ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2013, том 49, № 5, с. 595-600
УДК 551.466.6.62
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ НАЧАЛЬНОЙ СТАДИИ ВОЛН ЦУНАМИ
© 2013 г. Е. Н. Пелиновский*, **, А. А. Родин*-***
*Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46 **Нижегородский государственный технический университет 603950Нижний Новгород, ул. Минина, 24 ***Институт кибернетики, Таллинский технологический университет
Таллин, Эстония E-mail: pelynovsky@hydro.appl.sci-nnov.ru E-mail: xmrarro@gmail.com Поступила в редакцию 16.07.2012 г.
Получено аналитическое решение нелинейных уравнений мелкой воды, определяющее высоты волн цунами, выходящих из очага. В очаге задано начальное смещение уровня воды и распределение скоростей частиц. Численное решение показало, что аналитические оценки хорошо совпадают с рассчитанными в широком диапазоне изменения характеристик очага, даже если выходящие из очага волны обрушиваются.
Ключевые слова: цунами, нелинейная теория, мелкая вода, ударная волна.
DOI: 10.7868/S0002351513050088
1. ВВЕДЕНИЕ
При исследовании генерации волн цунами в очаге, как правило, решаются линейные уравнения мелкой воды с заданными начальными смещениями уровня воды и скоростей частиц в очаге [1, 2]. Наиболее распространенной является так называемая поршневая подвижка, приводящая к неоднородной пространственной структуре мгновенного поднятия дна, рассчитываемая по известной формуле Окада [3]. В то же время понятно, что дно движется также и в горизонтальном направлении, приводя к появлению начального распределения скорости частиц воды в очаге. Такая ситуация реализуется при смещении дна на склоне [4] или при образовании оползней, часто возникающих при землетрясении [5]. В рамках линейной теории учет горизонтальной скорости не является трудным и служит дополнительным источником анизотропии излучения волн цунами [1, 6, 7]. В то же время в очаге возникающие волны имеют достаточно большую амплитуду, и если очаг расположен близко к берегу, то такие волны являются нелинейными. Аналитическое решение нелинейной задачи о распаде начального возмущения, возникающего при поршневой подвижке, в рамках уравнений мелкой воды получено для ровного дна [1], откоса постоянного уклона [8—10] и линейно наклонен-
ного канала параболического сечения [11]. В целом нелинейные эффекты для куполообразных (положительных) смещений водной поверхности оказываются малыми непосредственно в очаге. В то же время волны отрицательной полярности являются обычно более нелинейными [12—16]. Если к тому же учесть, что начальная горизонтальная скорость частиц ведет к увеличению амплитуды волны, то нелинейные эффекты в очаге могут оказаться существенными для волн цунами отрицательной полярности. Именно эта проблема и анализируется в данной статье.
2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Исходные уравнения мелкой воды, учитывающие в том числе ударные волны (боры), имеют дивергентный вид
d(Hu) +д_
dt дх
Ни +1gH2
= 0, дН + [Ни] = 0, (1)
dt дх
где Н(х, 0 = И + п(х, 0 — глубина воды, отсчитываемая от дна, п(х, 0 — возвышение водной поверхности, и — усредненная горизонтальная скорость водного потока, g — ускорение силы тяжести и И — невозмущенная глубина бассейна, предполагаемая здесь постоянной. Поясним сначала сам эффект более сильной нелинейности во впадине волны, чем в ее гребне. Если отыскивать
распространяющиеся в одну сторону решения системы (1), то они описываются так называемой волной Римана [1, 12]
Н(х, 0 = Н0 [х - У(НУ], V = - (2)
где Н0(х) — начальная форма волны, которая должна быть достаточно гладкой. Тенденция к обрушению переднего склона волны ясно видна из-за зависимости скорости распространения отдельных точек профиля от локального значения поля — глубины У(И) и неоднократно описывалась в литературе. Для гребня в силу корневого слагаемого в (2) разница в скоростях распространения отдельных точек профиля относительно невелика, так что нелинейные эффекты проявляются на больших расстояниях. Между тем, если в начальном возмущении есть глубокая впадина, так что ее высота, отсчитываемая от дна, оказывается меньше критической [14, 15]
H < Hcr = 4 h,
cr 9
(3)
то скорость распространения У(Н) становится во впадине отрицательной, в то время как горб распространяется вправо (х > 0). Естественно, что это приводит к почти мгновенному опрокидыванию волны и появлению в ней отражения, характеристики которого уже не могут быть определены в рамках римановой волны (2); они найдены численно в [14, 15]. Указанные выше эффекты наблюдались при специфических начальных условиях, соответствующих Римановой волне, распространяющихся в одну сторону. В частности, начальная скорость частиц воды в Римановой волне равна
u(x,0) = 2 [V gH0(x■ -Jghh\.
(4)
В случае произвольных начальных условий возникают волны разной амплитуды, бегущие в противоположных направлениях, и нелинейные эффекты могут по-разному проявляться в них. Получим решение нелинейных уравнений (1), учитывая оба начальных условия, как на смещение водной поверхности Н0(х), так и на начальную скорость частиц и0(х). Для упрощения расчетов примем следующую аппроксимацию поля скорости
u(x, 0) = 2а [VgH0(x) ~4gh\.
