ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 10, с. 935-941
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
УДК 533.9
НЕЛИНЕЙНАЯ НЕОБЫКНОВЕННАЯ ВОЛНА В ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЕ
© 2013 г. В. Б. Красовицкий, В. А. Туриков*
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия, *Российский университет дружбы народов, Москва, Россия е-таП:кга$оуи@таП.гы Поступила в редакцию 24.10.2012 г.
Окончательный вариант получен 23.01.2013 г.
Найдены условия распространения медленной необыкновенной волны в плотной магнитоактив-ной плазме. Получено решение системы релятивистских уравнений гидродинамики и уравнений Максвелла в условиях плазменного резонанса, когда фазовая скорость нелинейной волны равна скорости света. Отклонение частоты волны от резонанса сопровождается возникновением нелинейных продольно-поперечных колебаний. Показано, что в этом случае решение самосогласованной системы, полученное усреднением исходных уравнений по высокочастотному периоду волны, является солитоном огибающей. Возможность возбуждения нелинейной волны в плазме внешним электромагнитным импульсом подтверждена численным моделированием.
Б01: 10.7868/80367292113090035
1. ВВЕДЕНИЕ
В процессе взаимодействия мощного лазерного излучения с плотной плазмой происходит генерация сверхсильных квазистатических магнитных полей. Повышенный интерес к исследованию таких процессов возник в последние годы в связи с появлением лазеров ультрарелятивистской интенсивности. Обширная литература по этой проблеме приведена в обзоре [1]. Экспериментально наблюдавшиеся в области критической плотности магнитные поля достигали значений в несколько сотен МГс [2].
В работе [3] исследовано влияние сверхсильных магнитных полей генерируемых в лазерной плазме, на процесс ускорения электронов в поле плоской волны до релятивистских энергий. Показано, что в продольном магнитном поле реализуется непрерывный рост энергии электрона в условиях авторезонанса, а в поперечном набор энергии носит импульсно-периодический характер, если магнитное поле линейно поляризованной лазерной волны параллельно внешнему магнитному полю. В более общей постановке процесс нагрева плазмы малой плотности пр < Е/вк (Е и X — амплитуда электрического поля и длина волны, в — заряд электрона) в поле электромагнитного импульса фиксированной геометрии, распространяющегося в плазме со скоростью света под произвольным углом к постоянному магнитному полю, проанализирован в работе [4]. Установлено, что в этом случае оптимальные
условия для ускорения электронов плазмы реализуются при поперечном распространении волн..
Использованное в [4] приближение нарушается в плотной плазме, когда обратное воздействие возбуждаемого в плазме тока на лазерный импульс приводит к необходимости учета дисперсии. Медленная (МН) и быстрая (БН) ветви необыкновенной волны в линейной плазме [5] представлены на рис. 1. В работе [6] показано, что в области частот ю > юин (юин — верхнегибридная частота электронов), нелинейная БН-волна является солитоном огибающей. Возможность возбуждения солитонов в плазме лазерным импульсом, а также сохранение солитонов при
МН
1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 1 1
Ю£ юр юин юд
ю
Рис. 1. Медленная (МН) и быстрая (БН) ветви необыкновенной волны в плазме Чр^ (ю) =Р (ю) с, где ^рь и ш — фазовая скорость и частота волны. Границы
левой 0-ю£ и правой Юцт#-Юд областей непрозрачности плазмы (серый цвет) определены в разделе 2.
в
1
врк, 2.0 1.5 1.0 0.5 0
2.0 1.5 1.0 0.5 0
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1
(б)
1
J_I_I_I_I_12
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Рис. 2. Фазовая скорость ррН (1) и групповая скорость Р ^ (2) медленной необыкновенной волны в плазме для: а) в = 0.5; б) в = 3.
столкновениях, подтверждена численным моделированием.
