научная статья по теме НЕЛИНЕЙНАЯ МОДУЛЯЦИЯ НЕОБЫКНОВЕННОЙ ВОЛНЫ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПАДА Физика

Текст научной статьи на тему «НЕЛИНЕЙНАЯ МОДУЛЯЦИЯ НЕОБЫКНОВЕННОЙ ВОЛНЫ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПАДА»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2012, том 38, № 6, с. 513-521

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

УДК 533.9

НЕЛИНЕЙНАЯ МОДУЛЯЦИЯ НЕОБЫКНОВЕННОЙ ВОЛНЫ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПАДА © 2012 г. В. Г. Дорофеенко, В. Б. Красовицкий*, В. А.Туриков**

Институт передовых исследований, Вена, Австрия, * Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия, ** Российский университет дружбы народов, Москва, Россия Поступила в редакцию 14.06.2011 г. Окончательный вариант получен 23.08.2011 г.

Найдено аналитическое и численное решение самосогласованной системы гамильтоновых уравнений, описывающее нелинейное насыщение амплитуды колебаний, возникающих в условиях параметрического распада эллиптически поляризованной необыкновенной волны в холодной плазме. Показано, что экспоненциальный рост амплитуды вторичной волны с половинной частотой сменяется обратным процессом возвращения энергии в первичную волну и возникновением нелинейных колебаний в плазме поперек внешнего магнитного поля. Система "медленных" уравнений для амплитуд, полученная усреднением исходных уравнений по высокочастотному периоду неустойчивости, описывает стационарные нелинейные колебания в плазме.

1. ВВЕДЕНИЕ

Эффективным механизмом аномально быстрой передачи энергии мощного электромагнитного излучения в плазме является параметрическая неустойчивость, сопровождаемая резонансной раскачкой плазменных колебаний и переходом системы в турбулентное состояние [1]. Наличие удерживающего плотную плазму сильного магнитного поля сопровождается появлением новых резонансов и расширением области параметрического воздействия излучения на плазму. Примером такой ситуации является нагрев плазмы Z-пинча лазерным импульсом, когда энергия ускоренных электронов зависит от угла между волновым вектором и магнитным полем и достигает максимума при возбуждении необыкновенной волны в плазме [2].

Физическим механизмом трансформации энергии лазерной волны в энергию электронов нагретой плазмы является рамановский или 2-х плазмонный распады, сопровождаемые возбуждением верхнегибридной квазипотенциальной волны [3—6]. В холодной плазме имеет место распад необыкновенной электромагнитной волны на две волны половинной частоты [2, 7]. В каждом конкретном случае параметрического резонанса эффективность процесса зависит от величины инкремента неустойчивости, определяемого самосогласованной системой линеаризованных нелинейных уравнений и пропорционального амплитуде волны накачки.

Однако теоретическое исследование параметрических неустойчивостей, базирующееся на использовании линейных по амплитуде волны на-

качки инкрементов [2—7], описывает только начальную стадию распадов и не содержит информации о взаимодействии с плазмой волновых пакетов конечной амплитуды. Для анализа сильно нелинейной стадии параметрического распада исходной волны и нелинейного насыщения вторичной волны в плазме может быть использовано численное моделирование [7].

Предполагается, что создаваемая в вакууме линейно поляризованная электромагнитная волна Ех = -дАх/cдt и Ву = дАх/дг (Ах — векторный потенциал) на границе плазмы г = 0 трансформируется в эллиптически поляризованную необыкновенную волну с частотой ю0 и волновым числом к0. В условиях параметрического резонанса электроны плазмы ускоряются и создают круговой ток в плоскости (х, г), перпендикулярной внешнему магнитному полю В0 = (0, В0,0). Этот ток, в свою очередь, генерирует вторичную необыкновенную

волну с частотой ю(1) = ю0 /2. При этом выполняется условие резонанса для волновых чисел

к(1) = к0 /2, так что обе волны имеют одинаковую

фазовую скорость1. Результаты численного моделирования с помощью одномерного электромагнитного релятивистского кода показали, что на рассмотренных временном t < 1200/ю0 и про-

1

Заметим, что в отличие от двухплазмонного распада в изотропной плазме [8], магнитное поле связывает поперечные и продольные колебания электронов, так что существует возможность распада лазерной волны на две необыкновенные волны, распространяющиеся в том же направлении.

