научная статья по теме НЕЛИНЕЙНЫЕ ИОННО-ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В КВАНТОВО-ВЫРОЖДЕННОЙ ТЕПЛОЙ ПЛАЗМЕ, СОДЕРЖАЩЕЙ ПЫЛЕВЫЕ ЧАСТИЦЫ Физика

Текст научной статьи на тему «НЕЛИНЕЙНЫЕ ИОННО-ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В КВАНТОВО-ВЫРОЖДЕННОЙ ТЕПЛОЙ ПЛАЗМЕ, СОДЕРЖАЩЕЙ ПЫЛЕВЫЕ ЧАСТИЦЫ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2011, том 37, № 1, с. 68-78

ПЫЛЕВАЯ ПЛАЗМА

УДК 533.9

НЕЛИНЕЙНЫЕ ИОННО-ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В КВАНТОВО-ВЫРОЖДЕННОЙ ТЕПЛОЙ ПЛАЗМЕ, СОДЕРЖАЩЕЙ ПЫЛЕВЫЕ ЧАСТИЦЫ © 2011 г. А. Е. Дубинов, Д. Ю. Колотков, М. А. Сазонкин

Национальный исследовательский ядерный университет "Московский инженерно-физический институт", Москва, Россия "Саровский физико-технический институт", Саров, Нижегородская обл., Россия Поступила в редакцию 26.05.2010 г.

Окончательный вариант получен 21.07.2010 г.

Изучается распространение ионно-звуковых волн в бесстолкновительной незамагниченной пылевой плазме, которая содержит вырожденные газы ионов и электронов, находящихся при ненулевых температурах. В рамках линейной теории выведено дисперсионное уравнение для изотермических ионно-звуковых волн и найдено точное выражение для линейной скорости ионного звука. Вычислена зависимость линейной скорости ионного звука от концентрации пыли в плазме. Анализ дисперсионного уравнения позволил найти области параметров задачи, в которых можно искать решения в виде солитонов. В рамках нелинейной теории получено и проанализировано точное решение исходных уравнений. Анализ выполнен методом псевдопотенциала Бернулли. Определены диапазоны фазовых скоростей периодических ионно-звуковых волн и скоростей солитонов. Показано, что эти диапазоны не пересекаются и что скорость солитона не может быть меньше линейной скорости ионного звука. Рассчитаны профили физических величин в периодической волне и в солито-не. Вычислена зависимость критической скорости солитонов от концентрации пыли в плазме.

1. ВВЕДЕНИЕ

В последние несколько лет начались и интенсивно продолжаются теоретические исследования волн и неустойчивостей в плазме, содержащей в качестве своих компонентов вырожденные электронные и ионные газы, а также пылевую фракцию в виде взвешенных в плазме пылинок, капелек, кластеров или крупных молекул (для краткости — вырожденная пыле-ионно-элек-тронная плазма, ВПИЭП). Этот повышенный интерес к ВПИЭП обусловлен появившимся в печати предположением о существовании такой плазмы во внутренних областях аккреционных дисков вблизи компактных звездных объектов.

Можно назвать множество работ, появившихся в печати за последнее время, посвященных различным процессам в ВПИЭП (см., например, [1—30]). Так, в работах [1—8] рассмотрены линейные и нелинейные модели пыле-акустических волн и пылевых двойных слоев в ВПИЭП, в работах [6, 9—15] — модели ионно-акустических волн, в [19] — нижне-гибридные волны в замагничен-ной ВПИЭП, в [20] — магнитозвуковые волны, в [21] — ионно-потоковая неустойчивость, а в [22— 25] — неустойчивость Джинса в гравитирующей ВПИЭП. Новые электростатические моды в ВПИЭП обсуждаются в [26—28], а в работах [29, 30] рассмотрено возбуждение волн движущимися в ВПИЭП тестовыми зарядами.

