ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 72. Вып. 1, 2008
УДК 539.3
© 2008 г. И. А. Солдатенков
НЕЛИНЕЙНАЯ ИЗНОСОКОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОСНОВАНИЯ ВИНКЛЕРА С РАСТУЩЕЙ ОБЛАСТЬЮ КОНТАКТА
Рассматривается износоконтактная задача для основания Винклера в случае нелинейной зависимости скорости износа от контактного давления и растущей области контакта. Получены соответствующие интегральное и дифференциальное уравнения. Предложена процедура последовательных приближений, позволяющая находить точное решение задачи в пространстве непрерывных функций. Установлено свойство неотрицательности контактного давления при его неотрицательных начальных значениях. С помощью качественного анализа и расчетов показано, что нелинейность закона изнашивания может существенно влиять на поведение контактного давления в ходе изнашивания.
Модель основания Винклера, устанавливающая линейную алгебраическую зависимость между нормальным перемещением поверхности тела и контактным давлением, широко применяется в инженерной практике для расчета изгиба различных строительных конструкций (балки, плиты) на деформируемом основании [1]. Модель Винклера также можно использовать для описания деформирования разного рода поверхностных структур, встречающихся в узлах трения. К ним, например, относятся тонкий упругий слой (покрытие) [2] и поверхностная шероховатость тел [3, 4], причем если основное тело (подложка) достаточно жесткое, так что его деформированием можно пренебречь, модель Винклера будет определять зависимость деформационного перемещения поверхности тела от контактного давления. Простота этой модели позволяет получать точные решения соответствующих износоконтактных задач.
1. Постановка задачи. Рассмотрим деформируемое основание с плоской поверхностью. Свяжем с ним систему координат Охуг, совместив оси х и г с поверхностью основания, а ось у направив по внешней нормали к ней (фиг. 1). Допустим, что в основание поступательно вдоль оси у внедряется абсолютно жесткий штамп, образующая поверхность которого параллельна оси г. Область контакта штампа с основанием будем представлять отрезком [-а, Ь] оси х, причем а > 0, Ь > 0. Одновременно штамп скользит по основанию вдоль оси г с постоянной по величине скоростью и, в результате чего происходит его изнашивание. Соответствующее изменение величин во времени будем отмечать аргументом г, принимая за начало изнашивания момент г = 0. Начальная форма штампа задается гладкой, монотонно убывающей (возрастающей) при х < 0 (х > 0) функцией g(x), g(0) = 0. Положим, что при неизменной скорости скольжения и, скорость линейного износа W штампа определяется величиной р = -оу|у = о контактного давления согласно закону изнашивания
дЩх, г)/дг = р(х, г)), Щх, 0) = 0 (1.1)
причем Д(р) - известная функция, относительно которой предполагается, что
р) = 0, р < 0; Д(р)> 0, р > 0 (1.2)
0 < F' (p) е C(-<*>, <~)
(1.3)
Фиг. 1
и что Др) удовлетворяет условию Липшица
\Р(Р2)-Р(Р!)|< ^м\р2-рх\, р^2 е (-»,«>) (1.4)
где - известная постоянная. Очевидно, что при условии (1.2) удовлетворяющая равенствам (1.1) функция Щ(х, г) неотрицательна.
Пусть при изнашивании штампа размеры области контакта гладким образом возрастают на некотором отрезке времени [0, г*], г* > 0:
0 < а'(г) е С[0, г*], 0 < Ь'(г) е С[0, г*] (1.5)
что позволяет определить скорость возрастания размера а: У(г) = а'(г). Допущения (1.5) также обеспечивают существование монотонно возрастающей функции г(а), обратной к а(г). Это позволяет использовать размер а области контакта в качестве временного параметра вместо г, так что
Ь(а) = Ь(г(а)), У(а) = У(г(а)), р(х, а) = р(х, г(а)), Щ(х, а) = Щ(х, г(а))
Далее там, где это не может вызвать недоразумений, аргумент а у функции Ь(а) опускается.