Во, В

2. СИСТЕМА ГАМИЛЬТОНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в плазме поперек внешнего магнитного поля В0 = (0, В0,0), и предположим, что магнитное поле волны В ориентировано вдоль В 0, а электрическое поле Е поляризовано в плоскости (х, г) (см. рис. 1).

Вводя векторный потенциал, представим уравнения Максвелла в виде

Рис. 1. Необыкновенная волна в холодной плазме.

странственном г < 1600с/ю0 промежутках обмен энергией между основной и вторичной гармониками наблюдается при А = еА*/тс2 > 0.1, а значительный нагрев электронов проявляется при А > 0.3. В области параметров 0.1 < А < 0.3 параметрический распад необыкновенной волны не сопровождается заметным ростом температуры плазмы и для выполненного в настоящей работе теоретического анализа нелинейной эволюции

2

волн использованы уравнения гидродинамики .

Известно [10], что электромагнитная волна содержит две независимых ветви колебаний, соответствующие быстрой необыкновенной ю+ (БН) и медленной необыкновенной ю_ (МН) волнам. Так как эти частоты удовлетворяют условию параметрического резонанса ю+ = 2ю_, то нелинейная модуляция лазерного импульса сопровождается периодическим обменом энергией между БН- и МН-волнами. Обе резонансные моды имеют одинаковую фазовую скорость чрк = ш0/к0 = ш(1)/к ®, что позволяет путем перехода к переменной г - г/чрк преобразовать исходную систему уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в гамиль-тоновой форме, допускающих простое численное интегрирование.

Система уравнений огибающей для медленных амплитуд получена путем усреднения исходной системы нелинейных уравнений по высокочастотному периоду [11]. Найденное аналитическое решение описывает стационарные нелинейные колебания амплитуд волны накачки, вторичной возбуждаемой волны и разностной фазы, возникающие в процессе обмена лазерной волны с плазмой.

' Стохастический нагрев плазмы, требующий кинетического рассмотрения, возникает, если амплитуда волны превышает пороговое значение [9].

1 д!

с2 дг2

дг2

л 4пе

А* = -пеV *.

дЕ дЕ

—1 = 4пе (пе - п0), —1 + 4пеп(уг = 0,

дг дг

(1)

где V = (ух,0, V г) и пе — скорость и плотность электронов плазмы, а п0 — плотность неподвижных ионов. Движение электронов плазмы является двухмерным (уу = 0) и рассматривается в гидродинамическом приближении

йг

■ -е

1 дА* с дг

V; ( дА*

дг

В

йг

Ег + V* (дА* дг

В

йпе , дч^ —1 + пе —г = 0, йг е дг

(2)

где й/йг = д/дг + чгд/дг и р = тм (1 - V2/с2) производная Лагранжа и импульс релятивистского электрона. Из уравнений (1) и (2) следуют интегралы:

Ег = 4пеп0 (г0 - г),

Р* + е[А* + (г - г0)В0] = Р* (г0),

(3)

где г0 и Р* (г0) — продольное смещение и поперечный импульс электрона в «нулевой» точке поля Ег = 0 и А* = 0 соответственно.

