научная статья по теме НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ИОННО-ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ТЕПЛОЙ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЕ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ИОННО-ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ТЕПЛОЙ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЕ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2010, том 55, № 8, с. 968-981

РАДИОФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ И ПЛАЗМЕ

УДК 533.9

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ИОННО-ЗВУКОВЫХ ВОЛН

В ТЕПЛОЙ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЕ © 2010 г. А. Е. Дубинов, А. А. Дубинова, М. А. Сазонкин

Поступила в редакцию 20.04.2009 г.

Рассмотрена бесстолкновительная незамагниченная вырожденная плазма с компонентами, находящимися при ненулевых температурах. Получены точные барометрические формулы для электронного и ионного вырожденных газов, найдены точные выражения для электронного и ионного радиусов Дебая. Выведено и проанализировано дисперсионное уравнение для изотермических ион-но-звуковых волн и найдено точное выражение для линейной скорости ионного звука. На основе анализа дисперсионного уравнения определены области параметров, в которых можно искать решения в виде солитонов. Разработана нелинейная теория изотермических ионно-звуковых волн, в рамках которой получено и проанализировано точное решение исходных уравнений. Анализ выполнен методом псевдопотенциала Бернулли. Определены диапазоны фазовых скоростей периодических ионно-звуковых волн и скоростей солитонов. Показано, что эти диапазоны не пересекаются и скорость солитона не может быть меньше линейной скорости ионного звука. Построены профили физических величин в периодической волне и в солитоне.

ВВЕДЕНИЕ

Вырожденная плазма, т.е. плазма, в которой все или только некоторые группы частиц подчиняются статистике Ферми—Дирака, давно привлекает внимание исследователей. Данный интерес обусловлен тем, что она встречается как в космических условиях (плазма компактных объектов, таких как нейтронные звезды, белые карлики и др. [1— 3]), так и в земных условиях (плазма полупроводников и металлов [4]).

Ясно, что процессы, происходящие в вырожденной плазме, будут описываться другими законами по сравнению с процессами в обычной классической (максвелловской) плазме. Это в полной мере относится и к плазменным волнам.

Линейная (упрощенная) теория волн в вырожденной плазме применительно к твердотельной плазме полупроводников и металлов и к плазме компактных звезд создана достаточно давно и описана в учебниках и монографиях [5—9]. Однако линейная теория рассматривает только стационарные по амплитуде синусоидальные волны или гармонические волны с экспоненциально изменяющейся во времени или в пространстве амплитудой.

Однако волны в плазме бывают, как известно, не только гармоническими. Например, некото -рые типы волн могут существовать в пространственно-локализованной форме (в виде солито-нов, ударных волн или вихрей). Для описания таких волн в вырожденной плазме необходимо развить нелинейные теории, в рамках которых можно найти максимальные амплитуду и скорость солитонов или ударных волн.

В последнее время в мировой науке наблюдаются прогресс в построении нелинейных моделей волн в вырожденной плазме и заметный рост публикаций на эту тему. Многие из новых моделей основаны на газодинамическом двухжидкостном описании, в котором каждая компонента плазмы или только одна из ее компонент представляла собой вырожденный ферми-газ [10, 11]. Но в большинстве известных работ считалось, что каждая ферми-компонента плазмы полностью вырождена и является абсолютно холодной, т.е. находится при нулевой температуре. Иными словами, в них используется так называемое "холодное" приближение Томаса—Ферми. Это приближение сильно упрощает математические выкладки, но не всегда позволяет адекватно описать волновые процессы в реальной квантовой плазме (например, не может описать явления нагрева и остывания плазмы в волне и даже газодинамику изотермических процессов). Известно большое число работ, в которых осуществлен такой "холодный подход", однако отметим лишь некоторые (см. например, [12—14]).

Математические трудности, возникающие при разработке нелинейной теории волн в вырожденной плазме ненулевой температуры, были преодолены при использовании помощью нового метода псевдопотенциала Бернулли [15—17] и точного вычисления интегралов Ферми—Дирака [18], в результате чего была создана нелинейная теория изотермических электронных плазменных волн в вырожденной плазме при произвольной ненулевой температуре [16]. В работах [19— 21] также были применены точные значения интегралов Ферми—Дирака для описания других

стационарных волн и структур в теплой вырожденной плазме.

Цель данной работы — развитие нелинейной теории изотермических ионно-звуковых волн в двухкомпонентной, частично вырожденной плазме, в которой температуры электронного и ионного газов ненулевые и отличаются друг от друга. Фактически данная работа есть продолжение исследований [16], здесь используются их основные положения: двухжидкостная газодинамика, точная безынтегральная форма уравнений состояния теплых ферми-газов и метод псевдопотенциала Бернулли.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Будем рассматривать однородную незамагни-ченную нерелятивистскую бесстолкновительную плазму, состоящую из вырожденных электронного и ионного газов. Обозначим те и е (е < 0) массу и заряд электронов, а т1 = т и -2е массу и заряд ионов. Для астрофизической плазмы роль положительных ионов чаще всего играют протоны, а в плазме твердого тела — дырки. Для протонов и дырок 2 = 1, тем не менее здесь рассматривается задача в более общей постановке с произвольным числом Тогда в силу квазинейтральности плазмы равновесные концентрации электронного и ионного газов (п0е и иы) удовлетворяют уравнению 2епы - еп0е = 0.

