ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2008, том 34, № 5, с. 442-452
НЕЛИНЕЙНЫЕ ^^^^^^^^^^^^^^ ЯВЛЕНИЯ
УДК 533.9
НЕЛИНЕЙНЫЕ ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ВЫРОЖДЕННОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛАЗМЕ
© 2008 г. А. Е. Дубинов, А. А. Дубинова*
Саровский государственный физико-технический институт, Нижегородская обл., Россия *Высшая школа общей и прикладной физики, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, Россия Поступила в редакцию 13.07.2007 г. Окончательный вариант получен 24.09.2007 г.
Получено, исследовано и точно решено нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее колебания химического потенциала в стационарной одномерной волне, распространяющейся в вырожденном электронном газе на неподвижном нейтрализующем фоне. Получено, что фазовая скорость волны ограничена снизу критическим значением. Найдено точное значение критической фазовой скорости.
РДСБ: 52.35.Fp, 52.35.Mw
ВВЕДЕНИЕ
В последние несколько лет увеличилось количество публикаций, развивающих теорию нелинейных волн и структур в вырожденной плазме. Это объясняется тем, что благодаря стремительному развитию электрофизических и лазерных технологий к каноническим примерам вырожденной плазмы твердого тела (например, электрон-дырочная плазма полуметаллов типа висмута и полупроводников типа антимонида индия; см. обзор [1]) добавились новые примеры, которые условно можно назвать газофазными вырожденными плазмами. К ним относятся плазма плотных микропинчей [2], лазерная плазма мишеней ИТС [3] и лазерная плазма, созданная мощными фем-тосекундными лазерными импульсами, прожигающими твердое тело [4].
Описание волн в такой плазме возможно как в рамках кинетической теории [5], в которой невозмущенная функция распределения электронов может определяться законом Ферми-Дирака (см., например, [6, 7]), так и в рамках более простой гидродинамической теории, в которой уравнение движения согласовано с уравнением состояния вырожденного ферми-газа. Можно назвать множество недавних работ, реализующих этот поход (см., например, [8-19]). Так, в [9] обосновано гидродинамическое описание компонент вырожденной плазмы. Используя подобное описание, в [8] в рамках линейной теории получено и проанализировано дисперсионное уравнение электронных колебаний в вырожденной плазме, а в [10, 14, 19] развивается нелинейная теория ионного звука: в плазме с вырожденными электронами и ионами [10, 14] и в плазме, когда вырождены только
электроны [19]. В работах [11-13, 16, 17] гидродинамическое описание вырожденной плазмы применено для пылевой плазмы: в [11-13, 17] в нелинейной теории пылевого звука, а в [16] - в теории двойных пылеакустических слоев. Кроме того, в [18] строится теория ионно-акустических волн в вырожденной электрон-позитрон-ионной плазме. Приведенные примеры работ, развивающих теорию плазмы с вырожденными компонентами, показывают актуальность и популярность данной темы.
Во всех указанных работах [8-19] было использовано уравнение состояния холодного ферми-газа (Т = 0), для того чтобы исключить возникающие при учете температуры математические трудности. Однако известно, что распределение вырожденного электронного газа по энергиям характеризуется двумя параметрами энергетического разброса: химическим потенциалом ц (или энергией Ферми) и температурой Т, в то время как для классического идеального газа разброс определяется всего лишь одним параметром -только температурой Т. Поэтому использование холодного уравнения состояния существенно обедняет рассматриваемую ситуацию, так как сводит задачу к однопараметрической, качественно не отличающейся от классического идеального электронного газа, и не позволяет изучить конкуренцию обоих параметров ц и Т при их влиянии на структуру волны.
Еще одна особенность работ [8-19] заключается в том, что в них в математических выражениях использовалось значение химического потенциала ц (т.е. энергии Ферми) невозмущенной плазмы, т.е. он предполагался постоянным. Та-
НЕЛИНЕЙНЫЕ ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
443
ким образом, вариация ц в волне не отслеживалась, благодаря чему была частично утеряна наглядность. Вместе с тем, согласно принципу Паули сжатие (увеличение концентрации) ферми-газа сопровождается увеличением химического потенциала ц, и наоборот, разрежение сопровождается уменьшением ц.
В данной работе выведено, исследовано и точно решено уравнение, описывающее структуру нелинейных волн в вырожденной электронной плазме в рамках гидродинамического изотермического подхода, использующего уравнение состояния нагретого ферми-газа и учитывающего вариацию ц в волне. Полученное уравнение допускает анализ структуры волны методом псевдопотенциала, что также было проделано. Это позволило определить максимальные амплитуды волны и критическую фазовую скорость волны.
где использована давно известная, но нечасто употребляемая в физических задачах функция
Ыу(х) [24-26], называемая полилогарифмом1 и определяемая как
x d т .
