ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 460, № 4, с. 392-397
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.977.1
НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ ОДНОВРЕМЕННОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
© 2015 г. Член-корреспондент РАН А. В. Ильин, А. В. Мальцева, А. С. Фурсов
Поступило 18.08.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215040040
1. ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена проблеме синтеза универсального стабилизатора для конечного набора линейных динамических объектов, в общем случае, различных порядков. Эта проблема в теории управления известна [1, 2] как задача об одновременной стабилизации. Формальная постановка этой задачи в терминах передаточных функций при поиске универсального регулятора заданной структуры может быть сформулирована следующим образом [3, 4].
Рассматриваются т линейных объектов различных порядков п1
№1(з) =
Щ а (з)'
..., (з) =
вт ( 3 )
(1)
+
+ Ьо
О-т ( 3 ) , а((«) = з +
где р,(5) = ЬП1 _ 1, ¡з
п-- 1
+ ап -1;¡з ' + ... + а0,,, причем полиномы р((«), а;(у) взаимно просты.
Спрашивается, существует ли регулятор 1-го порядка
Я (з) =
рМ
д ( з)
1 1 -Р'з + Рг -1 з
+ ... + Р1 з + р 0
з' + д1 -1 зп 1 + ... + д1 з + д 0
(2)
одновременно стабилизирующий объекты (1), т.е. такой, что знаменатели передаточных функций замкнутых систем (1)
Фг (з) = а-( з) д (з) + в-- (з )р (з), (3)
(/ = 1, 2, ..., т) будут устойчивыми полиномами
[7].
При решении поставленной задачи выбору подлежат параметры регулятора (коэффициенты его передаточной функции). Фактически, при замыкании объекта регулятором с неопределенными параметрами мы приходим к задаче поиска таких коэффициентов, которые обеспечивают устойчивость знаменателя передаточной функции замкнутого
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
объекта. При этом сам знаменатель представляется аффинным полиномом (определение см. в разделе 2), относительно которого ставится задача о существовании и нахождении областей устойчивости. В работе [5] для синтеза универсального стабилизатора заданной структуры в качестве одного из шагов предложен численный алгоритм поиска областей устойчивости для аффинных полиномов, однако при этом не исследован вопрос о сходимости этого алгоритма. Вместе с тем вопрос о работоспособности алгоритма важен, поскольку его работа требует существенных затрат вычислительных ресурсов.
В настоящем сообщении для поиска областей устойчивости аффинных полиномов предлагается новый подход, названный методом внутренней аппроксимации, позволяющий построить численный алгоритм с гарантированной сходимостью.
2. ЗАДАЧА О ПОИСКЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ДЛЯ АФФИННЫХ ПОЛИНОМОВ
Параметрическим полиномом п-й степени на множестве О с будем называть семейство полиномов, определяемое следующим образом:
а( з; О) = а0 (д) + а1 (д) з + ... + ап( д) зп,
где а (д) — непрерывные функции на О, д = (дь ... ..., дк) е О — вектор параметров, ап(д) Ф 0 для всех д е О.
Аффинным полиномом п-й степени называют параметрический полином, для которого
а-( д) = а-^1 + ... + аф + а-о.
При этом если а1 = 0, то будем называть его однородным. 0
Интервальным полиномом п-й степени
[а](з, О) = [а0] + [а1 ]з + ... + [ап]зп (4)
называют параметрический полином, для которого:
1) О — параллелотоп в 1Кп +1;
2) а(д) = д1 -1 (д = дъ ..., дп + 1)).
Здесь через [а(] обозначены интервальные числа ([а,] = [а, а]) [6].
Для параметрических полиномов можно ввести понятия устойчивости и неустойчивости, а именно, будем говорить, что
параметрический полином а(у, О) робастно устойчив, если для всех q* е О полином а(у #*) = = а0(q*) + а^*)« + ... + а^*)^ устойчив (для любого фиксированного q* полином а(у q*) является обычным полиномом, для которого устойчивость означает расположение всех его корней строго в левой полуплоскости комплексной плоскости);
параметрический полином а(у, О) робастно неустойчив, если для всех q* е О полином а(у q*) = = a0(q*) + а^*)« + ... + а„^*)8п неустойчив;
параметрический полином а(у, О) частично устойчив, если найдутся такие наборы параметров д, д е О, что полином а(у, д) устойчив, а полином а (у, д) неустойчив.
Точку (д* , ..., д* ) е [к будем называть устойчивой, если устойчив полином а(у д* , ..., д* ) и неустойчивой в противном случае.
Введем для полинома а(у 0 следующие обозначения: ^ е О — область устойчивости в пространстве параметров [к; N е О — область неустойчивости в пространстве параметров [к; и е О — область неопределенности в пространстве параметров [к. При этом область S содержит только устойчивые точки, N — неустойчивые, область и содержит как устойчивые, так и неустойчивые точки.
При построении универсального стабилизатора для семейства объектов (1) в соответствии с методом, изложенным в работе [5], приходится решать следующую задачу.
Рассматривается аффинный однородный полином степени п
а (О) = а0( д) + ах( д)« + ... + ап (д)/, (5) где а^) = а(цъ ..., qk) = а^ ql + ... + ак qk, / = 0, 1, ..., п, q = (ql, ..., qk) е [к, О = [^ , дх ] х ...
... х [дк, дк ] — параллелотоп в [к (см. раздел 3).
