РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2010, том 55, № 8, с. 968-981
РАДИОФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ И ПЛАЗМЕ
УДК 533.9
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ИОННО-ЗВУКОВЫХ ВОЛН
В ТЕПЛОЙ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЕ © 2010 г. А. Е. Дубинов, А. А. Дубинова, М. А. Сазонкин
Поступила в редакцию 20.04.2009 г.
Рассмотрена бесстолкновительная незамагниченная вырожденная плазма с компонентами, находящимися при ненулевых температурах. Получены точные барометрические формулы для электронного и ионного вырожденных газов, найдены точные выражения для электронного и ионного радиусов Дебая. Выведено и проанализировано дисперсионное уравнение для изотермических ион-но-звуковых волн и найдено точное выражение для линейной скорости ионного звука. На основе анализа дисперсионного уравнения определены области параметров, в которых можно искать решения в виде солитонов. Разработана нелинейная теория изотермических ионно-звуковых волн, в рамках которой получено и проанализировано точное решение исходных уравнений. Анализ выполнен методом псевдопотенциала Бернулли. Определены диапазоны фазовых скоростей периодических ионно-звуковых волн и скоростей солитонов. Показано, что эти диапазоны не пересекаются и скорость солитона не может быть меньше линейной скорости ионного звука. Построены профили физических величин в периодической волне и в солитоне.
ВВЕДЕНИЕ
Вырожденная плазма, т.е. плазма, в которой все или только некоторые группы частиц подчиняются статистике Ферми—Дирака, давно привлекает внимание исследователей. Данный интерес обусловлен тем, что она встречается как в космических условиях (плазма компактных объектов, таких как нейтронные звезды, белые карлики и др. [1— 3]), так и в земных условиях (плазма полупроводников и металлов [4]).
Ясно, что процессы, происходящие в вырожденной плазме, будут описываться другими законами по сравнению с процессами в обычной классической (максвелловской) плазме. Это в полной мере относится и к плазменным волнам.
Линейная (упрощенная) теория волн в вырожденной плазме применительно к твердотельной плазме полупроводников и металлов и к плазме компактных звезд создана достаточно давно и описана в учебниках и монографиях [5—9]. Однако линейная теория рассматривает только стационарные по амплитуде синусоидальные волны или гармонические волны с экспоненциально изменяющейся во времени или в пространстве амплитудой.
Однако волны в плазме бывают, как известно, не только гармоническими. Например, некото -рые типы волн могут существовать в пространственно-локализованной форме (в виде солито-нов, ударных волн или вихрей). Для описания таких волн в вырожденной плазме необходимо развить нелинейные теории, в рамках которых можно найти максимальные амплитуду и скорость солитонов или ударных волн.
В последнее время в мировой науке наблюдаются прогресс в построении нелинейных моделей волн в вырожденной плазме и заметный рост публикаций на эту тему. Многие из новых моделей основаны на газодинамическом двухжидкостном описании, в котором каждая компонента плазмы или только одна из ее компонент представляла собой вырожденный ферми-газ [10, 11]. Но в большинстве известных работ считалось, что каждая ферми-компонента плазмы полностью вырождена и является абсолютно холодной, т.е. находится при нулевой температуре. Иными словами, в них используется так называемое "холодное" приближение Томаса—Ферми. Это приближение сильно упрощает математические выкладки, но не всегда позволяет адекватно описать волновые процессы в реальной квантовой плазме (например, не может описать явления нагрева и остывания плазмы в волне и даже газодинамику изотермических процессов). Известно большое число работ, в которых осуществлен такой "холодный подход", однако отметим лишь некоторые (см. например, [12—14]).
Математические трудности, возникающие при разработке нелинейной теории волн в вырожденной плазме ненулевой температуры, были преодолены при использовании помощью нового метода псевдопотенциала Бернулли [15—17] и точного вычисления интегралов Ферми—Дирака [18], в результате чего была создана нелинейная теория изотермических электронных плазменных волн в вырожденной плазме при произвольной ненулевой температуре [16]. В работах [19— 21] также были применены точные значения интегралов Ферми—Дирака для описания других
стационарных волн и структур в теплой вырожденной плазме.
Цель данной работы — развитие нелинейной теории изотермических ионно-звуковых волн в двухкомпонентной, частично вырожденной плазме, в которой температуры электронного и ионного газов ненулевые и отличаются друг от друга. Фактически данная работа есть продолжение исследований [16], здесь используются их основные положения: двухжидкостная газодинамика, точная безынтегральная форма уравнений состояния теплых ферми-газов и метод псевдопотенциала Бернулли.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Будем рассматривать однородную незамагни-ченную нерелятивистскую бесстолкновительную плазму, состоящую из вырожденных электронного и ионного газов. Обозначим те и е (е < 0) массу и заряд электронов, а т1 = т и -2е массу и заряд ионов. Для астрофизической плазмы роль положительных ионов чаще всего играют протоны, а в плазме твердого тела — дырки. Для протонов и дырок 2 = 1, тем не менее здесь рассматривается задача в более общей постановке с произвольным числом Тогда в силу квазинейтральности плазмы равновесные концентрации электронного и ионного газов (п0е и иы) удовлетворяют уравнению 2епы - еп0е = 0.