Практически во всех указанных работах применялся газодинамический подход, основанный на уравнениях динамики вырожденных газов [31,

32], в которых вырожденные компоненты плазмы считались холодными, т.е. находящимися при нулевой температуре и подчиняющиеся одному из уравнений состояния холодных ферми-газов (в зависимости от размерности газа): — для 3Э-ферми-газа:

Р = 5 е РИо — для Ш-ферми-газа:

/ Л 5/3

П_

V поо

Р = 3 е Рп0

/ л3

п

V по у

(1)

(2)

где р — давление, п — концентрация, п0 — начальная концентрация, б Р — энергия Ферми.

Такой подход сильно упрощает математические выкладки, но не всегда позволяет адекватно описать волновые процессы в реальной квантовой плазме, например он не может описать явления нагрева и остывания плазмы в фазах волны при сжатии—разрежении.

Недавно математические трудности, возникшие при разработке нелинейной теории волн в вырожденных плазмах ненулевой температуры, были преодолены с помощью нового метода псевдопотенциала Бернулли [33—37] и аналитического вычисления интегралов Ферми—Дирака [38, 39], в результате чего была создана нелинейная теория изотермических электронных ленг-мюровских волн в вырожденной плазме при произвольной ненулевой температуре [39]. Чуть

позднее в работах [40—42] этот подход был продолжен и на другие волновые процессы.

Целью данной работы является развитие нелинейной теории ионно-звуковых волн в ВПИЭП, в которой температуры электронного и ионного газов ненулевые и не равны друг другу, а пылинки в силу своей большой массы — неподвижны. Фактически, данная работа — продолжение работ [36, 39, 42]. Здесь используются их основные положения: двухжидкостная газодинамика с безынерционными электронами, массивными ионами и бесконечно тяжелыми пылинками, точная безынтегральная форма уравнений состояния теплых ферми-газов и метод псевдопотенциала Бернулли.

2. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ

Рассмотрим следующую модель ВПИЭП: плазма находится в стационарном состоянии, столкновениями между частицами пренебрегаем. Плазма однородно заполняет безграничное пространство и состоит из вырожденных ионного и электронного газов, находящихся при ненулевой температуре. Также в ней взвешены пылинки, волновое движение плазмы считается нерелятивистским, внешнее магнитное поле отсутствует.

Поскольку масса электронов много меньше массы ионов, то электроны можно рассматривать как безынерциальные частицы. Пыль имеет бесконечно большую массу по сравнению с ионами и неподвижна. Тогда, в силу большей подвижности электронов, по сравнению с ионами заряд пылинок будет отрицательным. Примем для простоты, что при распространении волны он не меняется (из работы [36], в которой рассматривались ионно-звуковые волны в пылевой плазме с макс-велловскими ионами и электронами, следует, что учет изменчивости заряда пылинок в волне практически не виляет на характеристики самой волны).

Обозначим заряд электронов символом е < 0, а заряд ионов (-е) > 0. Тогда условие квазинейтральности для невозмущенной плазмы будет иметь вид еп01 - еп0е - дапа = 0, где пы и п0е — концентрации ионов и электронов соответственно, пй — концентрация пылинок, — их заряд. Для описания заряда пылинок введем параметр а, показывающий, какая часть отрицательного заряда ВПИЭП перешла на пылинки в процессе их зарядки, а = длпл/епы. Тогда п0е = (1 - а)пы. При этом случай а = 0 соответствует вырожденной плазме, состоящей только из ионов и электронов, а для а = 1 решаемая задача будет математически эквивалентна задаче об электронных волнах на неподвижном нейтрализующем фоне.

Уравнения, определяющие одномерную динамику ионной компоненты в волне, имеют следующий вид.

Уравнение непрерывности:

= 0.

dn + д (ум) _ dt дх

Уравнение движения:

dvi + v _ e дФ__L дп

dt 1 дх m дх ntm дх

Уравнение Пуассона:

д

—Ф = 4ne (n - ne - an0i).