Спрашивается, существует ли область устойчивости S с О для заданного аффинного полинома а(у О)?
В общем случае аналитического решения сформулированной задачи в настоящее время нет. Один из возможных подходов к решению, предполагающий использование численных процедур, изложен в работах [3—5], где для поиска областей устойчивости аффинных полиномов используются методы интервального анализа, в том числе так называемый алгоритм 81У1Л [6] (алгоритм обращения множеств), позволяющий аппроксимировать множе-
ство, удовлетворяющее необходимым свойствам, выпуклыми множествами — параллелотопами, внутренние точки которых заведомо обладают нужными свойствами. Однако, как уже было указано во введении, открытым остается вопрос о сходимости этой численной процедуры.
3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
Для дальнейшего изложения потребуются некоторые понятия из интервального анализа. Основным объектом интервального анализа является так называемое вещественное интервальное число [6]. Вещественное интервальное число [х] — это од-носвязное подмножество из К, для простоты называемое интервалом. Множество интервальных чисел обозначают через ПК. Вещественным интервальным вектором [х] размерности п (или параллелотопом) называют подмножество из [п, которое определяется как декартово произведение п замкнутых интервалов [х] = [х1] х ... х [хп]. Множество интервальных векторов размерности п обозначают через ПКп. По аналогии с обычными числами для интервальных чисел и векторов вводятся различные алгебраические операции [6].
Ширина непустого интервального вектора [х]
определяется как ^([х]) = тах w ([х(]). Зонотоп —
1 < 1 < п
это выпуклая комбинация образов вершинных точек параллелотопа при аффинном преобразовании.
Говорят [6], что интервальная функция [/]: ПКп ^ ^ ПК™, действующая из пространства ПКп в пространство ПК™, является функцией включения для функции/: [п ^ К™, если для всех [х] е ПКп выполнено условие /([х]) с [/]([х]).
Перейдем теперь к вопросам устойчивости параметрических полиномов. Обобщим известный критерий Гурвица [7] для исследования устойчивости интервального полинома (4). Для этого каждому /-му диагональному минору Н(а) (/ = 1, 2, ... , п) матрицы Гурвица [7] полинома степени п сопоставим интервальную функцию [Н] ([а]), являющуюся его функцией включения. Справедлива следующая
Теорема 1. Интервальный полином (4) с положительными коэффициентами [а] > 0 (/ = 0, ..., п) робастно устойчив тогда и только тогда, когда [Н] ([а]) > 0 для всех / = 1, 2, ..., п.
Заметим, что положительность (отрицательность) коэффициентов интервального полинома, как и в случае обычных полиномов, является необходимым условием его робастной устойчивости. Перейдем теперь к вопросу об устойчивости произвольных параметрических полиномов.
Чтобы воспользоваться теоремой 1 для получения условий робастной устойчивости парамет-
рических полиномов, определим К-преобразова-ние произвольного параметрического полинома
а (з; О) = а0 (д) + а1 (д) з + ... + ап (д) зп (6)
(где О с [Кк — параллелотоп), в интервальный полином вида (4). Будем использовать обозначение [а](ж; Р) = К{а(«; О)}. По определению, при К-пре-образовании коэффициенты полинома (6) и интервального полинома (4) связаны следующим образом:
[ а-] = [ а-] ([ д ]),
где [д] = [д1] х ... х [дк] = О, [а,]([д]) — функции включения для а(д), Р = [а0] х [а1] х ... х [ап] е е ПКп + 1. Фактически, К-преобразование можно понимать как вложение множества О' = = {(а0(д), ..., ап(д)), д е О} е [Кп + 1 в параллелотоп Р е [Кп + 1. Отметим, что для аффинного полинома (5) преобразование параллелотопа О е во множество О е + 1 осуществляется с помощью линейного оператора А: ^ + 1, задаваемого в естественной паре базисов пространств и Яп + 1
матрицей
(
А =
(7)
т.е. параллелотоп О преобразуется в зонотоп О' = = {д': д' = Ад, д е О}.
Достаточное условие робастной устойчивости параметрических полиномов дает следующая
Те о р е м а 2. Пусть полином [а](ж; Р) = К{а(«; О)} робастно устойчив, тогда полином а (ж; О) робаст-но устойчив.
Перейдем теперь к вопросу о робастной неустойчивости параметрических полиномов. Но прежде сформулируем достаточное условие ро-бастной неустойчивости интервальных полиномов.
Теорема 3. Пусть для полинома (4) найдется индекс I е {1, 2, ..., п}, для которого [Д]([а]) < 0, тогда [а](ж; Р) робастно неустойчив.
Используя тот факт, что О с Р, можно сформулировать теорему о достаточном условии робастной неустойчивости параметрических полиномов.
Теорема 4. Пусть интервальный полином [а](ж; Р) = К{а(«; О)} робастно неустойчив, тогда параметрический полином а(«; О) робастно неустойчив.
Заметим, что критерий робастной устойчивости интервальных полиномов дает также известная теорема Харитонова [2], однако достаточное условие робастной неустойчивости (а его роль существенна в нахождении областей устойчивости аффинных полиномов) интервальных полиномов возможно сформулировать на основе критерия
Гурвица (теорема 3), в то время как критерий Харитонова не позволяет это сделать.
4. МЕТОД ВНЕШНЕЙ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ ПОИСКА ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.