ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 3, с. 274-281
УДК 541.123
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ В ЦЕЛОМ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ ОРГАНИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТВ © 2014 г. Л. А. Серафимов, Т. В. Челюскина
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова
cheluskina@mitht.ru Поступила в редакцию 09.09.2013 г.
Рассмотрены некоторые аспекты математического моделирования, используемого в химической технологии. Основное внимание уделено математическим моделям в дифференциальной форме, для которых необходимым этапом является исследование общих закономерностей многомерных векторных полей динамических систем, на основе которых формируется движущая сила технологического процесса. Осуществлена классификация векторных полей, используемых, в частности, в случае рассмотрения химических реакций и реакторов, процессов разделения и совмещенных реак-ционно-массообменных процессов. Исследования векторных полей, характерных для данного химико-технологического процесса, позволяют осмысленно приступить к численному математическому моделированию этого процесса на ЭВМ.
Ключевые слова: динамические системы, векторные поля, математическое моделирование, процессы разделения, совмещенные реакционно-массообменные процессы.
Б01: 10.7868/8004035711403018Х
ВВЕДЕНИЕ
Математическое моделирование широко используется в изучении химико-технологических процессов технологии органических веществ. Эффективным средством современного математического моделирования является вычислительный эксперимент [1—5]. Согласно работе [6], важное место в общепринятой последовательности "натурный эксперимент—физическая модель-математическая модель-вычислительный эксперимент" занимает вычислительный эксперимент, который, в свою очередь, также состоит из ряда этапов. Основными этапами являются: математическая модель исследуемого объекта (например, процесс, аппарат или комплекс функционального действия); алгоритм; программа; анализ полученных результатов.
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В настоящее время вычислительный эксперимент реализуется на ЭВМ в виде планирования серии расчетов с четко определенной целью [4]. Как известно, различные области технологии органических веществ имеют разную обусловленность. Для плохо обусловленных областей обыч-
но данные натурного эксперимента обрабатываются с использованием полиномов различной степени. Для проверки адекватности описания в этом случае используются статистические методы. Вычислительный эксперимент в этом случае практически не используется, а модели такого типа являются "моделями ошибок". Им противопоставляются содержательные модели, которые основаны на различных молекулярных теориях и носят фундаментальный характер. К таким моделям относятся, например, модели гетерогенного равновесия, использующие уравнения локальных составов, базирующиеся на двужидкостной теории Скотта и допускающие определенные координационные числа в жидких растворах. В этом случае, по нашему мнению, статистической обработки не требуется, а само понятие адекватности приобретает более глубокий смысл. Именно для таких случаев в работе [6] выделяются различные уровни адекватности математических моделей, которых, по мнению авторов [6], всего четыре. Так как при использовании уравнений локальных составов для описания многокомпонентных смесей предусматривается положить в основу расчетов данные натурного эксперимента только для бинарных составляющих, это позволяет организовать вычислительный эксперимент, например, по сравнению различных вариантов схем ректи-
фикации многокомпонентных смесей, сравнивая энергозатраты на их реализацию. Для идеальных смесей такой вычислительный эксперимент был осуществлен в [7]. Реальная возможность осуществления такого сравнения для многокомпонентных неидеальных, в частности, азеотропных смесей появилась в связи с созданием строгого метода вычисления минимального флегмового числа [8]. В этом случае вычислительный эксперимент может быть поставлен на строгую научную основу. Перечень вопросов, которые могут решаться, резко расширился.
Немаловажным является вопрос о проверке математическим моделированием качественных методов, основанных на термодинамико-топологи-ческом анализе и позволяющих решить многие вопросы, связанные с выбором того или иного варианта технологических схем и анализом основных режимов ректификационного разделения многокомпонентных смесей любой физико-химической природы, включая азеотропные смеси [9].
Математический эксперимент можно осуществить при сравнении различных критериев, например, энтропийного критерия и энергетического критерия, широко используемого в практике предпроектных исследований процесса ректификации, осуществляемого в отдельной колонне [10].
Область возможного использования математического эксперимента в химической технологии органических веществ постоянно расширяется. Вместе с тем, ряд положений, используемых при математическом моделировании, требуют уточнений. В частности, прежде всего, речь идет о взаимосвязи практики и теории. Здесь не все так просто, как кажется на первый взгляд.