Известные теоремы об обратной функции [5] при допущениях (1.5) позволяют установить следующие свойства функций г(а) и У(а):
г(а)е С1 [а0, а*], г'(а) = 1/У(г) = 1/У(а) (1.6)
0 < У(а)е С[а0, а*] (1.7)
Здесь и далее а0 = а(0), Ь0 = Ь(0) и а* = а(г*), V* = Ь(г*).
При переходе от переменной г к переменной а закону изнашивания (1.1) с помощью правила дифференцирования сложной функции можно придать вид
дЩ(х, а)/да = р(х, а))/У(а), Щ(х, а0) = 0 (1.8)
Обозначим через иу вертикальное (вдоль оси у) перемещение поверхности основания в результате его формирования, так что согласно модели Винклера
иу(х, а) = -Ар(х, а)
Подстановка этого выражения в условие контакта штампа с основанием дает равенство Ар(х, а) + Щ(х, а) = 5(а) - g(х), х е [-а, Ь] (1.9)
причем величина 5 определяет вертикальное перемещение штампа. Имеют место также условие равенства нулю контактного давления на концах области контакта и условие равновесия штампа
р (-а, а) = р (Ь, а) = 0 (1.10)
Ь
I р (х, а) йх = е (1.11)
-а
где е - постоянная вертикальная нагрузка, приходящаяся на единицу длины штампа вдоль оси г.
При сделанных допущениях размеры а, Ь области контакта и перемещение штампа 5 оказываются связанными между собой равенствами
g (Ь (а)) = g (-а) = 5( а) (1.12)
Действительно, вне области контакта при возрастающих размерах а и Ь износ Щ отсутствует, а также, согласно модели Винклера, отсутствует и деформационное перемещение иу поверхности основания. Это позволяет записать соотношение
g(х) = 5(а) + й(х, а), х е [-а, Ь] или х е [-а, Ь]
в котором й - зазор между поверхностями штампа и основания. В силу непрерывности функции g(x) из последнего соотношения вытекают равенства (1.12), так как й(х, а) ^ 0 при х ^ -а - 0 или х ^ Ь + 0.
Если ввести в рассмотрение функцию х = g+1 (у), обратную к функции у = g+(x) = = g(x) |х е [Ь ь*], то первое равенство (1.12) позволяет определить зависимость Ь(а) через известную форму штампа:
Ь(а) = g+1 Ш-а)], 0 < Ь'(а) = (-а)/^(Ь(а)) е С[а0, а*] (1.13)
Введем в рассмотрение множество П* точек х, а, абсцисса х которых лежит в пределах области контакта [-а, Ь(а)] при любом а е [а0, а*]. Соотношения (1.13) позволяют записать
П* = {х, а: х е [-а, Ь(а)], а е [а0, а*]} = {х, а: х е [-а*, Ь*], а е [у(х), а*]} (1.14)
причем функция у(х) определяет расстояние от оси х до нижней границы множества П* и имеет вид
¥( х)
-х, х е [-а*, -а0] а0, х е (-а0, Ь0) Ь1(х), х е [Ь0, Ь*]
Функция а = Ь_1(х) - обратная к известной функции х = Ь(а) вида (1.13). В силу соотношений (1.13) у(х) е С[-а*, Ь*].
Требуется найти функции р(х, а), Щ(х, а), 5(а), У(а), удовлетворяющие уравнениям (1.8)—(1.11) и соотношению (1.7) при х, а е П*.
