планетарных редукторов. Разработан и программно реализован алгоритм выявления и отбраковки некорректных исходных данных в автоматическом и ручном режиме. Намечены направления дальнейших исследований.
Математическая модель для уточненного определения комплексных погрешностей сателлитных узлов с учетом конечной точности измерения погрешностей изготовления водила планетарного редуктора была рассмотрена в работе [1]. Отличием данной модели от ранее использовавшихся [2—5 и др.] является учет погрешностей не только межцентровых расстояний расточек под сателлиты в водиле, но и других контролируемых заводом-изготовителем геометрических параметров водила (межцентровых расстояний центральных расточек водила под опорные шейки и расточек под сателлиты, скрещивания осей расточек под сателлиты между собой и с центральной осью водила).
Повышение точности определения комплексных погрешностей в указанной модели достигается использованием дополнительной системы уравнений для расчета координат центров расточек под сателлиты в водиле.
В соответствии с рассмотренным в работе [1] примером, в случае водила с пятью сателлитами приведенная система включает в себя 58 уравнений относительно 19 искомых координат, каковыми являются координаты уг и z¡ для одной щеки водила и у\,
7,1 — для другой, где г = 1—5 (координата Zl = 0, поскольку центр Р1 расточки под ось № 1 в одной из щек водила лежит непосредственно на оси СУ (рис. 1)).
Было показано [1], что данная система является не только переопределенной (количество уравнений превышает число неизвестных) и несовместной (из-за погрешностей измерений), но и линеаризованной с целью максимального упрощения. Минимизировать погрешности расчета, обусловленные принятыми упрощениями, можно, используя итерационный алгоритм, впервые примененный в работе [6].
Согласно данному алгоритму первое приближенное решение полученной системы уравнений находится с использованием геометрических параметров аг (рис. 1), определяемых в предположении, что искомые координаты расточек водила под сателлиты образуют правильные пятиугольники. Далее угловые величины аг уточняются по результатам первой итерации и расчет повторяется. Последующие приближения ищем аналогичным образом до "попадания" рассчитываемого на каждой итерации критерия в доверительный интервал, определяемый точностью выполненных измерений.
Упомянутым критерием служит сумма квадратов невязок (разностей между левыми и правыми частями уравнений системы при подстановке в них вычисленных на по-
У
Л
*_* »«»* ','_'.'I, _\_._!_
10 20 N 30
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 1. Схема расположения центров расточек в плоскости щеки водила У7(Р) и угловых величин для тригонометрических соотношений (а)
следней итерации неизвестных), характеризующая отклонения исходных данных (измеренные точностные параметры водила) от их расчетных оценок, выполняемых по результатам каждой итерации. Стабильное уменьшение этой величины, отмеченное при решении тестовых примеров, свидетельствует о хорошей сходимости итерационного процесса [6].
В связи с повышенными требованиями к точности расчетов описанный алгоритм реализован в пакете символьных вычислений Стивена Вольфрама "МаШешайса", позволяющем производить расчеты с любой наперед заданной точностью, независимо от разрядности используемой машины [7].
Анализ результатов выполненных тестовых расчетов показал, что одной из особенностей используемой математической модели является неравноценность измеренных параметров водила, взятых в качестве исходных данных, с точки зрения их влияния на искомые координаты расточек под сателлиты. Это происходит из-за того, что тригонометрические функции, находящиеся в правой части уравнений рассматриваемой системы, играют роль весовых коэффициентов, и получаемое решение "смещается" в сторону параметров, имеющих больший "вес".
При попытке перенести эти коэффициенты в левую часть обусловленность системы, к решению которой приводит метод наименьших квадратов, резко ухудшается и сходимость решения недопустимо падает. Дело в том, что синусы некоторых углов в окрестностях решения столь малы (например, 8т(а6) (рис. 1)), что их перенос в левую часть подобен делению на ноль. Вследствие этого вклад исходных данных (результатов измерений), при которых стоят близкие к нулю коэффициенты, в конечный результат вычислений становится настолько незначительным, что появляется возможность исключить из системы эти уравнения практически без потери точности.
На основании изложенного используемая модель была упрощена путем исключения из нее четырех уравнений, содержащих множитель зт(а6), и переноса остальных тригонометрических функций в левую часть.
Дальнейший анализ модели выявил еще одно важное свойство, благодаря которому можно существенно повысить точность и достоверность расчетов. Оказалось, что в силу переопределенности системы и характера взаимосвязи используемых в качестве исходных данных результатов косвенных измерений, из нее можно исключить все уравнения, связанные с любым на выбор (но одним) из результатов измерений. При этом ранг матрицы коэффициентов системы не становится меньше числа неизвестных, что дает возможность ее приближенного решения.
2* 35
Подставляя решение "усеченной" подобным образом системы в исключенные из нее уравнения, и решая их относительно выбранного параметра, можно получить его ожидаемое значение. Отклонение этого значения от измеренного может служить критерием достоверности данного параметра.
В случае, если в исходных данных (а это 30 результатов измерений) присутствует не более одной грубой ошибки, то процесс диагностирования и исключения такой ошибки легко автоматизируется и задача сводится к поочередному исключению из исходных данных каждого из результатов измерений с вычислением его ожидаемого значения.
Если отклонение какого-либо из результатов измерений от его ожидаемого значения больше некоторой наперед заданной величины (например, все той же точности измерений), то такое измерение следует признать ошибочным, и в качестве наилучшего приближения выбрать решение, полученное без учета этого измерения. Если же отклонения по всем измерениям не превысят заданной величины, то наилучшим будет решение, полученное с помощью полной системы (без исключения уравнений).
На рис. 2 показаны среднеквадратичные отклонения N (мм) исключаемых результатов измерений 8 от их ожидаемых значений, рассчитанные по формуле
где к — номер исключаемого измерения; а, Ь, х — коэффициенты системы [А]{Х} = {В}, составленной из уравнений, исключенных из модели; т, п — размерность матрицы [А]. Правые части этих уравнений содержат значение исключенного измерения, а вектор {X} — решение "усеченной" системы уравнений, т.е. вычисленные координаты центров расточек.
Из рис. 2 видно, что 81 — отклонение первого параметра от его ожидаемого значения, вычисленного по приведенной методике, максимально. Это вполне соответствует тестовому набору исходных данных, где все измерения, кроме первого, соответствуют идеально точно изготовленной конструкции, а параметр № 1 (это результат измерения |Р0Р1| (рис. 1)) отличается на 0,1 мм от своего идеально точного значения (600 мм). Наличие незначительных отклонений остальных параметров объясняется влиянием первого параметра, присутствовавшего в уравнениях при определении этих отклонений.
При наличии более одной грубой ошибки в исходных данных их диагностирование не столь очевидно, особенно если значения ошибок имеют одинаковый порядок. Тем не менее, это возможно, но не в автоматизированном, а в ручном режиме, путем анализа визуализированных результатов выполненных расчетов.
На рис. 3 приведен пример визуализации результатов тестовых расчетов с ошибочным измерением |Р0Р1|. На рис. 3, а отображены результаты решения при исключении из модели измерения |Р0Р1|, а на рис. 3, б — без исключения. Доверительные интервалы и отклонения центров расточек отображаются с соответствующим масштабным коэффициентом.
Использование найденных описанным способом (т.е. с учетом всех контролируемых заводом-изготовителем точностных характеристик водила) координат расточек под оси в водиле для расчета накопленных ошибок последнего позволяет повысить достоверность определения искомых комплексных погрешностей сателлитных узлов, что имеет важное практическое значение.
Вместе с тем, имеющиеся экспериментальные и расчетные данные [5, 8—10 и др.] показывают, что для дальнейшего повышения точности определения фактических погрешностей зубчатых зацеплений планетарного редуктора и их влияния на его нагру-женность и виброактивность необходимо учитывать не только первичные погрешности изготовления отдельных деталей редуктора, но и нагрузочно-скоростные характе-
к = 1, ..., 30
Рис. 3. 1 - доверительные интервалы положения центров расточек под оси сателлитов; 2 и 3 - положения центров расточек под оси в правой и левой щеках водила
ристики конкретных режимов его эксплуатации. Последние влияют на фактические погрешности зубчатых зацеплений в процессе работы редуктора вследствие упругих деформаций его элементов под нагрузкой, а также смещений зубчатых колес в пределах зазоров и на жесткостях опор под действием усилий в зацеплениях, весовых нагрузок и центробежных сил.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Леонтьев М.Ю., Насонов Д.А., Бедный И.А. Математическая модель для уточненного определения комплексных погрешностей сателлитных узлов планетарных передач // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. № 3. С. 27—31.
2. Айрапетов Э.Л., Генкин М.Д. Статика планетарных механизмов. М.: Наука, 1976. 264 с.
3. Айрапетов Э.Л., Генкин М.Д. Динамика планетарных механизмов. М.: Наука, 1980. 256 с.
4. Леонтьев М.Ю. Исследование статической нагруженности мощных судовых планетарных редукторов. Диссерта
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.