ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 2, 2004
УДК 551.466:534.1
© 2004 г. А. М. Шерменев НЕЛИНЕЙНЫЕ ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ В ЗАДАЧАХ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ
Некоторые классические типы волн иа мелкой воде изучаются с использованием уравнения Буссинеска в полярных координатах. В этих координатах обычные методы теории возмущений приводят к переопределенным системам линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов. Показано, что в рассматриваемых специальных случаях эти уравнения совместны, что позволяет построить решения уравнения Буссинеска с той же точностью, с какой уравнение получено. Заданный на дне потенциал скоростей и функция, задающая свободную поверхность воды, разлагаются в ряд Фурье по времени. Коэффициенты их первых двух гармоник выражены явно как многочлены от функций Бесселя с коэффициентами в виде элементарных функций от полярных координат.
1. Введение. Лэмб ([1], § 191-195) рассматривает (в полярных координатах r, 0) по крайней мере три частных случая длинных линейных трехмерных волн: 1) осесиммет-ричные волны, распространяющиеся над горизонтальным дном и вызванные периодическим источником энергии (см. ниже, формула (1.2)). 2) простейшее неосесимметрич-ное волновое движение (1.3) в круглом бассейне. 3) грубая модель полусуточных приливов в бассейне на полюсе земли, ограниченном небольшим кругом широты (1.4).
Ниже получены решения уравнения Буссинеска, которые найдены с той же точностью, с которой уравнение выведено, и которые могут рассматриваться как нелинейные поправки к перечисленным классическим линейным решениям.
При переходе к уравнению Буссинеска уменьшается размерность задачи, так как потенциал скорости разлагается в степенной ряд по вертикальной координате. Это разложение использовалась уже Лагранжем [2], затем развивалось Буссинеском [3] и получило современный вид в работе Фридрикса [4] (см. обзор [5]). Различные версии уравнения Буссинеска связаны главным образом с выбором основных переменных (см. [6, 7]). Принимая обозначения Мея [8], используем заданный на дне потенциал скорости F(x, y, t) и возвышение свободной поверхности n(x, y, t) как основные переменные. Отметим, что функция п может быть выражена через F.
Имеются два малых параметра, связанные с уравнением Буссинеска: е - отношение амплитуды к глубине (мера нелинейности) и ц - отношение глубины к длине волны (дисперсия). Как и в классическом уравнении Буссинеска, сохраняем члены О(е) и О(ц2) (но не предполагаем равенства О(е) = 0(ц2)).
Заданный на дне потенциал скорости разлагается в ряд Фурье по времени
F(r,0, t) = U(r,0) + S1 (r,0) sin rat + C1 (r,0) cos rat + S2(r, 0) sin2rat +
+ C2(r, 0)cos2rat + ... + Sm(r, 0)sinmrat + Cm(r, 0)cosmrat + ...
Основной результат этой работы состоит в явных выражениях для функций
U(r, 0), S1 (r, 0), C*(r, 0), S2(r,0), C2(r,0) (1.2)
до порядков е и ц2 (см. формулы (4.1), (4.2), (5.1), (5.2), (6.1), (6.2)). Эти функции - однородные многочлены от функций Бесселя Z0(rar), Zj(rar) и тригонометрических
функций от угловой переменной 0, их коэффициенты - многочлены от г"1 and г. Приводятся также аналогичные формулы для функции п. Эти выражения дают периодические решения уравнения Буссинеска с той же точностью, с которой уравнение получено. Поэтому результат может интерпретироваться как периодическое решение уравнений поверхностных волн (см. ниже, уравнения (2.2)-(2.5)), найденное с точностью О(е) и О(ц2).
