МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2009
УДК 539.3
© 2009 г. Б.Х. ЭШМАТОВ
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОУПРУГОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА И ИНЕРЦИИ ВРАЩЕНИЯ
Рассмотрены нелинейные задачи о колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругой круговой цилиндрической оболочки по уточненной теории Тимошенко, учитывающей деформацию сдвига и инерцию вращения, в геометрически нелинейной постановке. Данные задачи сводятся к системам нелинейных интегродифференциальных уравнений с сингулярными ядрами релаксации, которые решаются методом Бубнова-Галеркина в сочетании с численным методом, основанным на использовании квадратурных формул. Исследована численная сходимость метода Бубнова-Галеркина. В широких диапазонах изменения физико-механических и геометрических параметров изучено динамическое поведение оболочки. Показано влияние вязкоупругих свойств материала на процесс нелинейного колебания и динамической устойчивости круговой цилиндрической оболочки. Приведены сравнения результатов, полученных по различным теориям.
1. Введение. В настоящее время многочисленных исследователей привлекают проблемы деформирования, прочности и устойчивости композитных тонкостенных обо-лочечных конструкций. Такие конструкции, испытывающие как статические, так и динамические внешние воздействия, находят широкое применение в самых различных отраслях машиностроения, авиаракетостроения, судостроения и многих отраслях строительной индустрии.
При разработке методов расчета конструктивных элементов из композитных материалов в соответствующей математической формулировке задачи должны быть отражены характерные особенности деформирования такого материала, которые могут существенно влиять на их несущую способность. Традиционные модели расчета, примененные к композитным конструкциям, в ряде случаев приводят к неверным выводам относительно их эксплуатационных возможностей.
Прочность конструкций из современных композиционных материалов в значительной степени определяется деформациями поперечного сдвига. Классическая теория оболочек этими эффектами пренебрегает, что делает актуальным развитие общей теории оболочек. Основная идея заключается в представлении перемещений или напряжений в оболочке рядами; различные подходы отличаются друг от друга видом этих разложений. Однако наибольшее распространение в практике получили методы, основанные на принятии некоторых гипотез относительно распределения перемещений или напряжения по толщине. Наряду с классической гипотезой Кирхгофа-Лява [1, 2] получили распространение модели Тимошенко для балок [3], Миндлина и Уфлянда для пластин [4, 5], Рейсснера и Амбарцумяна для оболочек [6, 7], согласно которым при исследовании процессов, происходящих в тонкостенных конструкциях, необходимо учитывать и поперечные сдвиги. Отметим также, что использование модели Кирхгофа-Лява хотя и позволяет получить достаточно точные решения ряда практических задач, в большинстве случаях является недостаточно полным [1]. В связи с этим воз-
никает необходимость определения предела применимости различных гипотез при решении динамических задач о колебаниях и устойчивости оболочек в геометрически нелинейной постановке.
Кроме этого, как показывают многочисленные экспериментальные и фундаментальные исследования, большинство конструкций из композиционных материалов обладают ярко выраженными вязкоупругими свойствами [8, 9].
Решению нелинейных задач о колебаниях и динамической устойчивости упругих цилиндрических оболочек на основе гипотезы Тимошенко, посвящены работы [1, 7, 10-12].
Нелинейные задачи о колебаниях и динамической устойчивости цилиндрических оболочек в вязкоупругой постановке согласно гипотезам Кирхгофа-Лява и Тимошенко изучались сравнительно мало [13-16]. Эти задачи исследовались либо по дифференциальной модели Фойгта [13], либо согласно физической модели Больцмана-Воль-терра, но в качестве ядер релаксации принимались экспоненциальные ядра [14, 15].
Однако, как показывают исследования [9, 17], дифференциальная модель Фойгта и интегральная модель Больцмана-Вольтерра при экспоненциальном ядре релаксации не могут описать реальные процессы, происходящие в оболочках в начальные моменты времени и пригодны во многих случаях лишь для описания процессов ползучести в материалах с неизменяющимися свойствами во времени. Выбор экспоненциального ядра при расчетах не случаен. При таком ядре решение данной задачи упрощается. Полученные при расчетах системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с регулярным ядром путем дифференцирования сводились к решению нелинейных дифференциальных уравнений, которые в большинстве случаях решались известным численным методом Рунге-Кутта [10, 14, 16]. До сих пор существовавшие методы не позволяли решать такие задачи с сингулярными ядрами типа Абеля, Работнова [9], Колтунова, Ржаницына [17].
Благодаря разработанному численному методу [18], основанному на использовании квадратурных формул, стало возможным решать системы нелинейных интегродиф-ференциальных уравнений с сингулярными ядрами, обладающими достаточным количеством реологических параметров для описания реальных свойств материала оболочки. Данный метод обеспечивает достаточно высокую точность полученных результатов, универсален, дает возможность решать широкий класс динамических задач теории вязкоупругости и экономичен с точки зрения компьютерного времени [19]. На основе этого метода были получены множество численных результатов [20-25], хорошо сочетающихся с экспериментальными данными [1].
Отметим также, что в большинстве работ при исследовании нелинейных задач динамики упругих и вязкоупругих систем с целью упрощения предполагают, что динамический процесс можно рассматривать без учета распространения упругих волн [1]. В этом случае в уравнениях движения становится возможным отбросить тангенциальные инерционные члены относительно перемещений. Расчеты показывают, что решенные при этих предположениях системы уравнений относительно прогиба, функции напряжения и угловых перемещений во многих случаях дают удовлетворительные результаты. Однако при определенных физико-механических и геометрических параметрах в оболочках возникают такие динамические процессы, в которых учет распространения упругих волн необходим. По этому направлению в упругой постановке имеется ряд работ [10, 11], однако и в них не определены пределы применимости этих допущений.
