ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 3, с. 371-385
УДК 551.466.8
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ЗАХВАЧЕННЫХ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ ВОЛН
© 2008 г. А.А. Слепышев*, В.О. Подрыга**
*Морской гидрофизический институт НАН Украины 99011 Севастополь, Капитанская, 2 E-mail: math@msusevastopol.net **Черноморский филиал МГУ им. М.В. Ломоносова 99001 Севастополь, ул. Героев Севастополя, 7 E-mail: pvictoria@list.ru Поступила в редакцию 07.05.2007 г., после доработки 08.11.2007 г.
Рассмотрены захваченные наклонным дном бароклинные топографические волны при реальной стратификации. Изучены дисперсионные свойства этих волн. Определяются характерные масштабы и амплитуды захваченных топографических волн, наблюдаемых в Норвежском море. Асимптотическим методом многомасштабных разложений исследуются нелинейные эффекты при распространении этих волн. Определяется среднее течение, индуцированное волной, во втором порядке малости по амплитуде волны. Получено эволюционное уравнение для огибающей - нелинейное уравнение Шредингера. Исследуется модуляционная неустойчивость этих волн. Показано, что захваченные топографические волны модуляционно неустойчивы.
Динамические процессы в придонном слое моря обусловливают взвешивание и перенос донного осадочного материала. В прибрежной зоне моря несомненна ведущая роль поверхностных волн в транспорте наносов. Однако влияние поверхностных волн прослеживается до глубин, составляющих половину длины волны. На больших глубинах преобладают внутренние и топографические волны. Топографические волны, обусловленные неоднородностью рельефа дна, играют важную роль в общем энергетическом балансе движений вод на шельфе, так как шельф и континентальный склон образуют естественный волновод для этих волн. Баротропные топографические волны, типа захваченных берегом шельфовых и волн Кельвина, достаточно хорошо изучены [1-3]. Исследование бароклинных топографических волн сталкивается с трудностями разделения горизонтальной и вертикальной структуры движений из-за наклона дна [4-7]. При малом наклоне дна возможно разделение на моды колебаний при условии учета наклона дна в граничном условии [7, 8]. В коротковолновом пределе энергия бароклинных топографических волн сконцентрирована у дна, т.е. волны захватываются дном. Наблюдения захваченных топографических волн затруднены сложностью измерений в придонном слое. Имеются едва ли не единичные случаи регистрации этих волн, в частности, на шельфе Перуанского побережья [5].
Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн проявляются в генерации средних на масштабе волны течений [9, 10, 11]. Огибающая
узкоспектрального пакета внутренних волн описывается нелинейным уравнением Шредингера [9]. Модуляционная неустойчивость внутренних волн существенно перемежаема по масштабам [10]. В длинноволновом пределе внутренние волны устойчивы к продольной модуляции.
В настоящей работе исследуются нелинейные эффекты при распространении захваченных топографических волн над плоским наклонным дном при реальной стратификации, получено нелинейное уравнение Шредингера для огибающей пакета захваченных топографических волн, определяется среднее течение, индуцируемое захваченной топографической волной за счет нелинейности.
В данной статье рассматриваются захваченные топографические волны, которые наблюдались по данным измерителей скорости течения в Норвежском море. Автономные цифровые измерители скорости течений, температуры, электропроводности, глубины погружения (АЦИТТ) располагались на расстоянии 1.5-3 м от дна, дискретность измерений составляла 2 часа. Измерения проводились находившимися в составе ДАС (донные автономные станции) двумя приборами АЦИТТ. Каждая пара приборов устанавливалась на металлической крестовине на расстоянии 2.2 м друг от друга, станция поддерживалась в вертикальном положении глубоководным буем. Расстояние от центра блока датчиков прибора до дна составляло на ДАС-1 2.5 м, на ДАС-2 3 м. Станции удерживались на дне якорями,
I, ч 5000
4000
3000
2000
1000
-0.3 5000
4000
3000
2000
1000
-0.4
СЛЕПЫШЕВ, ПОДРЫГА 4500
4400
4300
4200
4100
4000
-0.06 -0.04 -0.02 0 4500
4400
4300
4200
(а)
0.02 0.04 и, м/с
4100
-0.1
°.2 V, м/с
0.4
V, м/с
Рис. 2. Временной ход высокочастотных колебаний зональной (а) и меридиональной (б) компонент скорости течения.
Рис. 1. Исходная реализация зональной (а) и меридиональной (б) компонент скорости течения.
снабженными акустическими размыкателями. Уклон дна на полигоне измерений составлял 3°. Глубина 1700 метров. Направление изобат составляло 60° с зональным направлением. Анализ данных измерителей скорости течения показал значи-
тельную временну ю изменчивость, величины скоростей достигали значений 10-30 см/с (рис. 1). Период низкочастотных колебаний компонент скорости течения составлял 5-7 суток. Длина временного ряда - 180 суток. На фоне низкочастотных колебаний прослеживались колебания периодом 1440 часов (рис. 2), которые соответствуют периодам захваченных топографических волн. График 2 получен вычитанием из исходной реализации соответ-
нелинейные эффекты при распространении
373
ственно осредненных за 52 часа компонент зональной и меридиональной скоростей течения.
Амплитуды колебаний скорости на рис. 2 достаточно велики (3-5 см/с), средний период колебаний -28 часов. Столь большие измеренные амплитуды волновых скоростей у дна соответствуют захваченным топографическим волнам. Теоретически делается оценка пространственных масштабов этих волн и определяется вертикальное распределение амплитуды колебаний.
