ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 6, с. 546-555
НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
УДК 533.951.8.537.84
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА НЕУСТОЙЧИВОСТИ КЕЛЬВИНА-ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОТОКЕ ПЛАЗМЫ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ © 2013 г. М. М. Шевелев, Т. М. Буринская
Институт космических исследований РАН, Москва, Россия e-mail: tburinsk@iki.rssi.ru Поступила в редакцию 20.12.2012 г.
Рассматривается нелинейная стадия развития неустойчивости Кельвина—Гельмгольца (К—Г) в плоскопараллельном потоке плазмы конечной ширины. Исследование проводится посредством двумерного численного моделирования системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики для изотермических потоков, распространяющихся вдоль магнитного поля. Рассматривается влияние напряженности магнитного поля, температуры, отношения ширины потока к ширине переходного слоя на образование вихревых слоев и крупномасштабные искажения потока. Показано, что для периодических возмущений с длиной волны меньше ширины потока развитие симметричной и антисимметричной мод не имеют качественных различий. Для волн с длиной больше ширины потока динамика развития этих мод существенно отличается, что обусловлено взаимным влиянием границ потока. Анализ развития неустойчивости при различных значениях альфвеновского числа Маха ЫА показал, что в слабом магнитном поле образуются долгоживущие вихри с размерами порядка ширины потока как для симметричной, так и для антисимметричной моды, однако геометрия вихрей различна. В сильном магнитном поле, MA ~ 5, для обеих мод фаза разрушения вихрей наступает быстрее, чем в слабом, но для антисимметричной моды сильные крупномасштабные искажения границы потока сохраняются достаточно долго. Исследование эволюции начального возмущения, заданного ансамблем случайных малых возмущений, шумом, при различных температурах плазмы показало, что для потока с шириной, сравнимой с размерами переходных областей, развитие неустойчивости К—Г всегда имеет антисимметричный характер и приводит к ярко выраженным крупномасштабным искажениям потока как целого. Для холодной плазмы, CS < 0.5 U (CS — скорость звука, U — скорость потока), в отличие от горячей, CS > 0.5 U, развитие неустойчивости К—Г приводит к росту антисимметричной моды даже для потока с шириной много больше размера переходных областей.
DOI: 10.7868/S0367292113060097
1. ВВЕДЕНИЕ
Неустойчивость Кельвина—Гельмгольца (К—Г) — одна из сильнейших гидродинамических не-устойчивостей, возникающая на границе между двумя жидкостями, движущимися с различными скоростями, исследованию которой посвящено огромное количество работ [1]. С развитием магнитной гидродинамики для описания физических процессов в плазме возник интерес к исследованию неустойчивости К—Г и в области космической физики. Однако в подавляющем большинстве работ рассматривается устойчивость тангенциального разрыва или переходного слоя между двумя полубесконечными областями [2—8]. Тем не менее, особенно в космической плазме, нередко оказывается, что длина волны наблюдаемых колебаний превосходит размеры потока, в этом случае модель полубесконечных областей неприменима. При исследовании неустойчивости К—Г в ограниченном потоке плазмы можно использовать два подхода: модель ци-
линдрического потока, которая применима, если размеры потока в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, примерно одинаковы в обоих направлениях, и трехслойная модель плоскопараллельного потока плазмы, применимая в случае, когда один из размеров потока много больше другого. Модель цилиндрического потока была использована при описании крупномасштабных искажений плазменного хвоста кометы и хвоста магнитосферы Земли под воздействием солнечного ветра [9, 10], а также при изучении высокоскоростных коллимированных потоков, джетов [11]. Исследование линейной стадии плоскопараллельного потока несжимаемой плазмы было проведено в работе [12] для случая, когда параметры плазмы по разные стороны от потока одинаковы. Подробное исследование трехслойной модели в линейном приближении, учитывающее сжимаемость плазмы и различие параметров по разные стороны от потока, проведено в работах [13, 14]. Согласно результатам, по-
лученным в этих работах, развитие неустойчивости К—Г в ограниченном потоке возможно при любой температуре плазмы для волн, распространяющихся под любым углом к скорости потока, за исключением строго перпендикулярного распространения. Следует отметить, что для обычно рассматриваемого случая двух плазм возбуждение волн вдоль скорости потока возможно только для горячей плазмы С5 > 0.5 и (С5 — скорость звука, и — скорость потока) [15]. Линейный анализ устойчивости ограниченного потока, проведенный в работе [16] показал, что и в цилиндрической геометрии развитие неустойчивости К—Г возможно при любой температуре.
