научная статья по теме НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ПОТОКА СИЛЬНО НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ Физика

Текст научной статьи на тему «НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ПОТОКА СИЛЬНО НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 5, с. 463-467

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

УДК 533.9.01

нелинейная динамика потока

сильно неизотермической бесстолкновительной плазмы © 2014 г. Ю. Б. Мовсесянц, П. М. Тюрюканов

ФГУП "Всероссийский электротехнический институт им. В.И. Ленина", Москва, Россия

e-mail: yumovsesyants@gmail.com Поступила в редакцию 20.09.2013 г.

Показано, что для поперечно-однородного потока холодных ионов и больцмановских электронов уравнения двухжидкостной электрогидродинамики приводятся в ионнозвуковой области к уравнению Буссинеска. На примере "двухсолитонного" решения продемонстрирован нелинейный механизм бесстолкновительной релаксации сверхзвукового потока к стационарному состоянию в виде двойного слоя пространственного заряда.

DOI: 10.7868/S0367292114040052

1. В связи с многочисленными приложениями мощных сверхзвуковых плазменных потоков в различных научно-технических областях исследования динамика подобных образований представляет самостоятельный предмет исследования. Обычно, при первичном формировании в такой разреженной среде накапливается избыточный заряд, существенно влияющий на токовые характеристики [1]. Помимо этого, в окрестности точки "ионного звука" us = (Te/Mi)1/2, (где Mj — масса иона, Te = const — температура больцмановских электронов) возникает сильный градиент плотности, приводящий, вследствие разницы подвижностей компонент, к разделению зарядов.

В дальнейшем будем считать, что достаточно широкий в поперечном направлении ускоряющий промежуток с первично сформированным потоком отделен от плазменного источника резкой границей, представляющей собой катод. Коллектор расположен на "бесконечности" и его потенциал равен нулю, давление остаточного газа в промежутке пренебрежимо мало. Двухкомпо-нентную плазму потока с холодными ионами и больцмановскими электронами с температурой Te = const будем считать бесстолкновительной, и ее компоненты взаимодействующими друг с другом только через макроскопическое самосогласованное электрическое поле, описываемое уравнением Пуассона.

Предметом настоящей работы является изучение условий возможной бесстолкновительной релаксации такого формирования к стационарному состоянию.

2. Пренебрегая краевыми эффектами, положим что плоский, поперечно-однородный поток

инжектирован в полупространство х > 0 и описывается нестационарными уравнениями двухжидкостной электрогидродинамики [2]:

дщ + д_ dt дх

( 2Л v 2 У

- дф дх

dn +dJl = 0 dt дх

д m

—— = n — n■,

2 е <'

дх

(1) (2) (3)

здесь потоковая скорость ионов u(x, t) обезразме-рена на скорость ионного звука us, плотности потоковых ионов n(x, t) и больцмановских электронов ne (x, t) = ехр(ф) обезразмерены на Nx = const — заданной плотности нейтральной плазмы на бесконечности; потенциал ф(х, t) в единицах TJe, плотность ионного тока j = nu. Координата х обез-размерена на дебаевский радиус xd = (Te/4ne2Nx)1/2, время t обезразмерено на величину xdu"sl-

Систему (1)—(3) необходимо дополнить уравнением баланса плотностей электронного je, ионного ji и тока смещения

J e Ji

д 2ф dxdt

(4)

определяющего в данном случае плотность электронного тока je.

Решения (1)—(4) должны быть ограничены и удовлетворять граничным условиям при х ^ да: щ (х, t) ^ u0 = const, j (x, t) = j0, где: u0, j0 — заданные постоянные,

ф (х, ?) ^ 0, дф (х, ?) ^ 0,

дх

п = пе (х, ?) - щ (х, ?) ^ 0.

(5)

Отыскание нелинейных решений системы с граничными условиями (5) в общем случае является весьма сложной задачей. В работах [3—4] показано, что учет нелинейности позволяет свести систему уравнений, подобную (1)—(3), к уравнению Буссинеска [5]. Покажем, что в случае, когда асимптотическое значение потоковой скорости и0 сравнимо с ионнозвуковой, аналогичный результат справедлив и для данной системы.