Целью данной работы является исследование процессов нелинейного колебания и динамической устойчивости вязкоупругой круговой цилиндрической оболочки по обобщенной теории Тимошенко, учитывающей деформацию сдвига и инерцию вращения.
2. Математическая модель. Поставим задачи о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругой круговой цилиндрической оболочки длины Ь, радиу-
са Я и толщины к, изготовленной из однородного изотропного материала в геометрически нелинейной постановке с учетом деформации сдвига и инерции вращения. Физическую зависимость между напряжениями ох, оу, т^ и деформациями ех, еу, у , согласно модели Больцмана-Вольтерра, примем в виде [8]:
Л 2
1-ц
5 (1- Г * )(£ х - ЦЕу ), х О у, т ху =
ху 2 (1 + ц)
(1- Г* )у
ху
Г * Ф = ]г( г - т)ф(т) йт
(2.1)
где Г* - интегральный оператор с ядром релаксации Г(г), ц - коэффициент Пуассона, Е - модуль упругости. Здесь и в дальнейшем символ х е у указывает, что остальные соотношения получаются циклической перестановкой индексов.
Связь между деформациями в срединной поверхности ех, еу, у и перемещениями и, и, ц> по направлениям х, у, г с учетом начального прогиба х0 = х0(х, у) примем в виде [1, 2]:
д и 1
е =--I—
Р х дх 2
дх) _
д х )
2 /д^п\2!
ЭмЛ2 - (д*о)2 1Л ду ) I ду ) _
д V 1. , 1
Ру = ду " Я(х - Х) + 2
= ди ди дхдх д*д*
^ху = д у + д х + д х д у д х д у
(2.2)
Геометрические соотношения же между деформациями ех, еу, уг и угловыми пе-
ремещениями ?х, уу принимаем в виде [1]
_д ¥х
дх
/г
< ху
(д ¥х + д?)
г I ду дх )
(2.3)
где ех, еу и у определяются из соотношений (2.2).
С учетом (2.1) и (2.3) изгибающие, крутящие моменты Мх, Му, Н и поперечные силы вх, ву имеют вид [21-24]:
Мх = - (1-Г • ^ + , х е * Н = «ЬЦО (Г. + цд^О
в = К 22(ТЕгц)(Г *)
-д( х - х0) дх
+ ¥ х
х е у
(2.4)
где безразмерный коэффициент К определяется из [4-7]; Э - цилиндрическая жесткость оболочки.
Подставляя (2.1) и (2.4) в уравнения движения [1]:
дох дтху _х + ху
дх ду
д2 и дТху дОу д2и дг2 дх ду дг2
I (двх дву) 1 д ( дх дх) д ( дw дх) а
II аТ +1?) + Я Оу + дх 1Ох а* + тху д*) + ду(тху дх + Оу д*) + I - Р
2
д х
д г 2
Ох =
о
г
е
х
о
дМх дН п Н э ¥х п
+ йх - Р -г--—Т = 0' х ° У дх ду х 12 э г2
получим систему нелинейных интегродифференциальных уравнений вида:
(i - г * )f ^ + ц ^ + bi^l - р 1_£0 (1 1 \ дх ц дх 2 ду 1 р E д t2
(i - г * + Дх + Ь-Ц ^ 1 - р fv (1 1 \ Эу +Ц Э у + 2 Э xl р E 3í2
K2 ( i- ц)
(1-г *)
гэ2( w - w0) Эух э2( w - w0) Эу
- R(1-г * )(е у + цех) - дх
Эх2 ' Эх д w
д у
2
ду
дх (1 - г * )(е х + цеу) + Ц-D (1 - г * )Гх
(2.5)
Э_
ду
д w^ ч 1- цЭ w,-.
ду(1 - г * )(Бу + цех) + (1 - г * )Ух
q (1 - ц2) , р 1 - ц 2 d 2 w
Eh р E dt2
(i - г* J^ + ^ + 1±ц- 6K2( 1 - ц )
( - )1 Эх2 2 эу2 2 ЭхЭу" h2
Э(w - w0) Эх
+ ¥ х
^-0- х « у
где р - плотность материала оболочки. Заметим, что система уравнений (2.5) является достаточно общей. Из неё в частном случае можно получить различные системы уравнений по различным теориям.
Если динамический процесс рассматривать без учета распространения упругих волн, то система уравнений (2.5) упрощается. Становится возможным отбросить инерционные члены в первых двух уравнениях. Эти два уравнения будут удовлетворяться, если ввести функцию напряжений в срединной поверхности Ф по формулам [1, 2]:
ох - Э2Ф/Эу2, оу - Э2Ф/Эх2, тх
-Э2 Ф/дхду
Тогда уравнения движения элемента вязкоупругой цилиндрической оболочки относительно поперечного прогиба ^ = ^(х, у, г), функции напряжения Ф = Ф(х, у, г) и угловых перемещений ух = ух(х, у, г), уу = ¥у(х, у, г) примут вид [21-24]:
K2 E 2 ( 1 + ц )
(1-г*)
v 2 (w - w0)+t¥¥£j
1Э2Ф
+ + L(w, ф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.