ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2014
УДК 531.3,533.6,534.1
© 2014 г. Балакшин О.Б.1, Кухаренко Б.Г.1, Пайч Д.2
НЕЛИНЕЙНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ МОДЫ ПУЛЬСАЦИЙ ДАВЛЕНИЯ ПОТОКА ПРИ ФЛАТТЕРЕ ЛОПАТОК РОТОРА
ТУРБОКОМПРЕССОРА
1 Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва 2 Технический университет, г. Берлин
Исследуются особенности пульсаций давления потока при флаттере на изгибной частоте лопаток ротора аксиального турбокомпрессора, наступившем после неполного резонанса на крутильной частоте лопаток с гармоникой частоты оборотов ротора. На основе усредненных по ансамблю уравнений Навье—Стокса предсказывается спектр частот нелинейных акустических диаметральных мод. Это позволяет идентифицировать в спектре частот для записей пульсаций давления потока при флаттере наряду с гармониками частоты оборотов ротора характерные серии, определяемые изгибной частотой флаттера, а также его второй гармоникой. Появление второй гармоники изгибной частоты является нелинейной реакцией потока, которая локально во времени ограничивает амплитуду флаттера.
Особенность возникновения и развития классического флаттера для лопаток ступени ротора типа блиск (от английского "bladed disk") аксиального турбокомпрессора авиационных двигателей состоит в том, что флаттеру на собственной частоте лопаток, как правило, предшествует резонанс на другой собственной частоте лопаток, вызываемых гармоникой частоты вращения ротора. С ростом частоты вращения ротора развитие резонанса прерывается в результате наступления флаттера — синхронных колебаний лопаток на их собственной частоте, не связанной никакими численными соотношениями с частотой вращения ротора. Синхронизация колебаний лопаток ротора в аэроупругой системе происходит по причине упругости сжатого потока воздуха, в котором при флаттере возникают акустические диаметральные моды пульсаций давления. Флаттер лопаток ротора турбокомпрессора описывается моделью круговых мод синхронных колебаний
Nb -1
t) = X UmSXP j2nfBt + (i - 1 m)) , (1)
m =- Nb + 1
при которых лопатки ступени ротора колеблются с собственной частотой лопаток fB и постоянным сдвигом фаз
Vm = N, m = 0, ±1, ±2, ..., ±(Nb - 1), (2)
где Nb — число лопаток в ступени ротора турбокомпрессора. Предшествование резонанса флаттеру, но при конкуренции резонанса и флаттера только одной моды колебаний лопаток ротора, установлено в [1].
Л, Гц
Рис. 1 Рис. 4
При испытаниях ротора типа блиск рассматриваемого турбокомпрессора зависимость частоты вращения ротора fR от времени до наступления изгибного флаттера лопаток первой ступени при fR « 60 Гц приведена на рис. 1. Установлено [2], что в диапазоне времени t = 4, ..., 20 с первоначально возбуждаются крутильные моды лопаток с частотой fT « 178 Гц, близкой гармонике 3fR частоты вращения ротора. При увеличении частоты вращения ротора происходит уход из резонанса на частоте fT крутильной моды лопаток и в диапазоне времени t = 17,4, ..., 24,6 с наступает флаттер с положительным фактором демпфирования (логарифмическим декрементом с обратным знаком) на более низкой изгибной частоте лопаток fB « 81 Гц. Нелинейная модель с антисимметричной упругой силой F(—x) = —F(x) предсказывает изгибные колебания лопаток x = x(t) со спектром, содержащим только нечетные гармоники собственной частоты fB [3].