Любая модель, как отмечает автор [11], есть некоторая абстракция к осмыслению явлений. Из этого следует, как думают некоторые исследователи, что каждая модель может и должна быть проверена на опыте. Отсюда часты спекулятивные разговоры о верификации и об адекватности. При этом содержательным моделям часто навязываются статистические методы проверки адекватности, которые неплохо себя показали в случае моделей ошибок, т.е. в плохо обусловленных областях. На самом деле, для некоторых моделей постановка эксперимента вообще исключена. Наиболее ярко это проявляется в случае первого закона Ньютона, так как нигде во вселенной не существует условий, чтобы на материальные тела не действовали силы. После создания общей теории относительности стало ясно, что эксперимент, о котором говорил Ньютон, мысленный. Этот пример наглядно показывает, что требование практики в качестве критерия истины нельзя понимать буквально.
Приведем еще один пример. Термодинамико-топологический анализ базируется на глобальной закономерности, что сумма индексов Пуанкаре
особых точек на сфере не зависит от природы векторного поля, будучи инвариантом, а является целочисленной функцией размерности сферы. Этот факт, доказанный теоретически Хопфом [12], носит характер закона, что отмечается в ряде работ, а сама теорема, топологически доказывающая данный факт, является теоремой Пуанкаре— Хопфа.
Является ли необходимой проверка натурным экспериментом этой теоремы? По нашему мнению такой необходимости нет. На основе этой теоремы создана классификация типов фазовых портретов трехкомпонентных систем, содержащих не более одной, двух или трех особых точек, с использованием простейшей математической модели динамической системы свободного равновесного испарения [13—16]. Недаром в методических указаниях к коммерческому комплексу программ НУ5У5 сказано, что уравнение суммы особых точек, приведенное в работе [13], есть топологическое понуждение, с помощью которого можно проверять данные, полученные натурным экспериментом. Вместе с тем, нам часто приходится слышать вопрос: "А проверялось это теоретическое положение натурным экспериментом?" Более того, в настоящее время в ряде экспериментальных работ, в которых с помощью натурного эксперимента исследуются различные скалярные свойства трехкомпонентных смесей, приводятся диаграммы, противоречащие рассматриваемой теореме. В связи с этим был предложен метод корреляции экспериментальных данных с топологическим законом Пуанкаре—Хопфа. Однако, правда, не в печати, один исследователь раскритиковал это предложение, считая, что натурный эксперимент поправлять нельзя. При этом не учитывалось, что речь идет не о поправках к эксперименту, а о необходимости проверить правильность его интерпретации в виде топографического представления. Это лишний раз подтверждает, что исследователи должны следовать здравому прагматизму и не понимать в буквальном смысле ту истину, что натурный эксперимент есть конечная цель в познавании закономерностей природы.
Приведем еще один пример, подтверждающий сказанное выше. При построении и использовании математических моделей различных процессов химической технологии исследователи сталкиваются с тем, что описание может быть неоднозначным. В этом случае по рекомендации, приведенной в работе [11], необходимо выбрать наиболее простое из возможных описаний. Усложнение всегда приведет к удовлетворительной адекватности используемой модели при описании натурного эксперимента. По сведениям [17], закон действующих масс (поверхностей) является простейшим из возможных кинетических законов. Однако если речь идет о неидеальных системах, например, растворах жид-
кой фазы, то этот закон в интерпретации Гульбер-га и Вааге, где фигурируют концентрации, несправедлив. Успехи в применении на практике этого закона авторы [17] объясняют так. При заданном наборе веществ, участвующих в реакции согласно предполагаемому механизму этой реакции, увеличивая число стадий, т.е. усложняя предполагаемый механизм реакции, и подбирая соответствующие константы, можно достаточно хорошо приблизить результаты решения уравнений кинетики к результатам натурного эксперимента, несмотря на то, что использование данной формы закона Гульберга и Вааге полностью противоречит термодинамике растворов. В ряде работ при рассмотрении кинетики химических реакций уже используются не концентрации, а активности. Подробно данный вопрос рассмотрен в работе [18].
Так как механизм реакции есть своеобразная математическая модель, очевидно в данном конкретном случае речь идет о приеме, который является сложным аналогом описания динамической системы полиномом. Конечно, если речь идет о выявленных натурным экспериментом ин-термедиатах и их числе, то очевидно, в этом случае механизм реакции может выступать как научно обоснованная математическая модель химического процесса.
Рассмотрим еще ряд вопросов, возни
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.