ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 4, 2004
МЕХАНИКА МАШИН
УДК 539.3:534
© 2004 г. Кудрявцев Б.Ю.
НЕЛИНЕЙНЫЕ АЭРОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНЫ
Исследована устойчивость упругой пластины, составляющей часть поверхности тонкого клина и находящейся в сверхзвуковом потоке газа. Найдена критическая скорость потока. Проведено сравнение результатов, полученных при решении задачи в линейной и нелинейной постановке. Обнаружены новые механические эффекты, которые можно использовать при проектировании летательных аппаратов и других конструкций, содержащих тонкостенные элементы.
В исследованиях по панельному флаттеру, как правило, использовали линейную "поршневую" теорию. Прогибы тонкостенных элементов конструкций предполагали малыми и они удовлетворяли линейным дифференциальным уравнениям. Недостаточность такого подхода с точки зрения газодинамики обоснована в [1]. Предположение о малых прогибах, очевидно, тоже вносит существенные ограничения и может заметно упрощать и искажать результаты.
Пусть имеется тонкий клиновидный профиль, обтекаемый без угла атаки газом с большой сверхзвуковой скоростью. Вектор скорости потока направлен по оси тела (перпендикулярно кромке). Начало ортогональной системы координат совместим с кромкой профиля, ось ОХ направим по вектору скорости, ОУ - по кромке, 02 - так, чтобы система координат была правой. В недеформированном состоянии уравнение образующей будет г = кх + ф(х), \ф(х)/кх\ < 1. Рассмотрим часть поверхности профиля, занимающую в плоском ОХУ область [О = (х, у), х0 < х < х0 + 11, 0 < у < 12} и свободно опертую по кромкам. Для описания колебаний оболочки будем использовать уравнения Кармана [1]
2 т. _, а , Э2Ф , д2Ф д2w
»А? =1 ("'•Ф)+а+ку кх -д7"р д?'
. , д2М , д2?
ЕА Ф = -0,5Ь(?) - ку —^ - кх —2 Е д х д у
(1)
д2
с граничными условиями ?х = х = ?
д х
=
2
= д -М
д х 2
= а Му = о =
2
_ д ?
ду2
= ?
у = 12
2
_ д ?
у = 0
ду2
Э2 ~\2 ~\2 ~\2 -ч2 ~\2
«1 д «2 д «2д «1 д «1 д «2 = 0, где Ь(м1, «2) = —-—- + —-—-— 2:
у = 12
д х 2 д у 2
д х2 д у 2
дхдудхду
д w ~ д w 2 д w —- + 2и5--г + и ——
уд I2 ддХ д
. 2кр . Л 20 , . ..(д — д —)
9 = Ар = К2М1ёр - 1 - А^д- + ид-х: J
2
А1С0М2 дф + А2М2хс--! , А1 = (1 + 2г - га), А2 = кр 18р( 1 -
10 дх 2 д х2 (к +1) С0 2 (
дх
12 га к ( к+1)^'
к-1 ,
г = -- , а = 1 +
к + 1
(к -1) М V р:
где Ф - функция напряжений; — - прогибы оболочки; О, Н - ее цилиндрическая жесткость и толщина; кх, ку - кривизны; Е, р, V - модуль Юнга, плотность и коэффициент Пуассона материала; р, с0 - давление и скорость звука в невозмущенном потоке; к -показатель политропы; и - скорость потока газа; М = и/с0 - число Маха; а = агс18 (к) -угол полураствора клина; наклон ударной волны Р определяется из уравнения 18 Р = = 18 а + аг 18 Р .
Выделим в (1) основное состояние —0(х, у), Ф0(х, у) из системы
2 д2Ф0
ОА2 - = Нкх —0 + -
+ А2М х
ду2
(д2 ф - д^а д х 2 д х 2
+1 (- "Фа) + ккр (М V в-1) + А, со М (¡ф
А 2Ф0 + Екх
2
д -о
' + Ек
2
д
У дх2
= 0.