Три классических линейных решения [1] имеют вид
1) F(r,0, t) = J0(юг) sin юt + Y0(юг) cos юt (1.3)
2) F(r, 0, t) = J1 (юr)cos0sinюt (1.4)
3) F(r, 0, t) = J2(юr) cos20 sin at (1.5)
Попытка найти функции (1.2) с точностью О(е) и О(ц2) приводит к необходимости решать неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка типа Бесселя
Z'( r) + 1 Z( r) + (A + B1Z = qoo J о(юг ) Yo(юr) + JQ (ю r) Y1 (ю r) +
r r2' (1.6)
+ qio J i (ю r) Yo (ю r) + qn J^r) Yl(юr)
где qj - полиномы, от r, r-1. Ищем решение в виде
Z( r) = Qoo Jo (ю r) Yo (ю r) + Qoi Jo (юг ) Y1 (ю r) + Q
10 J 1(юг ) ^(юг) +
+ Q11J1 (юг) Y 1(юг) (1.7)
где Qj - полиномы от г, г-1 с неизвестными коэффициентами. Эти коэффициенты вычислены как решения переопределенной системы линейных алгебраических уравнений (как и ранее [9, 10], где тот же подход использовался для описания с точ-
2 2 4
ностью до членов порядка е , ец и ц длинных периодических волн над наклонным дном). Общее решение уравнения (1.6) является суммой выписанного ниже частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения, которое представляет собой линейную комбинацию функций Бесселя.
В рассмотренных случаях совместность этих переопределенных систем представляется вопросом удачи, и не видно причины, по которой системы, соответствующие более высоким гармоникам, могли бы оказаться также совместными. Однако можно предположить, что данные выражения будут первыми членами еще не известного трехмерного точного решения уравнений (2.2)-(2.5). Точные трехмерные решения неизвестны в настоящее время, но ниже предлагается "промежуточный" объект (решение порядка е и ц2), который, как можно надеяться, более точно описывает поведение длинных периодических волн по сравнению с линейным решением Лэмба.
2. Основные уравнения. Напомним кратко вывод уравнения Буссинеска в удобной для последующего изложения форме и введем обозначения, следуя, главным образом, Мею [8]. Безразмерные величины вводятся следующим образом:
1 1
X У' г' , S2ho\ п' h0 , , h'
x = г у = Г г = r t = Тt ' п = i' ф =-ГТФ, h = h (2Л)
'о 'о ho loo "0 , , 2 '2 ho
aolog ho
Штрихи соответствуют физическим переменным, a0 - характерная амплитуда волны, h0 - глубина, l'0 - длина волны, g - ускорение силы тяжести, X и у' - горизон-
318
A. M. Шерменев
тальные координаты, Z - вертикальная координата, t - время. Масштабированное уравнение и граничные условия для безвихревого волнового движения имеют вид
Фхх + Фуу + Ц-2фгг = 0, -1 < Z < en(x, у, t) (2.2)
_2
П + ефхПx + ефуПу _ Ц Фг = 0, z = en(x, у, t) (2.3)
Фt + n + ^е(ф2 + фу2) + ец-2ф2 = 0, z = en(x, у, t) (2.4)
Фг = 0, z = -1 (2.5)
где е и ц - меры нелинейности и дисперсии, определенные формулами
е = a0/h'0, Ц = h'0f l'0 (2.6)
Потенциал ф^, у, z, t) разлагается по степеням вертикальной координаты
ф(x, у, z, t) = £ (z + 1 )mFm(x, у, t) (2.7)
m = 0
Подставляя выражение (2.7) в уравнение (2.2) и приравнивая к нулю каждую степень z + 1, выводим (символ V используется для обозначения горизонтального градиента (3/3x, Э/Эу))
U2V2 F
Fm + 2 = -( о) ( m -, ), m = 0, 1, 2, _ (2.8)
m + 2 (m + 2)(m +1 )
Граничные условия на дне (2.5) дают
F1 = 0 (2.9) Таким образом ф можно выразить через F0(x, у, t)
Ф = F-¿У (z +1 )2V2 F +;1!Ц4( z +1 )4 V4 F + O (ц6 ) (2.10)
(нулевой индекс у функции F0(x, у, t) здесь и далее опущен).
Выражение (2.10) удовлетворяет уравнению (2.2) и граничному условию (2.5). Подстановка выражения (2.10) в условия (2.3) и (2.4) дает уравнения Буссинеска для двух функций: потенциала на дне F(x, у, t) и возвышения свободной поверхности n(x, у, t)
nt + eVn • VF + ( 1 + en)V2F-6ij.Vv2F = 0 (2.11)
П + Ft -1 ц2 V2 Ft + 1 е( V F )2 = 0 (2.12)
Эти уравнения эквивалентны уравнениям, приведенным Меем ([8], гл. 11, уравнения (1.16) и (1.17)).
