ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 6, с. 640-647
УДК 532+533
НЕЛИНЕЙНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ
© 2009 г. А. Д. Полянин
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва
polyanin@ipmnet.ru Поступила в редакцию 05.05.2009 г.
Рассмотрено несколько классов точных решений двумерных и трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Приведены полезные формулы, позволяющие строить точные решения одного из определяющих уравнений с помощью решений других уравнений. Исследованы вопросы о нелинейной устойчивости/неустойчивости полученных решений. Обнаружено, что характерной чертой многих решений уравнений Навье-Стокса является неустойчивость. Для доказательства неустойчивости решений в статье применен новый точный метод (не использующий никаких допущений и приближений), который может быть полезен для анализа других нелинейных физических моделей и явлений. Показано, что неустойчивость может иметь место не только при достаточно больших, но и при произвольно малых числах Рейнольдса (и может не зависеть от профиля скорости жидкости).
ВВЕДЕНИЕ
Точные решения уравнений Навье-Стокса способствуют лучшему пониманию качественных особенностей стационарных и нестационарных течений (устойчивость, неединственность, режимы с обострением и др.). Они позволяют оценить область применимости упрощенных гидродинамических моделей (ползущие течения, пограничный слой, идеальная жидкость и др.), которые часто используются для математического моделирования различных процессов химической технологии. Точные решения незаменимы для тестирования соответствующих численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. Простые решения применяются для иллюстрации теоретического материала и некоторых приложений в учебных курсах университетов и технических вузов (по теории конвективного тепло- и массопереноса, химической технологии, гидро- и аэродинамике, химической гидродинамике и др.).
Некоторые точные решения двумерных и трехмерных уравнений Навье-Стокса приведены в [1-15].
Не всякое решение стационарной или нестационарной задачи о движении вязкой жидкости может осуществиться на практике. Чтобы некоторое решение уравнений гидродинамики описывало реальный физический процесс, оно должно быть устойчивым по отношению к малым возмущениям, которые должны затухать (или не возрастать) со временем. Если, напротив, неизбежно возникающие в потоке жидкости малые возмущения будут
неограниченно возрастать при увеличении времени, то решение неустойчиво и фактически существовать не может. Неустойчивость совокупности решений способствует переходу от ламинарного к турбулентному режиму течения.
Описание различных методов теории гидродинамической устойчивости и результатов их применения можно найти, например, в [2, 16, 17]. Обычно исследуется линейная устойчивость стационарных решений по отношению к бесконечно малым возмущениям [2] (при этом остается открытым вопрос об области применимости полученных результатов). При анализе нелинейной устойчивости решений часто используются различные допущения и приближения [16, 17].
В данной статье исследовано несколько классов точных решений двумерных и трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Выведены полезные формулы, позволяющие строить новые точные решения, исходя из более простых точных решений. Эти формулы использованы для анализа нелинейной устойчивости/неустойчивости полученных решений. Обнаружено, что характерной чертой многих решений уравнений Навье-Стокса является неустойчивость (указанные результаты являются точными и не используют никаких допущений и приближений). Показано, что в некоторых случаях неустойчивость может иметь место не только при достаточно больших, но и при произвольно малых числах Рейнольдса (и может не зависеть от профиля скорости жидкости).
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Трехмерные нестационарные движения вязкой несжимаемой жидкости описываются уравнениями Навье-Стокса и неразрывности:
дУ- . х, . х, . х, 3 У1 1 д Р
"ЭТ
+ У1 ~Эх У + V3
р Эх
+ v
гд2У 1 + 3^1 + d2 V1Л
д х2 д у дУ 2
£ + -
Э_У2 дх
2
+ У
д z д У 2
2
(1)
2^-— + У3^Г~
2 ду 3 дz
= -1 дР + Рд у
+v
д2У2 д2 У2 д2 У2
д х д у
д z2
(2)
д Уз дУз т ЭУз т д Уз 1 д Р
—3 + У1 —3 + У2 —3 + У3 —3 =----+
дt 1 дх ду дz р дz
+v
гд2У3 д2 У3 д2 У л
v д х д у д z" _
дУ1 д У2 д У3 л —1 + —2 + —3 = 0. дх ду дz
(3)
(4)
У! = U - х^, У 2 = F, У3 = 0,
д у
Р а 2 1 ^2 д F д г _ ,
р = Ро~ 2 х- ех - 2 F + ^ - дг Jрау,
(5)
Замечание. Уравнения (6)-(7) встречаются также в теории пограничного слоя [11].
Пусть Р = Р(у, г) - некоторое решение уравнения (6). Тогда функция
,д F
д2 F
U = A t (t) + А (t) д- + 5
ду ду2
(8)
где 5 - произвольная постоянная, а функция А = А(г) удовлетворяет линейному неоднородному обыкновенному дифференциальному уравнению
А"„ = аА + е,
(9)
является решением уравнения (7).
Анализ устойчивости/неустойчивости решений.
Для анализа устойчивости (неустойчивости) решений используем формулу (8) и уравнение (9), которые связывают решения уравнений (6)-(7).
В случае постоянных функциональных параметров а = const и е = const общее решение уравнения (9) описывается формулами
Здесь х, у, z - декартовы координаты, г - время, У1, У2, У3 - компоненты скорости жидкости, Р - давление, р и V — плотность и кинематическая вязкость жидкости. При записи уравнений (1)-(4) считалось, что массовые силы потенциальны и включены в давление.