Ниже обсуждается возможность возбуждения медленной нелинейной необыкновенной волны (МН) для ускорения электронов в плазме. Из представленной на рис. 1 дисперсионной кривой следует, что необходимая для этого световая волна1 существует вблизи плазменного резонанса ш = шр. Показано, что в условиях, когда дрейф электронов поперек внешнего магнитного поля под действием силы Лоренца компенсируется электрическим полем волны, самосогласованная система нелинейных уравнений является одномерной. Отклонение частоты волны от резонанса сопровождается раскачкой продольно-поперечных колебаний. В достаточно сильном магнитном поле шВ > шр уединенная волна является со-литоном огибающей с групповой скоростью, близкой к скорости света (рис. 2).
В заключительной части работы возможность возбуждения эллиптически поляризованной МН-волны в плазме внешним электромагнитным импульсом подтверждается численным моделированием. Выполненные с помощью электромагнитного релятивистского кода Ш2У [6, 8] расчеты показали, что для распространения в полуограниченной плазме одномерной световой ленгмюровской волны необходимо сильное поперечное магнитное поле, практически наблюдаемое в экспериментах [2].
Возможность использования этого диапазона частот для эффективного ускорения электронов в плазме впервые отметил Я.Б. Файнберг [7].
Дисперсионные свойства магнитоактивной плазмы в линейном приближении проанализированы в разд. 2. Нелинейное решение автомодельной системы уравнений найдено в разд. 3 и разд. 4, а солитонное решение "медленного" уравнения огибающей получено в разд. 5. Численное моделирование процесса инжекции электромагнитного импульса в плазму выполнено в разд. 6. Основные результаты изложены в заключительном разделе статьи.
2. МЕДЛЕННАЯ НЕОБЫКНОВЕННАЯ ВОЛНА
Рассмотрим эллиптически поляризованную волну, распространяющуюся в плазме поперек внешнего магнитного поля В0 = (0, В0,0), и предположим, что магнитное поле волны В направлено вдоль В0, а электрическое поле Е = (Ех ,0, Е1) ориентировано в плоскости (х, г).
Самосогласованная система уравнений включает в себя уравнение Максвелла для векторного потенциала
д2 А
1 д2Ах
2
с д/
4пе
_ 2 2.2 ^, (1) дг с д/ с
уравнение Пуассона и уравнение непрерывности
д-Е = 4пе(п - щ), | + ^ = 0,
дг д/ дг
(2)
а также систему релятивистских уравнений гидродинамики для электронов плазмы
| + V г дг) Рх = еЕх - ев г (ву + В0), | + Vг ддг)Рг = еЕг + евх (Ву + В0),
(3)
где Ех = -дАх/сд/ и Ву = дАх /дг — компоненты электромагнитного поля; р, у = р/ту = ев, и
у = 71 + р2/т2с2 — импульс, скорость и гамма-фактор, п и п0 — плотность электронов и неподвижных ионов, е < 0.
Из уравнений (2) и (3) следует интеграл импульса [6]:
Рх + еАх с
г 0 - ~Ах (0, г0)>
(4)
4псп0 с
учитывающий дрейф электронов вдоль коорди наты х в скрещенных Е1 и В0 полях (эффект Хол ла в плазме [9]).
Для малых линейных возмущений, пропорци ональных ехр / (ш/ - кг), из уравнений (1)—(3) сле дуют соотношения
в
8
. ювю
' 2 2 Ю - Ю p
V x
V x = -
2 2 Ю - Ю p вЛх
ю2 - ю^н mc
(5)
Е, =-
ю „
Юв^х
2 2 Ю -Юин
N2 = 1 - -
ю
,(1 -юр/ю2)
2 2 ' ю -юин
(6)
а фазовая скорость волны равна
Vрк = ю/к = Р с, р = р рк = N-1. Левая, правая и внутренняя границы областей непрозрачности плазмы соответственно равны:
Я = Vю2 + юв /4 + юв /2 и юин, а в плотной плазме юр » юв реализуется асимптотика юр -юь — юв/2. С ростом поперечного магнитного поля юр < юв
левая граничная частота уменьшается: ю£ = юр/юв и, соответственно, прозрачность плазмы для внешнего излучения увеличивается.