Положим

^ - ^ = х (х, ? )< 1, 2 2 у '

и = — ехР[(х,1)], «0 = —о, где введены функции х, £,. Тогда

(6)

и, = и0

1 - ^ = «0

1 --Х 1 2 «0

и уравнение (1) принимает вид:

5ф = +

дх дх

дХ . «0д?

(7)

Данные упрощения позволяют выделить в явном виде эффекты, обусловленные наличием в данной системе точки "ионного звука" ы5 [6—7]. Чтобы показать это, преобразуем с учетом (6), (7) правую часть уравнения Пуассона (3)

ехр (ф) - — = и,

=ехр(ф)

1 - ехр

£-ф--Ли 2

- 4 ^

и0 У

ехр (ф) - — = и,

ехр (ф).

Используя это выражение, из уравнения Пуассона (3), получим

5

дХ , дХ

дх «0д?у

(8)

^ + ^2 + = Ф- ехр (-ф)-

и0 и0 дх

Проводя аналогичное разложение с точностью до

X /и0 в уравнении непрерывности (2), приведем его к виду

2

дх «0д?

X | X

2 4

и0 и(

= 0.

(9)

0 У

При дальнейшем исключении £, и ф из (7)—(9) необходимо учесть, что д 2ф/дх2 <§ 1. Это означает, что при вычислении из (8) производных £, можно пренебречь производными экспоненты, а ее саму заменить единицей, и (7)—(9) сводится к уравнению IV порядка относительно £,:

Ж.

дх2

Л 2

д + д

дх «0д? J

2

1 д 2х

Х + Г?'

и0 дх

д

удх и0д?

-д- + .

д

2

дх и0д?

, 2 х + А дХ- = о;

и0 дх

(10)

X =

ои( у

д + д дх и0д? у

дХ , дХ дх и0д? у

Полученное уравнение (10) нуждается в дальнейших упрощениях, поскольку наличие смешанных производных в старшем члене не позволяет использовать известные методы получения нелинейных решений.

3. С этой целью исследуем свойства его наиболее простого класса автомодельных решений. Полагая х = X (х + ««о?), где а — произвольная константа, после двукратного интегрирования, положив постоянные интегрирования равными нулю,

получим из (10) при и-2 -1 - а (а + 2) > 0

X = « [1 + а (а + 2) - «о2 ] х + а (а + 2) - «0

В стационарном случае 5/51 = 0 из (7) следует: ф =

X, и разложение логарифма с точностью до х/«о приводит к появлению знакопеременного члена

(и-2 ~ 1)х, который, в силу возможной малости

(«0-2 ~ 1), может быть сравним со следующим членом разложения, и в совокупности с ним определяет качественное поведение решений системы. Поэтому здесь разложение логарифма необходимо провести с точностью до члена X/«о, а далее в разложении экспоненты в квадратных скобках можно ограничиться первым порядком малости

х еИ

2

х + а«0? 2 (а +1)

(11)

при «0 -1 -а(а + 2) < 0 3«,

Х = «[«о-2 -1 -а(а + 2)]х

-2 х + а«0? I —2 ] 7 ~^ хео8 —-^и0 -1 -а(а + 2)

•»о У

2 (а +1)

В выражениях (11) значение а = 0 соответствует стационарному состоянию потока. Регулярные решения, описывающие двойной слой с избытком ионного заряда в области инжекции и заряда больцмановских электронов на периферии, экспоненциально спадающим при х ^ да, реализу-

2

ются лишь для сверхзвукового потока и исследованы в [6—7].

4. Исходя из структуры решений (11) и учитывая, что исследуется достаточно медленный процесс релаксации к стационарному состоянию, ограничимся в дальнейшем рассмотрении областью значений а ^ 1. Подобное предположение соответствует

А >Л.,

дх ид

что делает возможным пренебречь в (10) всеми смешанными производными в дифференциальном операторе четвертого порядка. При этом в

-2 1

операторе второго порядка при и0 ~1 нужно удержать и пространственную и смешанную производные второго порядка. Полагая с учетом сделанных предположений

X = 3ио4Ж (х, %), преобразуем (10) к виду [5]

5 V

• +

((2 -1)

5 2W + 3 д 2W2

д 2W

= 0.