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ
Структура точных решений. Будем рассматривать плоские течения вязкой жидкости следующего вида:
А (t) =
Qexp(t-Уа) + C2exp(-t-Уа) - е/а при а > 0,
Cjsin (tVfo|) + C2cos (tVfo|) - е/а при а < 0, 12
2 е t + C1 t + C2 при а = 0,
(10)
где р0 = р0(г), а = а(г), £ = £(г) - произвольные функции, а и = и(у, г), Р = Р(у, г) - искомые функции, которые удовлетворяют уравнениям
Э2Р гэ2р ГЭРУ Э3Р
=""-"""- + Р —Иг- = V —-- а, (6)
дуд г ду2 \Эу) д у3
ди сд и ЭР Э2 и
-=- + Р ■-— - и = V —2 + £. (7)
д г ду ду ду
Некоторые точные решения системы (6)-(7) приведены в [7, 11].
где С1, С2 - произвольные постоянные. Видно, что при а > 0 (С1 Ф 0) все решения уравнения (9) и соответствующие решения (8) уравнения (7) неограниченно растут при г —га.
Пусть Р = Р (у, г), и = и (у, г) — некоторое ограниченное решение системы (6)-(7), причем Ру Ф 0. Поскольку уравнение (7) линейно относительно
функции и, то к решению и неоднородного уравнения можно добавить решение и0 = и0(у, г) однородного уравнения при £ = 0 (для одного и того же
решения Р уравнения (6)), т.е. функции Р = Р (у, г),
и = и (у, г) + и0(у, г) также будут давать решение системы (6)-(7). В качестве решения однородного уравнения (7) возьмем функцию и0(у, г), которая определяется с помощью выражения (8), где А = А(г) описывается формулами (10) при £ = 0. Величину |и0|г=0 можно сделать сколь угодно малой за счет выбора постоянных С1 и С2. Однако при а > 0 имеем |и0| —► при г —► га и произвольно малые начальные возмущения решений системы (6)-(7) с увеличением времени неограниченно возрастают.
Это означает, что при а > 0 решения системы (6)-(7) в целом являются неустойчивыми для любого стационарного или нестационарного решения
уравнения (6) (Ру Ф 0). Поскольку в уравнение (9) не
входит вязкость жидкости V, то указанные результаты не зависят от числа Рейнольдса (т.е. свойство неустойчивости решений может иметь место не только при достаточно больших, но и при произвольно малых числах Рейнольдса).
Неравенство а < 0 определяет область условной устойчивости рассматриваемых решений.
ОСЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Структура точных решений. Система уравнений (1)-(4) допускает широкий класс точных решений с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных следующего вида [18]:
V = /п(г, т + gn(z, Оу, п = 1, 2; У3 = Е^, 0. (11)
В результате подстановки выражений (11) в уравнения (1) возникает переопределенная система уравнений для /п, gn, Е. Анализ этой системы в итоге дает следующее представление для компонент скорости и давления:
Основная идея последующего анализа состоит в том, чтобы из системы (13) выделить одно изолированное уравнение для продольной компоненты скорости У3 = Е, которое дополняется вторым уравнением для определения новой вспомогательной функции О.
Сведение системы (13) к двум уравнениям.
В уравнениях (13) положим [15]
1 . (дЕ Л 2„ и = 2 ф1 + + а О,
1 . ГЭ Е Л ,2,, ^ = 2 ф1 д-+ - ь о ,
w
1 fdF Л
= 2 cos ф1 ^ + q) + abG,
а = 1 q2-^ Р (1-cos ф) + 1 q'cos ф, в = 1 q2-1 Р (1 + cos ф) -1 q'cos ф,
1
2' 1 2'
1
2' 1 2'
(14)
i 1 dF Л П dF ,
V1 = хI ---3": + wj + уv, V2 = xu -yl 2д: + w|,
2 Э z
V3 = F,
= p0 — 1- а X2-;- в у2- уху - (12)
1 ^2 д Е гдЕ, -- Е + V т— - I dz,
2 дz Л д t
где р0, а, в, у - произвольные функции времени t, задающие распределение давления, Е, и, V, м> - неизвестные функции, зависящие от координаты z и времени t.
Определяющая система уравнений. Выражения для составляющих скорости и давления (12) редуцируют уравнения гидродинамики (1)-(4) к нелинейной системе, состоящей из четырех уравнений [10, 15]:
д 2 f d2F _ 11 iF 2 = д td z + д z2 21 д z j =
д3 F 2
= v—- + 2(uv + w ) - а - В,
д z
ди ^дu дF т— + F тг--ит— = v
дt
дz д z
д2 и д z
+ Y.
(13)
д2v
д v „д v дF „ v л- + F --т- - vT = v —7 + Y, д t дz д z дг
дw „дw дF д2w а - В — + Fт:— Wt- = v—т + ——::.
дt
дz д z
дz/
Y = 2 Р sin ф + 2 qfsiw,
где p = p(t), q = q(t) - произвольные функции, а, b - произвольные постоянные, G = G(z, t) - искомая функция, ф - константа, определяемая из трансцендентного уравнения
(a2- b2) sin ф + 2 ab cos ф = 0.
(15)
В результате система (13) сводится к двум уравнениям:
д2F д2F +F
дt д z д z2 ^z
д F
=v
д3 F »_
д zz
д F + q ^ + p'
дG гд G „д F д2G + F - G = v
дt
дz д z
д z¿
(16)
(17)
Нелинейное уравнение (16) может рассматриваться независимо, а уравнение (17) линейно относительно искомой функции О и имеет тривиальное частное решение О = 0.
Отметим, что уравнение (16) встречалось в работах [11, 13-15] (в том числе и в задачах пограничного слоя
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.