Линейной реакцией потока на флаттер лопаток ротора являются акустические диаметральные моды пульсаций давления потока [4]. В системе отсчета ротора они представляют собой одночастотные пульсации с частотой синхронных изгибных колебаний лопаток fB « 81 Гц. Нелинейная реакция потока описывается усредненными по Рейнольдсу уравнениями Навье—Стокса для поля скоростей потока [5]. Для потока воздуха в аксиальном турбокомпрессоре усреднение Рейнольдса по ансамблю для уравнений Навье—Стокса получается усреднением мгновенных скалярных и векторных полей потока для моментов времени, отличающихся на последовательные периоды вращения ротора [6]. Усреднение по ансамблю дает детерминированную (когерентную) нестационарную плотность потока
м
<р(z, r, ф, t)) = lim 1 У p(z, r, ф, t + Tr(m - 1)),
m = 1
где {г, г, ф} — цилиндрические координаты; Тк — период вращения ротора, I = [0, кТк], где к — целое.
Для компонент иа(г, г, ф, 0, а = {г, г, ф} мгновенного поля скоростей потока используется взвешенное плотностью усреднение по ансамблю (усреднение Фавра)
< ua(Z9 Г, ф, t)) =
м
lim 1 У р(z, г,ф, t + Tr(m - 1)) иа(Z, г,ф, t + Tr(m - 1))
м ^ юМ
v м ^юМ <
m = 1
/<р(z, г,ф, t)),
а = {z, r, ф}, где t = [0, kTR], к — целое.
Мгновенное поле скоростей потока декомпозируется на детерминированное (когерентное) (3) и случайное (флуктуирующее) поле скоростей
иаг, ф, г) = <иа(г, Г, ф, г)> + %а(г, г, ф, г), а = {г, г, ф}, (4)
где из (3) следует <%а(г, г, ф, г)> = 0 , а = ^, г, ф}.
Усреднение Рейнольдса по ансамблю для уравнений Навье—Стокса представлено в [6, 7]. Нелинейное уравнение для аксиального момента имеет вид
д < Р> <иг) + д ( < р> <иг> < иг> + < Р> ) + 1 д г < р> <ц> < иг> + 1 д < р> <иф> <иг> = дг дг г дг г дф
= д ( < Т гг> - < р % г % > ) + 1 д г ( < Т гг> - < Р%г% г> ) + 1 д ( < Т фг> - < Р% ф% г> ) дг г дг г дф
Дополнительные члены в (5) по сравнению с уравнениями Навье—Стокса — это напряжения Рейнольдса = <р%а%р> , а, в = г, ф} в виде корреляций случайных полей из (4).
Уравнение (5) описывает нелинейную реакцию поля скоростей потока на колебания поверхностей лопаток ротора на его границах. При одночастотном колебании лопаток xb = Ax 8т(2п/я0 временная зависимость детерминированных (когерентных) компонент <иг> и <иф> поля скоростей потока представляется рядом Фурье
< иг> » А^п (2 / + 9г1) + Л^т (4/ + 9г 2) + ...,
(6)
< «V ® В^п (2/ + ) + В28т (4/ + 9ф2) + ...
В (6) члены с первой гармоникой описывают усредненную по ансамблю (3) линейную реакцию потока
< иг> да А^п (2 л/в г + 9^), < да В^п (2 я/В г + 9ф1)
с изгибной частотой^ колебаний лопаток. По методу гармонического баланса члены со второй гармоникой изгибной частоты в (6) производятся рассматриваемыми как возмущения в (5) нелинейными членами <р><иа><ир>, а, в = г, ф} в виде
<иг>< V даА^п(2/ + 9г1)В^п(2п/вг + 9ф1) + ... =
АХВХ. ...........(7)
(СС8(9г1 - 9Р1) - СС8(4/ + 9г1 + 9Р1)) + .
В экспериментальных исследованиях потока в аксиальных турбокомпрессорах среднее значение <р( иг - < иг>)( и^ - < и^>)> за M = 100—1000 последовательных мгновенных полей скоростей потока используется как оценка величины напряжений Рей-нольдса в (5) [10]. Эта оценка содержит также вклад когерентного поля скоростей потока (3).
