ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 3, с. 386-391
УДК 551.465
НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНЕРЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОСЛОЙНОГО ВИХРЯ: АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
© 2008 г. С. Ф. Доценко*, А. Рубино**
*Морской гидрофизический институт НАН Украины, 99011 Севастополь, ул. Капитанская, 2 E-mail: sf_dotsenko@mail.ru **Университет Ка Фоскари 30123 Венеция, Италия ул. Санта Марта, Дорсодуро 2137, E-mail: rubino@unive.it Поступила в редакцию 09.10.2007 г.
В рамках эквивалентно-баротропной модели динамики многослойного океана рассмотрены нелинейные осесимметричные колебания теплого бароклинного вихря. Найден класс точных аналитических решений, описывающих чисто инерционные колебания вихревого образования. Толщины слоев в вихре изменяются по квадратичному закону, а горизонтальные проекции скорости в слоях линейно зависят от радиальной координаты. Благодаря усложненной структуре вихря, слабым ограничениям на вертикальное распределение плотности и явному виду решения, его можно рассматривать как обобщение ранее найденных точных аналитических решений такого вида для однородных и бароклинных вихрей в океане.
Синоптические вихри вносят существенный вклад в динамику Мирового океана как в зонах пограничных течений, где они образуются в результате меандрирования струй (ринги), так и в открытых областях океана, где их образование связано во многом с атмосферными воздействиям (вихри открытого океана) [1, 2]. Вихревые образования перемещаются в океане, и время их жизни достигает несколько лет [1, 3]. Они подвержены значительной изменчивости благодаря взаимодействию с течениями, рельефом дна и другими вихрями [1, 2, 4].
Возмущения полей скорости и плотности вихря приводят к развитию колебаний полей относительно геострофических распределений (см., например, [5-7]). В случае, когда вихрь интерпретируется как объем идеальной жидкости в океане, окруженный неподвижной средой (эквивалентно-баротропная модель), такие колебания вихревого образования являются незатухающими [8, 9]. Колебания вихря становятся затухающими при учете в модели диссипации и возможности излучения энергии в окружающую его среду [5-7, 10].
Анализ колебаний вихревых образований представляет интерес для изучения как динамики вихрей, так и изменчивости океана на различных пространственно-временны х масштабах. Как известно [2, 11], частотный спектр колебаний гидрофизических полей в океане весьма широк. Значительный вклад в энергетику океанской среды вносят квазиинерционные колебания. В большинстве случаев, как показывает анализ данных измерений скорости течений, квазиинерционные колебания полей явля-
ются суперинерционными, хотя встречаются и противоположные случаи [12]. Вихри совершают сложные вращательно-поступательные колебания [8]. Одно из свойств нелинейных радиальных колебаний вихрей состоит в том, что они часто являются квазиинерционными, подтверждая общий вывод о существенном вкладе инерционных колебаний во временну ю изменчивость полей Мирового океана.
Ниже рассматриваются нелинейные осесимметричные колебания бароклинного (многослойного) вихря относительно равновесного геострофического состояния. Найден класс точных аналитических решений, описывающих такие колебания для произвольной устойчивой ступенчатой стратификации. Благодаря усложненной структуре вихря, слабым ограничениям на вертикальное распределение плотности и простой явной форме решения, его можно рассматривать как обобщение ранее найденных точных аналитических решений для однородного [8, 9], слоистого [13] и непрерывно стратифицированного по горизонтали и/или вертикали [14-16] вихрей.
1. постановка задачи
Рассматривается осесимметричный приповерхностный (теплый) стратифицированный по вертикали вихрь во вращающемся океане, состоящий из п слоев (рис. 1). Однородные слои с номерами у = 1, ..., п имеют различную плотность ру и горизонтальную протяженность, характеризуемую радиусом г = Щ(г), где г > 0 - радиальная ко-
нелинейные инерционные колебания многослойного вихря 387
0 1 = 1
1 = 2
К К г
^—■
/ 1 = п + 1
ды: ды ; v2 „
дг 1 дг г 1 1
дv: дv: ы ---■■ + ы
д г ' д Г
v;
1 ^ + + /Ы: = 0,
дН; 1 д( ГЫ^Л;) дг г д г
= 0.
(2)
(3)
(4)
Р = ^
. дНк
к = 1
5к, 1 5 к, п + 1) дГ
■8 Х( 1
к = 1
.д Н
5к, п +1 ) д Г ' 5 к, 1
Як 1 =
Рк
Р ■'
В соответствии со сделанным предположением, толщины слоев для всех 1 должны удовлетворять п соотношениям
Н;(Я(г), г) = 0
(5)
1 = п
Рис. 1. Осесимметричный вихрь с п слоями различной горизонтальной протяженности.
ордината, г > 0 - время. Плотностная стратификация такова, что р! < р2 < ... < рп < рп + 1. Радиусы слоев Щ при всех г > 0 удовлетворяют условиям
Я1 > Я 2 >• > Яп, (1)
в отличие от работы [13], в которой задавалось условие Я1 = Я2 = ... = Яп.
В рамках эквивалентно-баротропной модели, предполагающей окружающую вихрь жидкость плотности рп+1 покоящейся, а нижнюю границу вихря подвижной, осесимметричные движения вихревого образования в цилиндрической системе координат послойно описываются системой 3п уравнений
на подвижной боковой границе слоя г = Я^г) (рис. 1). Условно можно считать, что все слои жидкости простираются вплоть до границы вихря на поверхности океана г = Ях, но толщина 1-го слоя на отрезке Я < г < Я1 равна нулю при всех г.