Запишем одномерные уравнения двухжид-костной газодинамики:
уравнение непрерывности
i,e + д (v i,eni,e) _
0,
dt dx уравнение движения ионов
Ze дф__1_ dpi
m dx ntm dx уравнение движения электронов
д v i + v д v i dt ' dx
dve + v dVe = -e- dPe dt e dx me dx neme dx уравнение Пуассона
= -4п (ene - Zen)
dx
(1)
(2)
(3)
(4)
волн X Ве1 каждого сорта частиц: относительно характерного размера рассматриваемой системы ^йве,1 ^ ^ и относительно дебаевских радиусов X¿Ве1 < XВе1 (а здесь и длины волны ионного звука).
Систему необходимо дополнить уравнениями состояния теплых ферми-газов ионов и электронов, которые имеют вид неявных, параметрически заданных функций:
(.. T {^ejkTerf12 С
yfsds
\3/2
exPS ^e,'' + 1
0 exp--+ 1
kTe '
(5)
_ (mekTei) Ti
_ " 21,2A3 L'V2
exp
kTe
e,' J
p .7-.)= 2 (2me'ikTe'lf2 I
Fe,'\ He," ±e,') , 2*3 I
3 4me ¡n n J
sVsd
s
0 exp
= (me,kTe,')5/2
= 01/2 312 Гз°5/2
2' n' mein
с
exp
s - Me.i
kTe,
\
Me,,
+ 1
(6)
V
kTe.iJ
где р, ■ — химические потенциалы электронного и ионного газов, — их температуры, Ыу (...) — полилогарифм индекса V [22, 23].
В пределе ^ 0 уравнения состояния теплых ферми-газов (5), (6) сводятся к явным уравнениям состояния холодных ферми-газов:
Pei =
м!.
5me,
п
Ф = 2 % = 5
5/3
Vn0e, i У
(7)
где — скорости электронов и ионов, пе1 — их концентрации, ре1 — газодинамические давления электронного и ионного газов, ф — электростатический потенциал. Укажем, что для правомочности применения уравнений (2) и (3) для вырожденной плазмы необходимо выполнить одновременно два условия, налагаемые на де-бройлевские длины
Будем считать, что в волне Tt = T0i = const и Te = T0e = const, т.е. рассматриваемый нами волновой процесс сжатия-разрежения будет изотермическим. Для обоснования возможности изотермического процесса в волне еще раз подчеркнем [12], что вырожденная плазма может быть одновременно бесстолкновительной и идеальной, и в такой плазме термодинамическое равновесие может устанавливаться за счет некоррелированного кулоновского межчастичного взаимодействия [17, 24].
2. БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА БЕЗЫНЕРЦИОННОГО ЭЛЕКТРОННОГО ФЕРМИ-ГАЗА. ЭЛЕКТРОННЫЙ И ИОННЫЙ РАДИУСЫ ДЕБАЯ
При построении теорий ионно-звуковых волн в плазме обычно полагают, что электронный газ по сравнению с ионным газом безынерционен, т.е. me ^ 0. Это позволяет без особых погрешностей сильно упростить выкладки. Например, если
предположить, что электроны подчиняются уравнению состояния идеального классического газа и волновой процесс является изотермическим, то интегралом уравнений движения и непрерывности электронов будет простая связь между концентрацией электронов и электростатическим потенциалом в виде формулы экспоненциального распределения Больцмана. Эта формула по внешнему виду и смыслу аналогична барометрической формуле для классического идеального газа в однородном силовом поле. Для краткости также будем называть интеграл движения безынерционного электронного газа, подчиняющегося любому другому уравнению состояния, барометрической формулой.
Известны следующие степенные барометрические формулы, применяемые в моделях ионно-звуковых волн: классического идеального газа в адиабатическом процессе сжатия-разрежения [15, 25], вырожденного холодного ферми-газа в так называемом приближении Томаса—Ферми [12, 26]. Обзор этих и других моделей представлен в [27].
Для рассматриваемой задачи потребуется барометрическая изотермическая формула вырожденного электронного ферми-газа при ненулевой температуре. В литературе известна лишь приближенная барометрическая формула теплого ферми-газа, представленная как упражнение 10 к гл. 2 в [28].
Следуя [27], здесь выведем точную барометрическую формулу для изотермического теплого ферми-газа непосредственно из уравнений состояния (5), (6).
Возьмем уравнение (3). Принимая те ^ 0, получим
1 д£е + е & = 0. пе дх дх
(8)
Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:
дРе(Не,Те) _ ФедН + ЁЬ,дТ
дх
дне дх дТе дх
(9)
Частные производные дре/дце и дре/дТе можно найти из (6) и подставить их в (9). В результате получим
1 дР = д(кТе)
пе дх дх кТе дх
(10)
Температура постоянна в изотермических процессах, следовательно, второе слагаемое в правой части (10) равно нулю. Подставляя (10) в (8), получаем простое дифференциальное уравнение, в котором потенциальная энергия электрического
поля еф и химический потенциал ц е есть функции только одной переменной — координаты х :
^ + е =
дх дх
0.
(11)
Очевидно, что решение (11) при начальном условии ц е = ц 0е и ф = 0 может быть представлено как
Ие = И0е - еф.
(12
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.