Запись пульсаций давления потока p = p(t) у статора первой ступени рассматриваемого аксиального турбокомпрессора с ростом частоты вращения ротора до ^ « 60 Гц приведена на рис. 2 (при записи частота дискретизации « 20 кГц). В системе координат, связанной с ротором, каждой круговой моде синхронных колебаний лопаток (1) с числом m узловых диаметров (2) соответствует круговая мода пульсаций давления потока с тем же числом m узловых диаметров, называемая акустической диаметральной модой порядка m. Пусть ф — угол по окружности ступени ротора. В системе координат, связанной с ротором, аналогичная (1) формула для усредненного по ансамблю распределения давления потока воздуха с учетом второй гармоники^ имеет вид
Р, В
-0,2 -
-0,4
10
30 50 60 ^ с
Рис. 2
Щ - 1
(8)
(р (Г, ф)> = ^ рЩ)(ехр(/2п/вО + рЩехр(/'4я/вО)ехр(/тф).
т = - Щь + 1
Переход в систему отсчета, связанную со статором аксиального турбокомпрессора (неподвижными направляющими лопатками), соответствует преобразованию ф —► ф + / — частота вращения ротора). Формула (8) принимает вид
Щ -1
-XX ^ А , Л1
(р (и ф)> = ^ Рт}(ехр(/2л/в0 + рШ,)ехр(/4п/в0)ехр(/т(ф + 2/У)
Щь - 1
т = - Щь + 1
= ^ (рт°}ехр(/2п(/В + т • /д)Г) + рШ)ехр(/2п(2/В + т • /д)Г))ехр(/тф).
(9)
т = - Щ + 1
Из (9) следует, что наиболее низкие частоты /т р и /т р акустической с т узловыми диаметрами моды пульсаций давления воздушного потока определяются формулами
т = /в+т • /я,
(10)
= 2/в + т • /к.
(11)
На рис. 3 показаны определенные посредством Быстрого Преобразования Фурье амплитуды спектральных составляющих а = а(/) относительно амплитуды на частоте
/2 ^ ~ 201 Гц второй акустической диаметральной моды для записи пульсаций давления потока (рис. 2). В спектре частот (рис. 3) присутствуют частоты акустических диаметральных мод /ЩЬ , т = 1, ..., 7 (10) иШр , т = 1, ..., 5 (11), а также гармоники частоты вращения ротора/в, т = 1, ..., 7. При переходе в систему отсчета, связанную со статором турбокомпрессора, присутствующие в пульсациях давления потока гармоники частоты вращения ротора преобразуются по формуле, аналогичной (10) и (11), поэтому они всегда присутствуют в записях пульсаций давления потока, обеспечивая резонанс на крутильной частоте /Т « 178 Гц, предшествующий изгибному флаттеру лопаток.
0
а
1,0 Г
0,8 -
0,6 -
0,4 -
0,2
к
l-.-l.JL
100
200
1л
'11' II* ^.....I
300
400
500 /, Гц
0
Рис. 3
Зависящие от времени спектральные параметры записи пульсаций давления потока (рис. 2) определяются по методу Прони [2]. Спектральная декомпозиция произвольного сегмента длиной N для полной записи пульсаций давления потока (временного ряда)рк = р(М0, к = 1, ..., N0 (далее для краткости считается, что интервал дискретизации времени Дt = 1) имеет вид
м
Рк = 2-1 + пк, к = N, (12)
I = 1
где М — число полюсов для сегмента; 11 = ехр(81 + у2п/), / = 1, ..., М — полюса (87 и/ — соответственно, фактор демпфирования (логарифмический декремент с обратным знаком) и частота); г/ = Л1 ехр(/ф/), / = 1, ..., М — вычеты в полюсах (Л1 и ф/ — соответственно амплитуда и фаза); пк — аддитивный шум.
Оценка временной зависимости спектров факторов демпфирования и частот {8/, /, / = 1, ..., М} и соответствующих им спектров амплитуд и фаз {Л/, ф/, / = 1, ..., М} осуществляется по записи на рис. 2 в результате последовательных нецелевых сдвигов временного окна фиксированной длины N = 2000 (размер временного окна 0,1 с). На рис. 3 наиболее демонстративным доказательством нелинейности пульсаций д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.