Групповая скорость волны vg = /ю/с/к определяется формулой
= Р
1+-
2 2 ю рюв
(7)
(ю2 - ю2ин)
Графики функций р (ю) и рg (ю) = vg (ю) /с представлены на рис. 2. В условиях плазменного резонанса ю = юр фазовая скорость волны равна скорости света, р = 1.
Вблизи резонанса |юр - ю2| <§ ар на дисперсионной кривой существует "плато", где фазовая скорость близка к световой и реализуются следующие асимтотики формул (6) и (7):
(р 2 -1) ©В/юЮХр = 1 - Юр/ю2,
(8)
в gP = ©В / Юин.
Соответствующая (8) область параметров плазмы (сильного магнитного поля) исследована ниже в разделах (3)—(5) в нелинейном приближении.
3. ОДНОМЕРНАЯ "СВЕТОВАЯ" ВОЛНА
Переходя в формулах (1)—(3) к автомодельной переменной у = юр ^ - г/VрЬ), получаем следующую систему нелинейных уравнений [4]:
а' = р к-р О
(9)
ще юр = 4пв 2п0 /т, юв = вВ0 /тс и юин=-\ююХр + юВ — ленгмюровская, циклотронная и верхнегибридная частоты.
Зависимость показателя преломления N медленной необыкновенной волны от частоты ю определяется дисперсионным уравнением [5]
я
. = р 1 + РХ - а2 Я ра + Я '
(1 -р-2)Л" -рЯ = 0,
где р = урН/с — фазовая скорость волны, Рх ? = рх ?/тс — безразмерный импульс электрона, а остальные переменные есть:
Л = вЛх/тс2, С, = -вЕ?./тс<р, а = у - рРг,
Рх = -Л - ОС, я = ^а2 - (1 -р2)(1 + РХ),
О = <в/<р.
Интегрируя уравнения (9), находим интеграл энергии
Н = — 2
1 + а2 + РХ
(10)
(1 -р-2 )л-2 + С2
^ И ! J а+рЯ
Система (9) упрощается для волны, распространяющейся со скоростью света р = 1,
Рх = -Л - = 0. (11)
когда действие на электроны электрического поля вЕХ скомпенсировано силой Лоренца (е/е)^Б]х и плазма находится в поперечном равновесии с волной, следующим из интеграла поперечного импульса (4) при рх = 0 и Лх (^0, ?0) = 0.
Движение электронов является одномерным и описывается следующей системой нелинейных уравнений:
а' = £, £' = (1 - а2) /2а2. (12)
Интегрируя (12), получаем уравнение
а' = ^ 2Н - (1 + а2) /а
(13)
решение которого с помощью подстановки:
а = Н + VН2 - 1ео8 ф, Н = (1 + а2т) /2ат (14)
приводится к неполному эллиптическому интегралу второго рода [10]
у = 2^ [Е(к) + Е(ф/2,к)], к = ^ат - а-1, (15)
где Е(х, к) = [ л/1 - к28т2 хс/х и Е(к) = Е(п/2, к). Минимальная и максимальная амплитуды соответственно равны атах = ат и ат1п = а-1, а нелинейный период колебаний есть
Т = 440~тЕ(к) (16)
Нелинейные колебания малой амплитуды а1 = ат -1 <§ 1 близки к гармоническим с периодом
Т = 2я[1 + (3/16)а2 ]. (17)
с
с
10
¥
12 14
18 20
Рис. 3. Профиль функции а = у - рг/тс (а) и продольного электрического поля Ег =- (тШр/е) £ (б) для одномерной волны в плазме, у = Юр (/ - г/ Vрн).
Периодические решения a(y) и представлены на рис. 3.
4. НЕЛИНЕЙНОЕ дисперсионное УРАВНЕНИЕ
Отклонение фазовой скорости волны от скорости света сопровождается возникновением поперечных электрома
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.