(2)
Положим — = —0 + -1, Ф = Ф0 + Ф1 (где Ф1 - малые возмущения основного состояния). Подставим эти выражения в (1). Отбросив слагаемые, оказывающие второстепенное влияние на результат [1] (в частности, содержащие Ф^, получим
2 (д— д—Л 2 д2—1 д2—
ОА2— = 1 (Ф0) - А1М(-д^ + и-цхт) - А2М х —1 - рН 1
д Г
2
(3)
Будем искать прогибы —0 в виде —0(х, у, г) = сехр^^^п/у, (х - х0)8т(пуД2), ю, с е С. Согласно [2]
2
сЕ Фп = —
0 32
2 4 4
¡Л2 2п(х - х0) (¡2\ 2пу с11¡2 - ео8--- + - 008-.--- +
¡1
12 2^2 ,2Ч
П (11 + 12 )
-х + ку
2 + 2 \12 ¡1/
.п. ч • пу 81П-(х - х0 ) 81П —--
22
+ 0,5(рху + рух ), где рх, ру - срединные усилия на кромках.
Рассмотрим сначала прямоугольную пластину, составляющую часть поверхности тонкого клина (кх = 0, ку = 0, ф = 0). Тогда при условии несближения кромок рх =
= Ес 2(п2/ 8 ^ + /22112 )/(1 - V2)], Ру = Ес 2(п2/ 8 ¡1 ¡21-2 + 1)/(1 - V2)].
Подставим выражения Ф0 и —0 в (2) и применим метод Бубнова-Галеркина. Получим уравнение с одним неизвестным с
4Осп4
1 Л. 1
¡^¡У + Л
>1 111 2 ¡2^
4 3 4 4
НЕп с (¡1 + ¡2) 2 +-Г4-2- + 4 Н п2с
6^2
/ \ -р---- х + -р---- у
2 + 2 1 2
^ М2182 в -1-2 с кр 18 в М2 ( +Г)> 1 + 2 х0) % = 0.
к+
+
х
0
+
+
2
11 = 0,25, 12 = 0,3 11 = 12 = 0,25 11 = 0,3, 12 = 0,25 11 = 0,35, 12 = 0,25
10° 16,9 14,4 12,8 11,6
I 15° 15,3 11,8 9,7 8,5
20° 15,3 10,7 8,3 6,9
10° 8,5 8,8 7,2
II 15° 6,5 6,8 5,3
20° 5,4 5,5 4,3
Динамический прогиб представим в виде w1 = ехр(ю?)у(х, у). Подставив это выражение в (3), получим задачу на отыскание собственных функций и собственных значений X дифференциального оператора
DД2у - L(Y, Ф0) + c0А!М2^ + A2M2хд-У = Ху, X = -рйю2 - A1 Mю.
В комплексной плоскости область устойчивых колебаний будет лежать внутри так называемой параболы устойчивости [3]
(А1 М)2ЯеХ = й р( 1тХ)2. (4)
Следовательно задача состоит в том, чтобы найти минимум скорости потока, при котором одно из собственных значений впервые попадает на параболу устойчивости. Это и будет критическая скорость флаттера. Возьмем функцию у в виде у(х, у) = = [с1 эт^/^Хх - х0) + с2^1п(2п/11)(х - х0)]81п(пу/12)с1, с2 е С. Проведя процедуру Бубно-ва-Галеркина, будем иметь систему уравнений с неизвестными с1, с2. Приравняв ее определитель к нулю, получаем значения X, а с учетом (4) находим критическую скорость потока.
В качестве примера рассмотрим стальную пластину при следующих значениях параметров: й = 0,002 м, Е = 2 ■ 1011 Па, р = 8 ■ 103 кг/м3, р = 105 Па, к = 1,4, V = 0,3, с0 = = 330 м/с, х0 = 1 м.