дх

(3)

(4)

(5)

Дополним систему уравнением состояния теплого ферми-газа (газа ионов и электронов). Оно имеет вид неявной, параметрически заданной функции и содержит интегралы Ферми—Дирака, которые долгое время считались не берущимися. Сейчас, следуя [39], мы можем представить их в безынтегральном виде:

,(и Т. \= (m'eekTi.e)

1 1 i,e) „,1/2 3/2*

3/2

П(Ч Т ) = - (mi,ekTi,e) V\(ie1i,e) ,1/2 312

V2

- exp

V (

Mi,

~l/2 3/2 ' ,.3Li5/2

2' n' mi en

-exp

kTt ч

', e

\

kT

(6) (7)

,e У

где — химические потенциалы электронного и ионного газов, Т,е — их температура, Ыу (...) — полилогарифм индекса V [43].

В пределе Т,е ^ 0 уравнения состояния теплых ферми-газов (6), (7) сводятся к явным уравнениям состояния холодных ферми-газов приближения Томаса—Ферми

Pei =

(3п2)

V3 2 п

5me

V3 = 2

5/3

(8)

V n0e,ij

Считаем, что в волне Т = T0i = const и Te = = T0e = const, т.е. волновой процесс сжатия-разрежения является изотермическим. Для обоснования возможности изотермического процесса в волне, следуя [34], отметим, что вырожденная плазма может быть одновременно бесстолкнови-тельной и идеальной, и в такой плазме термодинамическое равновесие может устанавливаться за счет некоррелированных кулоновских межчастичных взаимодействий.

В уравнении Пуассона (5) необходимо также учесть вклад электронной компоненты. Для этого требуется записать уравнение динамики электронного газа в виде (4) с учетом уравнения состояния (6), (7) и me ^ 0, а затем решить задачу о распределении частиц в однородном потенциальном поле, получив таким образом барометрическую формулу для вырожденного теплого электронного газа. Этот вывод был проделан в работах [42, 44], мы опускаем его и даем готовый вид барометрической формулы

Пе = П.

0е ~

LiV21 -exp

Й0е - еф кТПе

LiV21 - exp

И0е кТо,

(9)

где ф — электростатический потенциал.

Далее нам еще понадобятся основные характеристики плазмы, вывод которых стандартен (см., например, [42]) и поэтому опущен.

Квадрат ионной плазменной частоты:

2 4пе n0

ю,-

m

Квадрат длины Дебая для электронов: ,2 _ Ы3/2(-ехр(ц0е/кТ0е)) кГое _

^ Ее — / \ 2 —

(-ехр(цое/кТ0е))4пе Пое — LiV2 (-ехр(цое/кТое)) кТое

(-ехр(цое/кТое))4пе2(1 - аП

Квадрат длины Дебая для ионов: х2 = Цу2(-ехр(^о,/кТо,)} кТы ' ^^ (-ехр(^о;/кТо;)} 4яе2По;-

(10)

(11)

(12)

число и частота возмущения и у = -1. Такая запись переменных означает, что гармоническое возмущение бежит вдоль оси 0 х с фазовой скоростью V = ю/к. При этом невозмущенные значения пог и связаны формулой (6).

При малом возмущении формулы (6) и (9) принимают вид

П = По-

(mkT )3/2 V П mfi

-exp

_Ë0L кТо

Ц i

0i J

кТс-:

(17)

пе = n

(18)

3. ЛИНЕИНАЯ ТЕОРИЯ

ИОННО-ЗВУКОВЫХ ВОЛН

Перед тем, как перейти к построению линейной теории ионно-звуковых волн в ВПИЭП, сделаем несколько коротких замечаний, объясняющих, почему линейная теория обязательно должна предварять нелинейную. Во-первых, основной вопрос, который интересует при рассмотрении различных типов волн, связан с определением областей в пространстве параметров, где существуют периодические волны и уединенные волны — солитоны. С помощью линейной теории можно надежно определить область существования на плоскости (ю,к) периодических волн, а также указать диапазоны скоростей, в которых следует искать решение в виде уединенной волны. Во-вторых, для упрощения записи исходных уравнений, все переменные обычно нормируют, что позво

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком