Физика магнитных явлений
Евстигнеев Н.М., кандидат технических наук, старший научный сотрудник
Рябков О.И., младший научный сотрудник
(Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова) Шахпаронов И.М., старший научный сотрудник, почетный академик Международной Академии энергоинформационных наук
Лавров С.И., младший научный сотрудник
(Белгородская исследовательская группа)
НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ НА ПРОВОДНИКЕ В ВИДЕ ЛИСТА МЕБИУСА
В работе рассматривается численное и некоторое аналитическое исследование листа Мебиуса (далее ЛМ) как проводника с током. Ранее проведенные экспериментальные работы [1, 2, 3] показали, что на т.н. неориентированном контуре, представленного топологией ЛМ, обнаружено взаимодействие, которое невозможно определить в рамках классических электромагнитных взаимодействий. С целью изучения и возможного объяснения данных результатов в настоящей статье поставлена попытка численного решения данной краевой задачи в рамках модели квазистатических уравнений Максвелла. Кроме того показаны некоторые аналитические соотношения для неориентированного контура ЛМ, говорящие о необходимости применения других подходов к объяснению эффектов, полученных в работах [1, 2, 3]. В конце работы намечаются такие дальнейшие пути исследования.
Ключевые слова: излучение Козырева-Дирака, Вектор-потенциал, Лист Мебиуса, Аналитическая геометрия листа Мебиуса.
SOME RELATIONS IN A CONDUCTOR IN THE FORM OF THE MOEBIUS BAND
The article discusses numerical and some analytical studies of the Moebius band (hereafter the MB) as a current-carrying conductor. Previous experiments [1, 2, 3] show that there is interaction on the so called nonoriented countour represented by the MB topology, that cannot be determined within classical electromagnetic interactions. For the purpose of investigation and possible interpretation of these results this article describes an attempt to numerically resolve this boundary problem within the model of quasistatic Maxwell's equations. Furthermore, it gives some analytical relations for the nonoriented countour of the MB indicating a need to use other approaches to interprete the effects shown in [1, 2, 3]. Such further ways of investigation appear at the end of the article.
Keywords: Kozyrev-Dirac emanation, vector potential, Moebius band, analytic geometry of the Moebius band.
1 Введение
Проведены результаты численного и некоторого аналитического исследования листа Мебиуса, на котором нанесен проводящий слой. Данная статья является первой в цикле попыток объяснения эффектов, полученных в экспериментах И.М. Шахпаронова [1, 2, 3].
2 Численное исследование квазистатической задачи
Для первичного анализа рассматривается классическая постановка уравнений Максвелла для вектор - потенциала А без учета токов смещения:
Определение 1 Пусть задана вектор-функция В : К3 ^ К3, такая, что существует вектор-функция А, при этом В = Ух А. Вектор-функцию А будем называть вектор-потенциалом для В.
Из определения 1 видно, что вектор-функция В соленоидальна, поскольку:
V-В = V-(Ух А) = 0. (1)
Записав закон Био-Савара-Лапласа в интегральном виде:
Г>В - Л = £ - ^ (2)
35 5
и использовав теорему о циркуляции [5] можно перейти к дифференциальной форме уравнений для магнитного поля в статическом приближении (2):
V-В = 0;
У В • (3)
где . - вектор плотности тока (для данной задачи модуль вектора плотности задан постоянным по сечению). Для дальнейших рассуждений нам понадобится теорема Стокса (для токов - теорема о циркуляции) для случая К3:
Теорема 1 Пусть М - поверхность в К3 с заданной границей у и заданным вектором нормали на границе п в каждой точке у. Пусть Г : К3 ^ К3 производная вектор-функция. Тогда:
(Ух Г) - п(5 = | Г - (Г. (4)
Накладывая на вектор-потенциал дополнительное условие V - А = 0 ввиду калибровочной инвариантности [5] можно получить:
V2 А = - 4п . (5)
с
Частное решение уравнения (5) задается в виде:
1г .(Г)
А(Го) = -Г
г •>
I Г - Г0|
(V.
(6)
Тогда магнитное поле по (3) определяется интегралом
В(Г„ ) = Vх А =
- /
Г •>
1
V:-т; .(Г)
1 Г - Г0Т
- г[Кг); г - Г0]
с г I Г - Г0 I3
(V = (V.
(7)
Таким образом в статическом приближении можно рассчитать численно вектор А и В для ЛМ при заданном векторе плотности тока (3).
Для задания ЛМ в К3 вводится следующая параметризация в декартовых координатах {х, у, г}, где радиус средней линии Я :
х^, р, И) = уЦ р И) =
V) + И $шГрР1
.21 121
V + И 81П| Р )
,21 ир:
/Р 1 + И sinf Р
1 2 1 12
cos(р); sin(р);
(8)
ре [0;2*];I е [-//2;7/2];И = {Ит1п;Имах}.
Для данного ЛМ при заданных Я, / и И (радиус средней линии, ширина листа и толщина листа) задается равномерное распределение тока и считаются интегралы (6) и (7) с применением интерполяции методом Симпсона в двух сечениях (трансверсальном к плоскости И и в плоскости, содержащей среднюю линию). Результаты численного расчета представлены на рис. 1, 2, 3, 4.
Как видно из представленных результатов ЛМ, по которому течет ток ведет себя как обычный отрезок провода конечной длины.
3 Аналитические соотношения для Листа Мебиуса
В экспериментальных работах [1, 2, 3] показано, что ЛМ, по которому течет переменный ток ведет себя совершенно не так, как проводник конечный длины. Наблюдаемые эффекты экспериментов, проведенных И.М. Шахпароновым, требуют попыток аналитического описания, поскольку свидетельствуют о неполноте теории описания электромагнитных взаимодействий и позволяют заглянуть в новые, неизведанные области физики.
Рис. 1. Вектор-потенциал А в плоскости ХУ, проходящей через среднюю линию ЛМ
Рис. 2. Вектор-потенциал А в плоскости XX
I
В1
Рис. 3. Вектор-функция магнитного поля В в плоскости XX
Рис. 4. Вектор-функция магнитного поля В в сечении листа Мебиуса плоскостью XX
3.1 Общие свойства поверхности
Вначале, для упрощения аналитического исследования зададим поверхностную параметризацию ЛМ для фиксированного Я и И = 0 в виде:
1 + г —
т(г, р) =
Л
1 + г cos
2,
cos(р)
sin(р)
г Ч! 1
которая формирует поверхность ЛМ М , определяемую как:
М = {х е К3 | х = т(г,р),р е [0;2<|; г е [-//2; //2];}. Получаемая поверхность показана на рис. 5.
(9)
Рис. 5. Поверхность листа Мебиуса, заданная параметризацией (8) для И = 0.1 Определим вектор нормали для каждой точки поверхности ЛМ как:
или
п
дт дт п = — X-=
дг дф
(сов(ф/2) соб(ф); сов(ф2) вт(ф); 8т(ф/2))г х
( 1 ^ - ^ (4 соБ(ф/2) + г (2 + 3 соб(ф))) 8т(ф/2);
1 3
4 г сов(ф/2) + соб(ф) + 4 г сов(3ф/2);
-2- г сов(ф/2);
- 1 (-г соБ(ф/2) + 2 соб(ф) + г соБ(3ф/2)) 8т(ф/2) -4 (-г - 2 соБ(ф/2) - 2г соб(ф) + 2 сов(3ф/2) + г соБ(2ф))
соБ(ф/2)(1 + г соБ(ф/2)
(10)
(11)
Для вычисления интегралов также понадобится выраженный через параметры элементов площади поверхности ёЛ :
ёЛ = ||п|| = -2^4 + 3г2 + 8г соБ(ф/2) + 2г2 сов(ф)йфхЙ.
(12)
3.2 Ротор векторного поля и циркуляция по листу Мебиуса
В связи с тем, что исторически уравнения Максвелла для магнитного поля были получены через закон Био-Савара-Лапласа, можно рассмотреть корректность такого перехода для ЛМ т.е. возможность перехода от циркуляции к вихрю в теореме о циркуляции. Будем рассматривать параметризацию (5) для крайней границы, т.е. для г = /, и фе [0,4п]. Тогда параметризация (5) соответствующим образом корректируется. Возьмем произвольное векторное поле Г:
Г = {3х2 + 2(у + г);2х - 5у - г;2х - у + 7г}
(13)
такое, что Ух Г = 0. Тогда очевидно, что левая часть (4) равна нулю. Из теоремы Стокса (теорема 1) следует, что правая часть в (4) также равна нулю. Проверим данный факт.
^Гёг = £>( х(ф), у(ф), г(ф))г'(ф)ёф
(14)
Производная вектора г задается как:
( 1 > - ^ / соб(ф) 8т(ф/2) - (1 +/ сов(ф/2)) Бт(ф)
(1 +/ СОБ(Ф/2)) СОБ(Ф) - 2/ Б1П(Ф/2) вт(ф/2) 1/2/ СОБ(Ф/2)
(15)
г
и тогда подставляя параметризацию в (13) и, опуская громоздкие выводы, получаем:
{ Ш(р), у(р), 1(р))т'( )йу = — (48 +17/ )п, (16)
4-2п 4
что очевидно не 0.
Аналогичный результат можно получить для параметризации (8), фиксируя h = H = const и t = L = const, и, аналогично (16), провести интегрирование от - 2п до 2п . В связи с тем, что левый интеграл в (4) равен нулю нам понадобится выражение для циркуляции через параметр p :
((cos(p)(1/2H cos(p/2) -1/2L sin(p/2)) ^ v (1 + L cos(p/2) + H sin(p/2)) sin(p) , ( cos(p)(1 + L cos(p/2) + H sin(p/2)) + Л
k'(p) =
(1/2 H cos(p/2) -1/2 L sin(p/2)) sin(p) (1/2 L cos(p/2) + 1/2H sin(p/2));
(17)
а подставленные значения декартовых координат в вектор-функцию (13) дает:
(Г
F( x(p), y(p), z (p)) =
Л Л
Л
3 cos2 (p)(1 + L cos(p/2) + H sin2 (p/2)) + 2(-H cos(p/2) + L sin(p/2) + (1 + L cos(p/2) + H sin(p/2)) sin(p)) ' 2 cos(p)(1 + L cos(p/2) + H sin(p/2)) -v 6(1 + L cos(p/2) + H sin(p/2))sin(p) y (2 cos(p)(1 + L cos(p/2) + H sin(p/2)) +Л
7(-H cos(p/2) + L sin(p/2)) -v (1 + L cos(p/2) + H sin(p/2)) sin(p) y
(18)
Вычисляя правый циркуляционный интеграл в (4), подставив (18) и (17),и опуская громоздкие выводы, получаем:
Г F(x(p), y(p), z(p))k'(p)dp = -HLn.
J-2n
(19)
В связи с громоздкостью интеграла, решение (19) было проверено численно для Н = 0.01 и Ь = 0.25 и составило - 0.00785398 = -1/400п.
Таким образом можно сказать, что для неориентированной поверхности условия теоремы 1, а также других теорем векторного анализа не выполняется. Поэтому переход по данной теореме для условия V • В = 0 может не выполняться и полученные выше численные результаты для А и В могут оказаться некорректными.
3.3 Полный заряд на листе Мебиуса
Полный заряд [5] вычисляется как интеграл скалярной функции плотности заряда р по площади поверхности М :
ОсИ = Р.
(20)
Принимая в первом приближении постоянную плотность заряда р = 1 и вычисляя интеграл (20), с учетом (12), получаем:
о =£ ГТ 2
4 + 3г2 + 8г соб! — 1 + 2г2 со^(ф)ё—йг =
2
( о — Л
2сов| -
г 12 —+-
ф
4 + 3г2 + 8г соб1 2 I + 2г СОБ(ф) •
2 3 + 2СОБ(ф)
(21)
+ -
2
(3 + 2 соб(ф))
3/2
1п(3г + 4 соб(ф/2) + 2г соб(ф) +
ч у
д/3 + 2 соб(ф)^4 + 3г2 + 8г соб(ф/2) + 2г2 соб(ф) )}-/22 йф.
Дальнейшее интегрирование в области аналитических функций невозможно. При численном вычислении интеграла (2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.