Liv( x) = ^ xv, dXLiv( x) = x Liv _!(x). (6)
k = 1
dx
В итоге, уравнение состояние нагретого ферми-газа запишется в следующем безынтегральном параметрическом виде
п(ц, г) = -emm!:ri2)LiJ-exp£1 -
2п и3
kT
,3/2
( mkT) ~ . l ц |
,1/2 3/2 ,, 3Li3/2| -еХРГ^ I>
1/2 3/2 3
2 п n
kT
(7)
1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ НАГРЕТОГО ФЕРМИ-ГАЗА
Уравнение состояния нагретого вырожденного ферми-газа хорошо известно [20, 21]. Оно записывается в параметрическом виде с использованием интегралов Ферми-Дирака:
5/2
n(ц, T)
_ (2 mkT)
3/2
1/2
z dz
2 п2 П3
exp (z - n) + 1'
p(Ц, T) =
2 (2 mkT)
5/2
3/2
z dz
3 4тп2П3 JexP(z-П) + 1
(1)
(2)
где п и р - концентрация и давление в вырожденном электронном ферми-газе, т - масса электронов, г = е/кТ - энергия электронов, п = ц/к,Т. Долгое время интегралы Ферми-Дирака
Ifo(v,n) = J
о
zv dz
exp (z - n) + 1
(3)
и родственные им интегралы Планка
Ip(v, n) = J
о
z dz
exp (z - n) - 1
(4)
Ifd, p(v, n) = +r(v + 1) Liv + 1 (-exp n),
(5)
р(Ц, T) = -
Г| 2)Li5/2i-expkT
2 (2 m kT)
3 4тп2П3
(mkT)5/2 Li l exp M_1
21/2 п 3/2 m П 3 5/21 -exp kT).
(8)
Уравнение состояния в таком простом безынтегральном параметрическом виде легко может быть использовано в гидродинамических теориях нагретого ферми-газа. В пределе Т —► 0 уравнение состояния (7)-(8) нагретого ферми-газа переходит в холодное уравнение состояния явного вида
p
n2 2 2/3 5/3
(3п ) n ,
5 m
(9)
в (1)-(2) считались не берущимися аналитически [22], и для них использовались различные приближения [20, 23]. Это обстоятельство сдерживало применение уравнения состояния нагретого вырожденного газа в аналитических моделях и требовало применения численных схем.
Однако, как стало недавно ясно [24, 25], эти интегралы могут быть вычислены аналитически в виде
варианты которого использовались в [8, 15, 18, 19].
На рис. 1 показаны изотермы ферми-газа, полученные по формулам (7)-(9); ниже "нулевой" (холодной) изотермы ферми-газ находиться не может.
Следует отметить, что в [9-14, 16, 17] использовалось другое холодное уравнение состояния, отличное от (9): р = а^3, где а - постоянная, N -погонная на единицу длины концентрация частиц. Разумеется, такое холодное уравнение состояния является предельным случаем другого, отличного от (7)-(8), уравнения нагретого ферми-газа с другими изотермами. Поскольку в двух больших группах работ используются две разные модели ферми-газа, даже в одном и том же выпуске журнала (см. [14, 15]), то, как видим, ситуация требует некоторого пояснения.
1 В книге [26] полилогарифм обозначается как Lv(x). В ма-
тематических пакетах программ символьной математики
Maple и Mathematica полилогарифм Liv(x) обозначается, как polylog(nu, x) и PolyLog[nu, x], соответственно.
о
Р 50
40 30 20 10
э2
—I = 4пе(п - По), д -
где п0 - невозмущенная концентрация плазмы. Будем считать, что начальное состояние электронов {ц0, Т0, п0, р0} однородно и соответствует начальной точке А на рис. 1.
Из уравнения состояния (7)-(8) и правила дифференцирования полилогарифма следует, что последний член уравнения движения (11) может быть представлен как
1др = дЦ
п д - д -
ц_д!
кТ дz'
(13)
10
п
Рис. 1. Изотермы идеального нагретого ферми-газа в нормированных величинах (температура и химический потенциал нормированы на кТ' = 1 эВ, концентрация на п = (ткТ ')3/2/21/2п3%3 = 0.24 х 1020 см-3, давление на р' = (ткТ')5/2/21/2п3/2тЙ3 = 0.24 х 1020 эВ/см-3; закрашенная область недоступна, точка А соответствует невозмущенной плазме (начальная точка), кривые: 1 - для кТ = 0 (предельная холодная изотерма); 2 - для кТ = 2; 3 - для кТ = 4.
Эта альтернатива решается тем, что уравнение (9) описывает динамику трехмерного ферми-газа в трех-, двух- и одномерных процессах сжатия-растяжения, а кубическое уравнение описывает динамику одномерного ферми-газа только в одномерных процессах. Вывод обоих уравнений состояния основан на интегрировании функции распределения Ферми-Дирака по трехмерному или по одномерному (т.е. на отрезке) объему, соответственно.
Так как реальных примеров одномерного ферми-газа можно привести не так уж и много, то наш выбор (7)-(8) представляется более востребованным.
Будем рассматривать волну электронной плотности как изотермический процесс, поэтому последнее слагаемое в (13) исчезает.
Пусть волна бежит вдоль направления z со скоростью V, для чего введем новую автомодельную переменную
д Т7й д
Е = - - VI — = -V — — = —
(14)
Фактически (14) означает, что мы переходим из лабораторной системы отсчета в новую систему, двигающуюся вместе с волной. В итоге система уравнений в частных производных (10)-(12) сведется с учетом (13) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
- ^+|( пи) = 0;
vйu + и—и = е йф 1 йц;
й Е —Е тй Е тй Е'
2
й ф
й Е 2
= 4 п е (п - п 0)'
(15)
(16)
(17)
Решение уравнения непрерывности при условии п = п0 при и = 0 есть
2. УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ВЫРОЖДЕННОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛАЗМЕ И ЕГО ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ
Будем исходить из следующей стандартной системы уравнений динамики вырожденного электронного газа, нейтрализованного неподвижным однородным ионным фоном:
дп д
тг- + ))-( пи) = 0; д г д-
ди + ди = е дф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.