Запишем одномерные уравнения двухжид-костной газодинамики:

уравнение непрерывности

i,e + д (v i,eni,e) _

0,

dt dx уравнение движения ионов

Ze дф__1_ dpi

m dx ntm dx уравнение движения электронов

д v i + v д v i dt ' dx

dve + v dVe = -e- dPe dt e dx me dx neme dx уравнение Пуассона

= -4п (ene - Zen)

dx

(1)

(2)

(3)

(4)

волн X Ве1 каждого сорта частиц: относительно характерного размера рассматриваемой системы ^йве,1 ^ ^ и относительно дебаевских радиусов X¿Ве1 < XВе1 (а здесь и длины волны ионного звука).

Систему необходимо дополнить уравнениями состояния теплых ферми-газов ионов и электронов, которые имеют вид неявных, параметрически заданных функций:

(.. T {^ejkTerf12 С

yfsds

\3/2

exPS ^e,'' + 1

0 exp--+ 1

kTe '

(5)

_ (mekTei) Ti

_ " 21,2A3 L'V2

exp

kTe

e,' J

p .7-.)= 2 (2me'ikTe'lf2 I

Fe,'\ He," ±e,') , 2*3 I

3 4me ¡n n J

sVsd

s

0 exp

= (me,kTe,')5/2

= 01/2 312 Гз°5/2

2' n' mein

с

exp

s - Me.i

kTe,

\

Me,,

+ 1

(6)

V

kTe.iJ

где р, ■ — химические потенциалы электронного и ионного газов, — их температуры, Ыу (...) — полилогарифм индекса V [22, 23].

В пределе ^ 0 уравнения состояния теплых ферми-газов (5), (6) сводятся к явным уравнениям состояния холодных ферми-газов:

Pei =

м!.

5me,

п

Ф = 2 % = 5

5/3

Vn0e, i У

(7)

где — скорости электронов и ионов, пе1 — их концентрации, ре1 — газодинамические давления электронного и ионного газов, ф — электростатический потенциал. Укажем, что для правомочности применения уравнений (2) и (3) для вырожденной плазмы необходимо выполнить одновременно два условия, налагаемые на де-бройлевские длины

Будем считать, что в волне Tt = T0i = const и Te = T0e = const, т.е. рассматриваемый нами волновой процесс сжатия-разрежения будет изотермическим. Для обоснования возможности изотермического процесса в волне еще раз подчеркнем [12], что вырожденная плазма может быть одновременно бесстолкновительной и идеальной, и в такой плазме термодинамическое равновесие может устанавливаться за счет некоррелированного кулоновского межчастичного взаимодействия [17, 24].

2. БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА БЕЗЫНЕРЦИОННОГО ЭЛЕКТРОННОГО ФЕРМИ-ГАЗА. ЭЛЕКТРОННЫЙ И ИОННЫЙ РАДИУСЫ ДЕБАЯ

При построении теорий ионно-звуковых волн в плазме обычно полагают, что электронный газ по сравнению с ионным газом безынерционен, т.е. me ^ 0. Это позволяет без особых погрешностей сильно упростить выкладки. Например, если

предположить, что электроны подчиняются уравнению состояния идеального классического газа и волновой процесс является изотермическим, то интегралом уравнений движения и непрерывности электронов будет простая связь между концентрацией электронов и электростатическим потенциалом в виде формулы экспоненциального распределения Больцмана. Эта формула по внешнему виду и смыслу аналогична барометрической формуле для классического идеального газа в однородном силовом поле. Для краткости также будем называть интеграл движения безынерционного электронного газа, подчиняющегося любому другому уравнению состояния, барометрической формулой.

Известны следующие степенные барометрические формулы, применяемые в моделях ионно-звуковых волн: классического идеального газа в адиабатическом процессе сжатия-разрежения [15, 25], вырожденного холодного ферми-газа в так называемом приближении Томаса—Ферми [12, 26]. Обзор этих и других моделей представлен в [27].

Для рассматриваемой задачи потребуется барометрическая изотермическая формула вырожденного электронного ферми-газа при ненулевой температуре. В литературе известна лишь приближенная барометрическая формула теплого ферми-газа, представленная как упражнение 10 к гл. 2 в [28].

Следуя [27], здесь выведем точную барометрическую формулу для изотермического теплого ферми-газа непосредственно из уравнений состояния (5), (6).

Возьмем уравнение (3). Принимая те ^ 0, получим

1 д£е + е & = 0. пе дх дх

(8)

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

дРе(Не,Те) _ ФедН + ЁЬ,дТ

дх

дне дх дТе дх

(9)

Частные производные дре/дце и дре/дТе можно найти из (6) и подставить их в (9). В результате получим

1 дР = д(кТе)

пе дх дх кТе дх

(10)

Температура постоянна в изотермических процессах, следовательно, второе слагаемое в правой части (10) равно нулю. Подставляя (10) в (8), получаем простое дифференциальное уравнение, в котором потенциальная энергия электрического

поля еф и химический потенциал ц е есть функции только одной переменной — координаты х :

^ + е =

дх дх

0.

(11)

Очевидно, что решение (11) при начальном условии ц е = ц 0е и ф = 0 может быть представлено как

Ие = И0е - еф.

(12

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Электроника. Радиотехника»