В таблице (ч. I) представлены значения критической скорости М для различных соотношений длин сторон пластины (до 1:1,5 [2]) и углов а. Для сравнения в таблице (ч. II) приведены критические значения М, полученные при решении задачи в линейной постановке [4, 5]. Видно, что в первом случае значения критической скорости получаются большими. Это можно объяснить наличием усилий в срединной поверхности, возникающих при статических прогибах и способствующих стабилизации. Рост угла а, с одной стороны, должен снижать динамическую устойчивость, но с другой стороны увеличиваются статические прогибы и цепные усилия. Отсюда не монотонная (как при линейной постановке задачи) зависимость критической скорости М от а. Если 11 : 12 < 1, то наблюдается минимум критической скорости при некотором а0 между 15° и 20°. С ростом отношения длины пластины к ширине значение а0 увеличивается и выходит за рамки применимости теории. Если при постоянных а и 11 увеличивать ширину пластины 12(12 > 11), то в первом случае критическая скорость возрастает (в отличие от второго), что объясняется теми же причинами. Таким образом, обнаружен неожиданный механический эффект, когда при некоторых условиях увеличение размеров пластины и угла а повышает динамическую устойчивость.
Можно взять предельный случай - неограниченную полосу (11 = 0,25 м, й = 0,001 м, х0 = 2 м) в предположении цилиндрического изгиба. Проведем процедуру нахождения критической скорости, взяв уравнение для прогибов w в виде [2] D(dAw/dxA) -
- Н[Е/(1 - V2)](п2/4¡2 )с1(й1—/йх1) - а = 0 . Получено: при а = 8° М = 18,2; при а = 10° М = = 17,9; при а = 12° М = 18,5. Явно виден минимум критической скорости при а0 = 10°.
Рассмотрим теперь прямоугольную в плане цилиндрическую панель, положив кх = 1/Я, ку = 0 (выпуклость направлена навстречу потоку). Тогда [2]
E
2 2 П С
'12
.8^ (1- v2)
\
-2+v
l2
vn
4kxc
4k/i c
п( 1- v) П2( l2 + l22)
E
22 П С
812( 1- v2)
vrv
l2
4kxc
22 n (1 - v )
4 kx c l1 l24 Л
2
П (lj + l2)
Приведем значения максимального статического прогиба с при а = 10°, ¡х = ¡2 = = 0,25 м, Я = 0,75 м, Н = 0,002 м, х0 = 1 м: при М = 1 с = 1,9; при М = 2 с = 3,2; при М = 3 с = 4,2; при М = 4 с = 4,8; при М = 5 с = 5,2; при М = 6 с = 5,4; при М = 7 с = 5,3; при М = 8 с = 5,1. При увеличении М, начиная с некоторого момента, значения с уменьшаются, что означает схлопывание панели [2]. Таким образом, статическая неустойчивость возникает раньше динамической.
Исследования проблемы панельного флаттера в нелинейной постановке дают результаты, которые имеют отличия качественного и количественного характера от полученных традиционными методами. Это необходимо учитывать при расчете устойчивости летательных аппаратов и других тонкостенных конструкций, находящихся в потоке газа.
x
У
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 2. С. 305-312.
2. Волъмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. 419 с.
3. Мовчан А.А. Некоторые вопросы колебаний пластинки, движущейся в газе // Тр. Ин-та механики. 1955. Вып. 1. С. 2-35.
4. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер прямоугольной пластины, составляющей часть плоскости тонкого клина, обтекаемого потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью. Деп. в ВИНИТИ, 2002. < 1085-В2002.
5. Кудрявцев Б.Ю. Исследование задачи о флаттере прямоугольной пластины в уточненной постановке // Тр. Моск. конф. молодых ученых "Научно-технические проблемы развития Московского мегаполиса", Москва, 2002, с. 60.
Москва Поступила в редакцию 17.XI.2003
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.