Постановка задачи. Рассматриваются свободные захваченные наклонным дном топографические волны над плоским склоном. Уклон дна предполагается малым и учитывается в граничном условии у дна. Система нелинейных уравнений гидродинамики решается асимптотическим методом многомасштабных разложений. В первом порядке малости по крутизне волны находятся решения линейного приближения и дисперсионное соотношение. Во втором порядке малости по крутизне волны £ находятся решения второго приближения и среднее течение, индуцируемое волной за счет нелинейности. Условие разрешимости неоднородной краевой задачи для амплитуды вертикальной компоненты скорости в третьем порядке по £ дает эволюционное уравнение для огибающей.
Исходная система уравнений движения для волновых возмущений в приближении Буссинеска с учетом вращения Земли имеет вид:
^ + (иУ)и + 2[П х и] = + дг ро ро
И+(и ^+"3^0
Уи = 0,
(1)
неоднородное уравнение для вертикальной скорости соответствующего приближения:
Э2 А и
~э?
3 _ у2 ^ "3
д х
А Э/ ди
2 - Адг(и' Щ
6 А I ^Р0 90 ,
= г~Ал( "3— + и дХ I-
йх
_Э_
д х3
д I ЭиЛ д I ди2'
гг эх I эх J+г эх; Iи эх;1 +
(2)
+
ЭиЛ Э2
и] -г- +
дгдх1 ( ' дх] J дгдх2( ' дх] J_
Эи-
здесь А = —2 + —2 + —2
д х1 д х2 д х3
- оператор Лапласа, АЙ =
+
д х1 д х2
- "плоский" оператор Лапласа.
где и, р, Р - волновые возмущения скорости течения, плотности и давления; р0(х3) - средняя невозмущенная плотность. Ось х1 направлена вдоль изобат, ось х2 направлена в сторону уменьшения глубины, вертикальная ось х3 перпендикулярна невозмущенной поверхности моря и направлена вверх. Систему уравнений (1) необходимо дополнить граничными условиями "твердой крышки" на поверхности и3| _н = 0 и наклонном дне:
(и • п) |х = 0 = 0 (п - вектор нормали).
Уклон дна предполагается постоянным и малым и учитывается в граничном условии у дна. Из системы (1) следует уравнение, которое в линейном случае дает уравнение для вертикальной компоненты скорости, а во всех последующих приближениях -
Систему уравнений (1) будем решать методом многомасштабных разложений, раскладывая и, Р, р в асимптотические ряды [9]
и1 = £и|(х3, Т, 6) + £2и|!(х3, Т, 0) + ... Р = £Р(х3, Т, 0) + £2РП(х3, Т, 0) + ... (3) р = £р1(х3, Т, 0) + £2р"(х3, Т, 0) + ... ,
где £ - малый параметр - крутизна волны, и т -медленные переменные, = £(х1 - е^), Т = £2г, 0 -Э0 , Э0
фаза волны, --— = к, -г- = -ю (к - волновое число, Э х1 Э г
Эю
ю - частота, е., = т— - линейная групповая ско-6 дк
рость, предполагается, что волна распространяется вдоль изобат, а изменчивостью параметров волны поперек изобат ввиду малости уклона дна пренебрегается).
В первом порядке малости по крутизне волны и!, Р1, р1 можно представить в виде [9]:
и] = и]0( х3) А т) е'0 + к. е.., Р1 = Р!ю( х3) А (^,т) е'0 + к. е.., р1 = рЦх3)А(£,т)е 0 + к.е.
(к.е означает комплексно-сопряженные члены). Связь функций и 10 (х3), и20 (х3), Р10 (х»), Р10 (х»), и30 (х3) известна [3], а и30 (х3) удовлетворяет крае-
0
2
2
2
2
2
2
вой задаче по определению вертикальной структуры моды в линейном приближении:
/
2
ю
72
, 2 й к--2
у й%з J
,2 I I Лй «30 «30 + /
йх
+ £ йР к 2 I _ 0 + р0йх3к«30 _ 0'
30
х3 _ Н
_ 0
(4)
/ ( Ч й«30 кю18 (У)
_ «30
_0
^ - ЯЦ + ¿Т|А2| А _ 0
Эт 2,^2
(5)
2 ^ «30 ^ 2 йХ'
30 2 3
г _
Н
(6)
I ^ «30 ^ 1 йХ3
гидродинамики для волновых возмущений, осред-ненной за период волны. Из уравнения неразрывности во втором порядке малости по крутизне волны
Э «3 п
следует, что 3— = 0, учитывая граничное условие
Э х 3
на поверхности «3 = 0, получаем, что «3 = 0. Подчеркнем, что вертикальная компонета скорости индуцированного течения равна 0 во втором порядке по £, но не равна нулю в третьем порядке по £ и
Здесь у - характерный уклон дна.
Если после постановки разложений (3) в (2) при-
2 11
равнять члены при £2, получим уравнение для и3,
которое приведено в Приложении.
Уравнение для «311 в третьем порядке малости по £, после подстановки (3) в (2), также приведено в Приложении. Из условия разрешимости неоднородной краевой задачи (П.7) по определению вер-
III, .
тикальной структуры первой гармоники «31 (х3) следует эволюционное уравнение для огибающей
пропорциональна £
3 ЭА Э^
[12].
Неосциллирующая на периоде волны поправка к средней плотности и компоненты горизонтальной скорости индуцированного течения во втором порядке по крутизне волны определяются по формулам [12]:
«1 _-
1Э «2 «3
/ йХ3
«2 _ 0,
_2__й_ ( й «30
юкйх31 30 йх
22 А £ ,
(9)
2
Р йх3
>
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.