Исследование линейной стадии неустойчивости К—Г необходимо, однако не является исчерпывающим при описании процессов, происходящих в космической плазме и, в частности, в магнитосфере Земли. На нелинейной стадии развития неустойчивости К—Г образуются вихри, в которых магнитные линии закручены в плотные спирали, что благоприятствует процессам пересоединения, вследствие которых возможен отрыв облаков плазмы потока и их последующее проникновение в окружающее пространство. Численное моделирование нелинейной стадии развития неустойчивости К—Г для переходного слоя между двумя плазмами было проведено в ряде работ [6—8]. Численное моделирование нелинейной динамики плоскопараллельного потока плазмы выполнено в работе [17]. Однако в силу специфики статьи, сконцентрированной на попытке смоделировать поведение нерелятивистского джета, сложно судить о конкретных эффектах в динамике развития неустойчивости Кельвина— Гельмгольца.
В настоящей работе рассматривается влияние напряженности магнитного поля, температуры, отношения ширины потока к ширине переходного слоя на образование вихревых слоев и крупномасштабные искажения потока в рамках плоскопараллельной модели. В разделе 2 описывается модель и численный метод, который использовался для изучения нелинейной динамики. Раздел 3 посвящен полученным результатам. В разделе 3.1 показано влияние длины волны возмущения на развитие неустойчивости при возбуждении ее периодическими колебаниями малой амплитуды. В разделе 3.2 представлены результаты численных экспериментов при возбуждении неустойчивости шумом. В разделе 4 обсуждаются полученные результаты.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
На рис. 1 схематически представлена исследуемая система. Невозмущенный поток плазмы в центральной области шириной 2а движется в по-
2Д\
2Д\
и/2
Б, и/2
и/2
X
2а
Рис. 1. Геометрия рассматриваемой системы: 2а — ширина потока, 2А — ширина переходной области, и — скорость потока, В — вектор напряженности магнитного поля.
ложительном направлении со скоростью и/2, окружающая плазма движется в противоположном направлении с той же скоростью. С точностью до выбора системы отсчета данная конфигурация эквивалентна распространению потока плазмы в положительном направлении со скоростью и. Магнитное поле однородно и направлено вдоль потока. Ширина переходной области между потоком и окружающей плазмой составляет 2Д. Изменение продольной скорости в переходной области описывается гиперболическим тангенсом. Аналитически распределение скоростей в состоянии равновесия задано следующим образом:
Ъ - о, (1)
Ух = 0.5и (апЬ ((г + а) /А) - гапЬ ((г - а)/А)- 1).
Профиль скорости в каждой из переходных областей, заданный гиперболическим тангенсом, широко используется для численного моделирования неустойчивости К—Г [13, 17], так как распределение скорости содержит точку перегиба и является симметричным относительно нее. Согласно [18], в рамках классической гидродинамики, в отсутствие магнитного поля, выполнения этих условий достаточно для того, чтобы развивалась неустойчивость.
В данной работе численными методами на плоскости (х,£) исследуются решения системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики
| (ру) + V • (рУУ) =
, + В-11 - вв
8п) 4п
др + V • (ру) = 0,
дг у !
(2)
[дЛ + (V-у )Лу _ 0, дЛУ _ д дЛУ _ „ - — вх, - — , „ дг дх (4)
| Р = РТ,
^ + (V. V)Т = 0. (5)
Интегрирование системы производится в безразмерных переменных конечно-разностным методом гарантирующим монотонность решения на основе принципа коррекции потоков [19]. Этот подход в сравнении с иными методами, позволяющими снизить осцилляции вблизи разрывов, является достаточно гибким и может быть легко расширен на неконсервативный случай для интегрирования уравнений адвекции (4), (5). В качестве метода высокого порядка точности используется метод четвертого порядка, для коррекции потоков используется метод приближенного решения задачи о распаде разрыва, учитывающий только быстрые магнитозвуковые волны. Шаг ограничения потоков высокого порядка аппроксимации основан на улучшенном многомерном методе, описанном в [20]. Безразмерные переменные заданы таким образом, чтобы, двигаясь с единичной скоростью, возмущение преодолевало расстояние равное единичной длине. При интегрировании системы данным методом равновесное состояние остается стационарным бесконечно долго. В направлении х, вдоль потока, заданы периодические граничные условия q (0, г, г) =
= q(4,г,г), где q = ^,р,Т,Лу)Т и Ьх — размер вычислительной области по оси х. В направлении г, на границе все величины сохраняются неизменными на протяжении счета, q (х,0, г) = q0 (х), q (х, Ьг, г) = qь (х), где Ьг — размер вычислительной области по оси г, q 0, q Ь — вектора начальных значений для г = 0,Ь^ соответственно. Вблизи границы полученное численное решение q (х, г, г) подвергается сжимающему отображению с малым положительным коэффициентом а к граничным значениям, q (г, х, г) = q (г, х, г) + а ^ 0, Ьг (х) - q (г, х, г)). Сжимающее отображение дает возможность заметно снизить амплитуду возмущения, прежде чем оно достигнет границы и отразится от нее. Использование данного подхода позволяет уменьшить влияние граничных условий на полученные результаты. Таким образом, наша численная сетка содержит центральную физически значимую область и два прилегающих к границе поглощающих слоя, где резуль
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.