2. Решение задачи. Контактное давление р(х, а) будем искать в пространстве непрерывных на множестве П* функций:
р(х, а) е С(Щ) (2.1)
Определим искомую скорость возрастания размера а области контакта выражением
b
V(a) = (&p)(a) = -2/(fl)g.(-fl) J F(P(x, a))dx, a е[Aq, a*]; l(a) = (2.2)
-a
Формально выражение (2.2) получается, если вначале проинтегрировать условие контакта (1.9) по х е [-a, b], а затем результат продифференцировать по а, учитывая при этом закон изнашивания (1.8) и условие равновесия (1.11). Для интеграла в правой части равенства (2.2) справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Пусть M - множество ограниченных, почти всюду непрерывных на отрезке [-a, b] функций ф(х), удовлетворяющих условию
b
J ф( х )dx = Q (2.3)
-a
где Q - некоторая постоянная. Пусть дана функция F(s), такая, что F'(s) е C '(-«>, Тогда
b
min J F(ф(х))dx = (a + b)F^) при F"(s)> 0
ф(x)е MJ
max f х))dx = (a + b)F^) при F'(s)< 0
ф(x)e MJ
-a
где s e «>), ф = Q/(a + b) - среднее значение функции ф(х) б M. Доказательство. Пользуясь формулой Тейлора, запишем равенство
Яф(х)) = F(ф + р(х)) = Яф) + F (ф)р(х) + R(х); р(х) = ф(х) - ф (2.4)
в котором R^) = ^'(ф](х))р2(х)/2, причем значения ф^х) лежат между ф и ф(х) = ф + р(х). Интегрирование равенства (2.4) по отрезку [-a, b] при учете условия (2.3) завершает доказательство. Доказанная лемма позволяет сформулировать
Утверждение 1. Если функции g^) и F(p) удовлетворяют оговоренным выше условиям, а р(х, а) - условию равновесия (1.11) и обладает свойством (2.1) непрерывности, то для функции V(a) вида (2.2) выполняется соотношение (1.7), т.е.
0 < Vm < V(a) = (Шp)(a) e C[a0, a*], a e [ao, a*]) (2.5)
причем
Г 1 f Q Vl
> 0
Vm = min
a e [a0, a*]
--i- f(-8-
g'(-a) V2l(a)
(Ут - известная величина).
Доказательство. Интеграл в правой части равенства (2.2) непрерывен по а е [а0, а*], что обеспечивается непрерывностью функций F(p), Ь(а) (см. свойства (1.3), (1.13)) и условием (2.1) [5]. При наложенных на функцию g(x) ограничениях это позволяет установить непрерывность по а е [а0, а*] всего выражения (2.2) для У(а). Существование и положительность величины Ут обуславливается свойствами (1.2), (1.13) функций F(p), Ъ(а), а также неравенством g'(-a) < 0. Правое неравенство (2.5) может быть
b
установлено, если учесть, что при условиях (1.3), (1.11) интеграл в правой части равенства (2.2) согласно лемме 1 достигает минимума при р(х, а) = Q/(2l(a)).
Утверждение 1 дает возможность установить ряд соотношений между искомыми функциями. Прежде всего в силу соотношений (2.5), а также свойств (1.3) и (2.1) имеем: У^1(а)Е(р(х, а)) е С(П*), что позволяет проинтегрировать по а закон изнашивания (1.8) и получить равенство [5]
W (х, а)
| Р(р(X, 5))
¥( х)
й5
щ!)
причем в силу непрерывности функции у(х) W(х, а)е С(П*); W(-а, а) = W(Ь, а) = 0
(2.6)
(2.7)
Далее проинтегрируем условие контакта (1.9) по х е [-а, Ь] и заменим полученный интеграл от контактного давления нагрузкой Q согласно условию равновесия (1.11). Из полученного таким образом равенства легко прийти к следующему выражению:
8( а) =
1
гЬ
21 (а)
| W(х, а)йх + AQ + а) ; а) = |g(х)йх
(2.8)
Получим, наконец, уравнение для р(х, а). Подставим в равенство (1.9) выражение (2.8) для 5(а) и запишем условие контакта в виде
Ар(х, а) + W(х, а)
1
Ь
21 (а)
| W(х, а)йх + AQ + ^(а)
- g(х), х е [-а, Ь]
(2.9)
исключая из которого У(а) и W(x, а) с помощью выражений (2.2) и (2.6), можно прийти к следующему интегральному уравнению для контактного давления:
р(х, а) = (Жр)(х, а), х, а еП* (2.10)
причем оператор Ж имеет вид
(Жр)(х, а) = (3{ф)(х, а) + г(х, а) (2.11)
(Ж ф)(х, а)
Ь а а
т ^йх ^р(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.