(12)

W = 2-д-1 In Z

дх

преобразуем (12) в билинейное уравнение

(13)

Z д4 Z _ 4 dZ d3Z + з f d 2Z

дх

+

(u-2 _ 1)

гд 2Z

дх2

дх дх3

(Z2

дх

дх2

+

_ z д2 Z + дZ 5Z - 0

дxдt дх дt

(14)

"двухсолитонное", решение которого будем искать в виде

Z = 1 + A1 exp (к1х + X1t) + A2 exp (k2 х + X 2t) +

(15)

42 = ^f [^2 + (U-2 - 1)1,

A12 = (1 - ^2)2 (1 + ^2)-2.

(16)

5. Из (16) следует, что при действительных к1 2 для дозвукового потока: ^12 Ф 0, что соответствует:

Xt^ 0,

т.е. распределения релаксируют к однородным: u ^ u0 = const, ф ^ 0, и не представляют особого интереса в рамках данной задачи.

Для сверхзвукового потока это ограничение может быть обойдено. Полагая в (16) при

u-2 -1 < 0 = 0, получим

к? (k2 + u0-2 -1) = 0, k1 =±Vb

(17)

дх4 4 " ' дх2 дх2 дхдг Однократным интегрированием (12) сводится к уравнению третьего порядка, однако для получения решений его удобно использовать именно в такой форме.

Следуя стандартной процедуре [5], посредством подстановки

= ±/ 1 - ио ,

X 2 = (( + и-2 - 1),

откуда следует, что в полуплоскости х > 0 бегущей вправо волне соответствуют значения

0 < к2 < 1 - и-2.

Учитывая теперь, что для стационарного решения: А2 = 0, А1 = 1, выберем в (15) для нестационарного решения

А1 = 1, к1 = д/1 - и-2,

и, чтобы удовлетворить граничным условиям (5), положим

A9

1 (k2 +1)2

2(к2 -1)2

Выделив при сделанных предположениях члены, описывающие стационарную часть и "бегущую волну", представим ^ в виде

(к, +71 - и-2) х + XI

Z = 4exp

х ch(х)ch(Ьх + ь)

2. 2к2

(18)

1

1 - th Iх

+ А12 А1А2 ехр[(к1 + к2 )х + (X + X 2) ],

где к12, ^12, А12, А12 — произвольные постоянные.

При подстановке этого выражения в (14) величины А12, к12 остаются произвольными, а ^12, и А12 определяются из дисперсионных соотношений

(1 - к) [1 + ехр (-к2х -XI)]

6. Ограничимся в дальнейшем случаем, когда к2 ^ 1. При этом последним членом (18) в квадратных скобках можно пренебречь, и х в (13) принимает достаточно простой вид

3 212

X - 3u02 (u02 - 1)[ch-2 (П1) + k2ch-2 (П2)], (19)

где

П2

П1

" /1 Г-2 -V1 - u0 ,

Ь* ^-u^ - к2 (1 - k22 )u0 (t + 10 ) JH

(20)

-0.2

Сплошная кривая /1(х) соответствует распределению объемного заряда (23) в области перекрытия "двойных слоев" для некоторого конечного момента времени tl\ штриховая линия/2(х) — стационарному распределению при t ^ да.

а 10 = const определяется начальными условиями.

Полагая в (19) x = 0 и используя условие (6), определим диапазон применимости данной модели

1 2 4

1 < u0 < -.

0 3

Выражения (19)—(20) позволяют вычислить остальные функции потока. Подставляя эти выражения в (7), определим электрическое поле

Зф 3/2 ,\3/2 -2 = - «0( -1)

дх 2 . 1,э

sh (тц )ch-3 (тц ) +

1 kl (1 + k22)sh(п2)ch-3 (п2)

(21)

Потенциал ф и плотность объемного заряда п = п1 — пе вычисляются из (21), соответственно интегрированием и дифференцированием этого выражения по х

ф:

3 «02 («02 -1) X

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»