(5)
где а — произвольное число, изменяемое от 0 до 1. В предельном случае (а = 0), нулевая скорость соответствует поршневой подвижке, когда генерируются волны в обе стороны от очага, а во втором (а = 1) — точному возмущению в Римановой волне (4). Промежуточные значения а позволяют получить волны, распространяющиеся в разные стороны с разным "весом".
Для получения аналитического решения уравнений (1) преобразуем эту систему к уравнениям для Римановых инвариантов
8L
dt
± д1±
± + c ±
^ = 0, с+ =±Лк + 31± +1(6) дх 4 4
где римановы инварианты есть
1± = и ± 2\_4gH-Щ. (7)
Важно подчеркнуть, что римановы инварианты сохраняются в любой момент времени и эффект взаимодействия волн, бегущих в разных направлениях, проявляется через переменность скоростей их распространения. Вне очага волны распространяются независимо как Римановы волны, и с учетом связи скорости и смещения типа (4) величины инвариантов есть
i± =±4 ygH± -Щ,
(8)
а в очаге с использованием (5)
1±(х, 0) = 2(а ± 1) [УНсХ) • (9)
Приравнивая величины инвариантов для экстремумов волн (амплитуды гребня или глубины впадины), мы можем найти амплитуды волн, выходящих из очага
н±
h
1 + а + (1 ± а) JHo h
(10)
Таким образом, по заданным максимальным и минимальным смещениям уровня воды в очаге удается рассчитать максимальные амплитуды гребня и глубины впадины, "левой" (—) и "правой" (+) волн, выходящих из очага (напомним, что глубина Н отсчитывается ото дна). К сожалению, форма волн не находится аналитически и здесь необходимо численно решать систему (1). В случае малых смещений водной поверхности легко дать полное описание волнового поля из (1)
H (x, t) = h
1 + 1 + an0(x - ct) +1—an0(x + ct)
(11)
2 2 где п0(х) = Н0(х) — к — возвышение водной поверхности, отсчитываемое от невозмущенной поверхности воды. Экстремальные значения поля, находимые из (11), являются асимптотиками формулы (10) при уменьшении высоты волны.
3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Отметим важное ограничение полученного результата в нелинейной теории. Поскольку мы использовали сохраняющиеся римановы инварианты, то это справедливо только для необрушенных волн. С другой стороны, волны большой амплитуды всегда обрушиваются. Поэтому для оценки применимости формулы (10) и тем самым для
(а)
320 с
-2 0 2 х, км
л = 0.5
(б)
320 с
2 0 2 х, км
Ао = 0.9
Рис. 1. Формирование волнового поля при а = 0. Черная сплошная линия — численный расчет, штриховая — формула (11) линейной теории.
6
4
6
4
145 с
¡Ц 0.5 -
^ 0.5
-6 -4-2 0 2 х, км
220 с
0
х, км
6
6
4
2
4
Рис. 2. То же, что на рис. 1 при а = 0.4 и ^ = 0.9.
оценки роли нелинейных эффектов в очаге нами выполнено численное интегрирование системы (1) с помощью программного пакета Clawpack (www.clawpack.org), решающем гиперболическую систему уравнений (1) методом конечных объемов [17]. Уравнения мелкой воды решались с периодическими граничными условиями на расчетной области длиной 12 км и шагом в пространстве — 0.5 м, невозмущенная глубина бассейна принята равной к = 1 м. В качестве начального условия выбран гауссовый импульс отрицательной полярности (впадина), для которой нелинейные эффекты должны проявляться сильнее
Но(х) = Н
1 - До ехр | - ^
(12)
с характерной полушириной импульса I = 0.5 км. Амплитуда волны А0 менялась в широких пределах вплоть до 0.9.
В первой серии экспериментов рассматривалась поршневая подвижка (а = 0), когда распад начального возмущения происходит на две волны одинаковой амплитуды. На рис. 1а показана форма волны в момент времени 320 с при начальной впадине 0.5 м. Как видим, нелинейные эффекты здесь весьма заметны, и рассчитанные амплитуды впадин (0.27 м) превышают линейные значения (0.25 м). Расчеты по нелинейным формулам (11) приводят к той же амплитуде волн (0.27 м), что и в расчетах. Ясно видно, что волна преобразовалась в ударную практически сразу после выхода из очага и далее она распространяется, уменьша-
ясь по амплитуде (мы не приводим здесь соответствующих картинок). При увеличении глубины впадины до 0.9 м (рис. 1б) амплитуда волны в расчетах (0.56 м) остается близкой к "нелинейному" значению (0.57 м), хотя здесь нелинейные эффекты максимальны и ударные волны формируются еще в очаге. И в том и другом случае волновое поле далеко от линейного, представленного штриховой линией на рис. 1.
Во второй серии начальное поле скоростей присутствует (а = 0.4), и мы приведем здесь наиболее нелинейный случай (А0 = 0.9), см. рис. 2, где показано волновое поле в моменты времени 145 и 220 с. Волна, уходящая вправо за счет начальной скорости, имеет большую амплитуду, так что ударная волна формируется в центре очага. Волна, уходящая влево, напротив, имеет меньшую амплитуду, но и она формируется в ударную. Ввиду сильной диссипации, амплитуда "правой" волны (0.7 м) оказывается несколько меньшей предсказания для необрушенной волны (0.73 м), но различия достаточно малы. Для волны, уходящей влево, рас
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.