Для того чтобы выразить функцию, задающую возвышение свободной поверхности n(x, у, t) в терминах функции F(x, у, t) и ее производных, используется разложение
П = П 0 + П2Ц2 + П4 Ц4 + O (Ц6 )
Подстановка этого выражения в уравнение (2.12) приводит к формулам
По = - Ft-у (-у + F2y )е, П2 = 1 (Fxxt + Fyyt) (2.13)
Последующая подстановка выражений (2.13) в уравнение (2.11) дает единственное уравнение для функции F
- F + F + F + I F +1- F F F -- F |цУ +
^ хх УУ I у xxtt у yytt 6 xxxx 6 УУУУ 3 xxyy 1Г1,
+ (- уFxFxt - уFyFyt - FxxFt - FyyFt)е = 0 (2.14)
или в полярных координатах (г, 0)
- Ftt + "уF00 + 1 -г + Frr + 1--уF0F0t - "уFtF00 - 1 ^г -УFrFrt - +
4F00 + 2F00tt 4F0000 3 Fr + у-Frtt + -- —г00 + 2 Frr + у Frrtt -
1 3г у Г 6 Г 6 Г у' 3г 6г у
1 F __f _ J- F
2 Гг99 rrr ¿r rrrr
3r 3r 6
ц2 = 0 (2.15)
3. Периодическая задача. Предполагаем, что решение уравнения (2.15) - периодическое во времени и может быть разложено в ряд Фурье в некоторой области, исключая окрестность оси симметрии, т.е.
F( r, 0, t) = u (r, 0)e + (S00 (r, 0) + S¿2 (r, 0)ц2) sin at + (C¿0( r, 0) + cJ2( r, 0)ц2 )cos raí +
+ (SJ0(r, 0)e)sin2at + (C2W(r, 0)e)cos2at + ... (3.1)
Форма коэффициентов при sin mat и tos mat определяется рекуррентными вычислениями при решении уравнения (2.15).
В нулевом порядке имеем следующие линейные задачи для S00 (r, 0) и C¿0 (r, 0):
ю S00 + ""2Soo00 + rS00r + S00rr = 0 (3.2) rr
ю Coo + ""20)099 + 1 C10r + C00rr = 0 (3.3)
rr
Их решения, выраженные в полярных координатах, могут быть представлены в виде ряда
а0 J0 (ю г) + R 0 Y0(юr) + (а1 J1(юr) + R1Y1 (ю г)) cos 0 +
(3.4)
+ ... + (anJn (юг) + вг^„(ю г)) cos n 0 + ...
Сосредоточимся на трех случаях, соответствующих формулам (1.3)-(1.5).
Случай 1
S°o = ao Jo (юг) + PoY о(ю г), C^ = Yo Jo(ю г) + So Yo(юr) (3.5) Случай 2
S0O = а1 J1 (юг) cos 0, c0O = 0 (3.6)
320
А. М. Шерменев
Случай 3
Sj0 = а2 J2 (2 ю r) cos 2 9, cj0 = 0 (3.7)
Первое решение было использовано для описания осесимметричного волнового движения с периодическим источником в центре системы полярных координат ([1], § 191-195). Второе решение было использовано для описания самого простого (но "интереснейшего") случая регулярного неосесимметрического волнового движения в круглом бассейне. Третье решение дает грубое представление полусуточных приливов для бассейна на полюсе Земли, ограниченного небольшим кругом широты. Цель дальнейшего рассмотрения - дать поправку следующего порядка к этим классическим решениям.
Обозначим через S = S(r) и C = C(r) два решения уравнения Бесселя
rZrr + Zr + ю- rZ =0 (3.8)
и через S и C - их производные. Функции S(r), C(r), S'(r), и C(r) могут быть представлены в терминах функций Бесселя следующим образом:
S(r) = an J0(®r) + a12Y0(ar), S(r) = ю(-an Jj(rar) - a12Y:(юг)) C (r) = a2i J о(юг ) + a22 Y О(юг ), C (r) =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.