Из (2)-(4) следует, что в стационарном вихре радиальные скорости ы1 = 0, а касательные скорости V = у(г) и толщины слоев Н = Н(г) удовлетворяют системе алгебраических уравнений
V2 + /ГУ! = -Гр1,
1 -1
Р1 = Х( 5к, 1 - 5
д Нк
) к -к, п + И д Г
к = 1
(6)
Здесь ы(г, г) и г) - радиальная и азимутальная проекции горизонтальной скорости течения в 1-м однородном слое толщины Н(г, г) и плотности Ру,
1-1
Як ¡- Як
к - ускорение свободного падения, / - постоянный параметр Кориолиса. Условие (1) означает, что при перемещении точки сверху вниз по вертикали она последовательно и без пропусков пересекает конечное число слоев, начиная с первого.
V (1 )дН
- к 1-5к, п +1 ) -дГ.
к = 1
По известным толщинам слоев Н = Н (г) из квадратного уравнения (6) находятся радиальные распределения касательной скорости v = у(г) в слоях. Распределения v = у(г) вещественные, если для всех 1 выполняются условия р </2 г/4, которые действительно могут реализоваться для достаточно плавных радиальных распределений толщин слоев и/или слабой плотностной стратификации.
Ставится следующая задача: в рамках эквива-лентно-баротропной модели (2)-(4) найти аналитические решения, описывающие нелинейные радиальные периодические колебания бароклинного вихря, структура которого схематически показана на рис. 1.
2. вихри специальной
радиальной структуры
По аналогии с аналитическим решением для однородного вихря [8] зададим законы изменения толщин слоев и полей скорости в них по формулам
Ы1 = А.(г) г , v; = В( г) г ,
2 (7)
Н 1 = С( г) + г) Г ,
где 0 < г < Щ(г), г > 0, А^, В, С, Б ^ - неизвестные функции времени. Тем самым скорости в слоях вихря линейно зависят от расстояния до оси симметрии, а толщины слоев изменяются по квадратичному закону, т. е. монотонно убывают при удалении от оси вихря к его внешней границе.
Толщина Н(г, г) каждого слоя при всех 0 < г < Щ(г) должна быть неотрицательной, а слой должен иметь край при г = Щ(г). Для этого необходимо
г
п
выполнение условий С) (г) > 0, Б (г) < 0. Помимо этого, в соответствии с (5), при г > 0 должны выполняться п соотношений между неизвестными функциями времени в решении (7):
С(г) + (г)я)(г) = 0, ] = 1, ..п. (8)
Подстановка (7) в уравнения (2)-(4) приводит к системе 4п нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений по времени для нахождения функций А, Бу, Су и Б у
__aai dt
j-1
+ A2- Б2- fBj + 2 ^ skJ- sK „ + 1) Dk +
k = 1
(9)
+ 2 g £( 1-Sk, „ + i) Dk = 0,
k = j
_B:
—- + 2 AjBj + fAj = 0,
(10)
i^c;1 dt
dD
dt
-Ц^' + 2 A j Сj = 0, ^ + 4 A :D j = 0. (11)
-* J J /7 f- J J
CJ = ^, Dj =
(13)
где
T =
1
1 + у sinФ'
Ф = ю t + ф,
неизвестные коэффициенты j c, и d, были связа
ны соотношениями
i2 = 1
j-1
(1 - Y2) f2 - 8g Sk,j- Sk, „ + 1) dk
k = 1
(14)
>X( 1 - Sk, n + 1 ) dk k = j
где
Таким образом, благодаря заданию полей в форме (7), удается свести исходную нелинейную задачу динамики океана к решению системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, что позволяет найти класс точных аналитических решений задачи, описывающих радиальные колебания многослойного вихря.
3. точное аналитическое решение, описывающее инерционные колебания вихря
Опираясь на систему уравнений (9)-(11), будем искать периодические радиальные колебания вихря следующего вида
Aj = 2 УЮТ cos Ф, Б} = -2- f + lj Т, (12)
cj
d j j 1, ••♦, П,
Wj = const - радиус j-го слоя вихря при Ф = 0 (t = -ф/f), причем Wt > W2 > ... > Wn. Величины Wj -радиусы слоев в равновесном состоянии вихря, когда амплитуда колебаний полей равна нулю (у = 0). Уравнения подвижных боковых границ слоев находятся в явном виде Rj = Wj/ JТ( t). При таких движениях вихря предположение (1) выполняется при всех t > 0.
Таким образом, в рамках эквивалентно-баро-тропной модели динамики бароклинного океана (2)—(4) существует класс осесимметричных чисто инерционных колебаний приповерхностного (теплого) многослойного вихря. Толщины слоев и поля скорости в них описываются выражениями, по форме совпадающими с найденными для однородного вихря [8, 9]:
Uj = 1 у/ТcosФ • г, vj = f- 1 f + ljTr, (15)
/
hj = CjT
2 г
1-T —; W
j
j = 1, ..., n,
(16)
ю - подлежащая определению частота колебаний вихря, у, ф, у, Су и dj - константы. Подстановка выражений (12) и (13) в уравнения (8)-(11) показывает, что для их выполнения необходимо, чтобы, во-первых, частота колебаний вихря была равна инерционной частоте, т.е. ю = /, во-вторых, чтобы
где Т = [1 + у 8т(/ + ф)]-1.
Для регулярности решения (15), (16) должно выполняться ограничение на амплитудный параметр |у| < 1, которого, однако, недостаточно, чтобы толщины всех слоев Ну были положительны на отрезках 0 < г < Яу в течение всего инерционного периода. В работе [13] для двухслойного вихря в случае Я1 = Я2 показано, что допустимые значения параметра у лежат в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.