ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2012, том 38, № 6, с. 513-521
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
УДК 533.9
НЕЛИНЕЙНАЯ МОДУЛЯЦИЯ НЕОБЫКНОВЕННОЙ ВОЛНЫ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПАДА © 2012 г. В. Г. Дорофеенко, В. Б. Красовицкий*, В. А.Туриков**
Институт передовых исследований, Вена, Австрия, * Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия, ** Российский университет дружбы народов, Москва, Россия Поступила в редакцию 14.06.2011 г. Окончательный вариант получен 23.08.2011 г.
Найдено аналитическое и численное решение самосогласованной системы гамильтоновых уравнений, описывающее нелинейное насыщение амплитуды колебаний, возникающих в условиях параметрического распада эллиптически поляризованной необыкновенной волны в холодной плазме. Показано, что экспоненциальный рост амплитуды вторичной волны с половинной частотой сменяется обратным процессом возвращения энергии в первичную волну и возникновением нелинейных колебаний в плазме поперек внешнего магнитного поля. Система "медленных" уравнений для амплитуд, полученная усреднением исходных уравнений по высокочастотному периоду неустойчивости, описывает стационарные нелинейные колебания в плазме.
1. ВВЕДЕНИЕ
Эффективным механизмом аномально быстрой передачи энергии мощного электромагнитного излучения в плазме является параметрическая неустойчивость, сопровождаемая резонансной раскачкой плазменных колебаний и переходом системы в турбулентное состояние [1]. Наличие удерживающего плотную плазму сильного магнитного поля сопровождается появлением новых резонансов и расширением области параметрического воздействия излучения на плазму. Примером такой ситуации является нагрев плазмы Z-пинча лазерным импульсом, когда энергия ускоренных электронов зависит от угла между волновым вектором и магнитным полем и достигает максимума при возбуждении необыкновенной волны в плазме [2].
Физическим механизмом трансформации энергии лазерной волны в энергию электронов нагретой плазмы является рамановский или 2-х плазмонный распады, сопровождаемые возбуждением верхнегибридной квазипотенциальной волны [3—6]. В холодной плазме имеет место распад необыкновенной электромагнитной волны на две волны половинной частоты [2, 7]. В каждом конкретном случае параметрического резонанса эффективность процесса зависит от величины инкремента неустойчивости, определяемого самосогласованной системой линеаризованных нелинейных уравнений и пропорционального амплитуде волны накачки.
Однако теоретическое исследование параметрических неустойчивостей, базирующееся на использовании линейных по амплитуде волны на-
качки инкрементов [2—7], описывает только начальную стадию распадов и не содержит информации о взаимодействии с плазмой волновых пакетов конечной амплитуды. Для анализа сильно нелинейной стадии параметрического распада исходной волны и нелинейного насыщения вторичной волны в плазме может быть использовано численное моделирование [7].
Предполагается, что создаваемая в вакууме линейно поляризованная электромагнитная волна Ех = -дАх/cдt и Ву = дАх/дг (Ах — векторный потенциал) на границе плазмы г = 0 трансформируется в эллиптически поляризованную необыкновенную волну с частотой ю0 и волновым числом к0. В условиях параметрического резонанса электроны плазмы ускоряются и создают круговой ток в плоскости (х, г), перпендикулярной внешнему магнитному полю В0 = (0, В0,0). Этот ток, в свою очередь, генерирует вторичную необыкновенную
волну с частотой ю(1) = ю0 /2. При этом выполняется условие резонанса для волновых чисел
к(1) = к0 /2, так что обе волны имеют одинаковую
фазовую скорость1. Результаты численного моделирования с помощью одномерного электромагнитного релятивистского кода показали, что на рассмотренных временном t < 1200/ю0 и про-
1
Заметим, что в отличие от двухплазмонного распада в изотропной плазме [8], магнитное поле связывает поперечные и продольные колебания электронов, так что существует возможность распада лазерной волны на две необыкновенные волны, распространяющиеся в том же направлении.
Во, В
'Е
2. СИСТЕМА ГАМИЛЬТОНОВЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в плазме поперек внешнего магнитного поля В0 = (0, В0,0), и предположим, что магнитное поле волны В ориентировано вдоль В 0, а электрическое поле Е поляризовано в плоскости (х, г) (см. рис. 1).
Вводя векторный потенциал, представим уравнения Максвелла в виде
Рис. 1. Необыкновенная волна в холодной плазме.
странственном г < 1600с/ю0 промежутках обмен энергией между основной и вторичной гармониками наблюдается при А = еА*/тс2 > 0.1, а значительный нагрев электронов проявляется при А > 0.3. В области параметров 0.1 < А < 0.3 параметрический распад необыкновенной волны не сопровождается заметным ростом температуры плазмы и для выполненного в настоящей работе теоретического анализа нелинейной эволюции
2
волн использованы уравнения гидродинамики .
Известно [10], что электромагнитная волна содержит две независимых ветви колебаний, соответствующие быстрой необыкновенной ю+ (БН) и медленной необыкновенной ю_ (МН) волнам. Так как эти частоты удовлетворяют условию параметрического резонанса ю+ = 2ю_, то нелинейная модуляция лазерного импульса сопровождается периодическим обменом энергией между БН- и МН-волнами. Обе резонансные моды имеют одинаковую фазовую скорость чрк = ш0/к0 = ш(1)/к ®, что позволяет путем перехода к переменной г - г/чрк преобразовать исходную систему уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в гамиль-тоновой форме, допускающих простое численное интегрирование.