Представим решение системы уравнений (1), (2) и (3) в виде бегущей волны, зависящей от безразмерной фазы у = юр (г - г/Vрк), где

^4пе 2п0/ т — плазменная частота. Вводя без-

ю

размерные переменные

А = в = г(1 -^

тс V с

\

Юр

^=-р (( - г) (4) с

и параметры

О =

«В Юр

«В =■

еВо

тс

в =

V

рк

х

г

к

У

кТ 0

-0.1

-0.2 0.2 0.1 ьТ 0 -0.1 -0.2

0

100

200

300

400

500

600

(а)

(б)

700

Рис. 2. Нелинейная модуляция электрического поля волны (в единицах тещ/е) для максимального инкремента: ю = 1.78, С = 0.66 и А = 0.3. а) Ех — поперечное поле; б) Ег — продольное поле.

а также учитывая соотношения (3), преобразуем уравнения (1) и (2) к виду [7]

А " =

О

в2 - Ца2 + (р2 -1)(1 + О2)'

^ в2 -1

р а

^а2 + (р2 -1) + О2)

-1

(5)

а ' = РС-

ор2о

^а2 + (р2 -1) + О2)'

где Q = А - О £, а производная по у обозначена штрихом. При выводе (5) положено Рх (г0) = 0, что соответствует невозмущенной плазме в отсутствие волны.

Система (5) аналогична гамильтоновой системе уравнений механики [12] и может быть представлена в виде

А' = дН/ дР, Р' = -дН/ дА, с' = дН / да, а' = -дН / дС, Н (Р, а, А, С ) =

= в

2

/

\

Г- + С 2

Чв - 1 У

+

в У а2 + (-1)(1 + 02) - в а

в2 -1

где Р = (Р~Р 1)А', А и а, £ — обобщенные пульсы и координаты.

им-

Численное решение системы нелинейных уравнений (5) в условиях, соответствующих режиму параметрической неустойчивости (см. анализ, выполненный в разделах 3 и 4) представлено на рис. 2. В неустойчивой лазерной плазме возникают двухчастотные периодические колебания поперек внешнего магнитного поля, когда перекачка энергии в моду с половинной частотой сменяется возвратом энергии в моду накачки. Результаты Фурье анализа спектра представлены на рис. 3. Дополнительные сателлиты возникают вблизи основной, половинной и кратных гармоник спектра (см. также рис. 3 в работе [7]).

3. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ИНКРЕМЕНТ

Формула (6) упрощается в слабонелинейном приближении, когда может быть использовано разложение гамильтониана в ряд вблизи невозмущенного состояния £ = А = Р = 0 и а = 1 с точностью до членов третьего порядка включительно

Н (Р, Ь, А, С) =

в

м!+Ь!+

1 в

в (!!))

ЬП2 в

(7)

(6) где Ь = а - 1 и |Ь| < 1.

Опуская в (7) слагаемые порядка Ь , получаем систему линейных уравнений

РС = Ь, Ь = -р[(1 + О2)С-ОА], А' = р(р2-1)-1 Р, Р' = -р(А-в§,

(8)

з

25 20 15 10 5 0

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 о

Рис. 3. Спектр нелинейных колебаний плазмы с параметрами рис. 2.

определяющую дисперсионное уравнение необыкновенной волны A = A0 sin () в холодной плазме:

4=i-в2

2 1 Ш -1

(9)

I/ 2 2 у (со -Шин)

где ю и щн = V1 + О2 — рабочая и гибридная частоты в единицах ш р.

Удерживая в гамильтониане (7) слагаемые порядка Ь3 [см. формулы (17)], проанализируем линейный параметрический распад волны с частотой ю на две вторичные волны с частотами ш/2

А = А0б1п () + Яе [А1ехр (/шу/2)], (10)

где А0 и ш0 — амплитуда и частота волны накачки, А1 и ю — комплексные амплитуда и частота экспоненциально нарастающего малого возмущения, А < А0 (см. [7]).

Pres

Ю- W uh Wr W+

W

Рис. 4. Параметрический распад необыкновенной волны при G = 0.75.

Дисперсионное уравнение (9) содержит две ветви колебаний относительно ш2: быструю необыкновенную (БН) и медленную необыкнове

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»