Система уравнений огибающей для медленных амплитуд получена путем усреднения исходной системы нелинейных уравнений по высокочастотному периоду [11]. Найденное аналитическое решение описывает стационарные нелинейные колебания амплитуд волны накачки, вторичной возбуждаемой волны и разностной фазы, возникающие в процессе обмена лазерной волны с плазмой.
' Стохастический нагрев плазмы, требующий кинетического рассмотрения, возникает, если амплитуда волны превышает пороговое значение [9].
1 д!
с2 дг2
.Л
дг2
л 4пе
А* = -пеV *.
дЕ дЕ
—1 = 4пе (пе - п0), —1 + 4пеп(уг = 0,
дг дг
(1)
где V = (ух,0, V г) и пе — скорость и плотность электронов плазмы, а п0 — плотность неподвижных ионов. Движение электронов плазмы является двухмерным (уу = 0) и рассматривается в гидродинамическом приближении
йг
■ -е
1 дА* с дг
V; ( дА*
дг
В
йг
Ег + V* (дА* дг
В
йпе , дч^ —1 + пе —г = 0, йг е дг
(2)
где й/йг = д/дг + чгд/дг и р = тм (1 - V2/с2) производная Лагранжа и импульс релятивистского электрона. Из уравнений (1) и (2) следуют интегралы:
Ег = 4пеп0 (г0 - г),
Р* + е[А* + (г - г0)В0] = Р* (г0),
(3)
где г0 и Р* (г0) — продольное смещение и поперечный импульс электрона в «нулевой» точке поля Ег = 0 и А* = 0 соответственно.
Представим решение системы уравнений (1), (2) и (3) в виде бегущей волны, зависящей от безразмерной фазы у = юр (г - г/Vрк), где
^4пе 2п0/ т — плазменная частота. Вводя без-
ю
размерные переменные
А = в = г(1 -^
тс V с
\
Юр
^=-р (( - г) (4) с
и параметры
О =
«В Юр
«В =■
еВо
тс
в =
V
рк
х
г
к
У
кТ 0
-0.1
-0.2 0.2 0.1 ьТ 0 -0.1 -0.2
0
100
200
300
400
500
600
(а)
(б)
700
Рис. 2. Нелинейная модуляция электрического поля волны (в единицах тещ/е) для максимального инкремента: ю = 1.78, С = 0.66 и А = 0.3. а) Ех — поперечное поле; б) Ег — продольное поле.
а также учитывая соотношения (3), преобразуем уравнения (1) и (2) к виду [7]
А " =
О
в2 - Ца2 + (р2 -1)(1 + О2)'
^ в2 -1
р а
^а2 + (р2 -1) + О2)
-1
(5)
а ' = РС-
ор2о
^а2 + (р2 -1) + О2)'
где Q = А - О £, а производная по у обозначена штрихом. При выводе (5) положено Рх (г0) = 0, что соответствует невозмущенной плазме в отсутствие волны.
Система (5) аналогична гамильтоновой системе уравнений механики [12] и может быть представлена в виде
А' = дН/ дР, Р' = -дН/ дА, с' = дН / да, а' = -дН / дС, Н (Р, а, А, С ) =
= в
2
/
\
Г- + С 2
Чв - 1 У
+
в У а2 + (-1)(1 + 02) - в а
в2 -1
где Р = (Р~Р 1)А', А и а, £ — обобщенные пульсы и координаты.
им-
Численное решение системы нелинейных уравнений (5) в условиях, соответствующих режиму параметрической неустойчивости (см. анализ, выполненный в разделах 3 и 4) представлено на рис. 2. В неустойчивой лазерной плазме возникают двухчастотные периодические колебания поперек внешнего магнитного поля, когда перекачка энергии в моду с половинной частотой сменяется возвратом энергии в моду накачки. Результаты Фурье анализа спектра представлены на рис. 3. Дополнительные сателлиты возникают вблизи основной, половинной и кратных гармоник спектра (см. также рис. 3 в работе [7]).
3. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ИНКРЕМЕНТ
Формула (6) упрощается в слабонелинейном приближении, когда может быть использовано разложение гамильтониана в ряд вблизи невозмущенного состояния £ = А = Р = 0 и а = 1 с точностью до членов третьего порядка включительно
Н (Р, Ь, А, С) =
в
м!+Ь!+
1 в
в (!!))
ЬП2 в
(7)
(6) где Ь = а - 1 и |Ь| < 1.
Опуская в (7) слагаемые порядка Ь , получаем систему линейных уравнений
РС = Ь, Ь = -р[(1 + О2)С-ОА], А' = р(р2-1)-1 Р, Р' = -р(А-в§,
(8)
з
25 20 15 10 5 0
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 о
Рис. 3. Спектр нелинейных колебаний плазмы с параметрами рис. 2.
определяющую дисперсионное уравнение необыкновенной волны A = A0 sin () в холодной плазме:
4=i-в2
2 1 Ш -1
(9)
I/ 2 2 у (со -Шин)
где ю и щн = V1 + О2 — рабочая и гибридная частоты в единицах ш р.
Удерживая в гамильтониане (7) слагаемые порядка Ь3 [см. формулы (17)], проанализируем линейный параметрический распад волны с частотой ю на две вторичные волны с частотами ш/2
А = А0б1п () + Яе [А1ехр (/шу/2)], (10)
где А0 и ш0 — амплитуда и частота волны накачки, А1 и ю — комплексные амплитуда и частота экспоненциально нарастающего малого возмущения, А < А0 (см. [7]).
Pres
Ю- W uh Wr W+
W
Рис. 4. Параметрический распад необыкновенной волны при G = 0.75.
Дисперсионное уравнение (9) содержит две ветви колебаний относительно ш2: быструю необыкновенную (БН) и медленную необыкнове
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.