ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2012, том 113, № 12, с. 1180-1192
^ TЕОРИЯ
МЕТАЛЛОВ
УДК 537.611.3
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В ГЕЛИКОИДАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ СТРУКТУРАХ
© 2012 г. В. В. Киселев, А. А. Расковалов
Институт физики металлов УрО РАН, 620990 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18
E-mail: kiseliev@imp.uran.ru Поступила в редакцию 20.04.2012 г.; в окончательном варианте — 15.05.2012 г.
Для квазиодномерного ферромагнетика без центра инверсии в рамках модели sine-Gordon показано, что полный набор нелинейных мод геликоидальной структуры содержит частицеподобные со-литоны и диспергирующие спиновые волны. Описаны новые типы солитонов в геликоидальной структуре. Установлено, что столкновения солитонов друг с другом сопровождаются не только изменением координат их центров и фаз, но и сдвигами самой структуры. Выявлены возможности диагностики солитонов при наличии внешнего магнитного поля, перпендикулярного оси магнитной спирали. Теоретическое описание нелинейной динамики спиновых волн сведено к решению линейных интегральных уравнений.
Ключевые слова: геликоидальная структура, уравнение sine-Gordon, задача Римана, кинки, бризеры.
ВВЕДЕНИЕ
Пространственно периодическое основное состояние часто встречается в магнитных материалах. Например, плоскопараллельные доменные и геликоидальные структуры теоретически описываются в терминах одномерной решетки кинков. Решетка кинков сама по себе является сильно нелинейным состоянием магнитоупорядоченной среды. Аналитическое описание коллективных, в том числе солитоноподобных, возбуждений на таком фоне — трудная задача. Ее решение возможно в рамках упрощенных моделей, которые учитывают основные взаимодействия, и в то же время допускают интегрирование. При физически оправданных приближениях, уравнения Лан-дау—Лифшица для ферро- и антиферромагнетиков с преобладающей анизотропией типа "легкая плоскость" и остаточной анизотропией в базисной плоскости часто сводятся к универсальному нелинейному уравнению sine-Gordon [1—4].
Несмотря на принципиальную интегрируемость модели sine-Gordon, поиск ее явных решений в значительной степени осложнен наличием существенно нелинейного неоднородного состояния среды. В настоящее время, их можно найти только с помощью специальных методов интегрирования. В работах [5—7] была предложена модификация метода обратной задачи рассеяния для аналитического описания в рамках эллиптического уравнения sine-Gordon двумерных дефектов в несоизмеримой (полосовой доменной) структуре магнетиков: солитонных вихрей и вих-
ревых решеток, — а также несолитонных струнных конфигураций из отрезков доменных границ в полосовой структуре (спиральных диполей, кольцевых доменов, праобразов блоховских линий и т.д.).
В настоящей работе теоретическое описание нелинейной динамики квазиодномерной геликоидальной структуры магнетиков без центра инверсии сведено к анализу решений гиперболического уравнения sine-Gordon. С помощью процедуры "одевания" предсказаны и аналитически описаны новые типы солитонов. В отличие от образования спиновых волн, формирование соли-тонов всегда связано с локальными сдвигами спиральной (полосовой доменной) структуры. Проанализированы особенности взаимодействия солитонов друг с другом и с фоновой структурой. Показано, что полный набор нелинейных нормальных мод геликоидальной структуры состоит из солитонов и спиновых волн. Найден спектр энергии для нелинейных возбуждений в спиральной структуре.
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим квазиодномерную (вдоль оси Oz) спиральную структуру. Будем описывать распределение намагниченности в структуре векторным
полем M(z, t), где M2 = M02 = const, z, t — пространственная координата и время. Для квазиодномерного ферромагнетика без центра инверсии с анизотропией типа "легкая плоскость" (плоскость xOy) плотность энергии в постоянном
внешнем магнитном поле Н = (Н, 0, 0) (Н> 0) записывается таким образом:
VP = 2 (5 гМ)2 +
+ к (М1д ZM2 - M2d ZM\) + в M32 - M1H.
(1.1)
ym
X [р - а(дгФ)2 - 2кд zф] + H cos © cos Ф = 0;
ym
1 sin ©5t © + ад z (sin2 ©5 гФ) +
(1.2)
H
+ кд 7 sin 0--sin © sin Ф = 0,
* Mo
где y — магнитомеханическое отношение. Для реальных материалов со спиральной структурой параметры задачи удовлетворяют неравенству [8]
H <KL < р.
M0 а
Тогда, полагая 0 = я/2 + 9 (9 ^ 1), из первого уравнения (1.2) находим, что 9 « (yM0P)-1S^, в результате второе уравнение (1.2) в главном приближении сводится к модели sine-Gordon [8, 9] для расчета Ф
1 д2ф + ад 1Ф- —sin Ф = 0. (1.3)
Здесь а, Р > 0 и к — постоянные обменного взаимодействия, магнитной анизотропии и взаимодействия Дзялошинского соответственно. При H = 0 наличие в энергии (1.1) взаимодействия Дзялошинского (инвариантов Лифшица) приводит к идеальному спиральному упорядочению. Вектор M(z, t) лежит в плоскости xOy и при смещении вдоль оси Oz поворачивается так, что образуется спиральная структура с неизменным шагом, период l0 которой несоизмерим с постоянной кристаллической решетки a и превосходит ее во много раз: l0 ~ а/к > a. Внешнее поле H стремится выстроить магнитные моменты атомов вдоль направления Ox. В результате конкуренции противоположных тенденций, вдоль оси Oz формируются протяженные области шириной L0 (домены), в пределах которых распределение намагниченности остается почти однородным. Вблизи критического поля Hc (H < Hc) ширина
доменной стенки l0 ~ а/к ~ yjaM0/Hc <§ L0. Внутри доменных стенок сохраняется спиральный разворот намагниченности. При H > Hc система имеет соизмеримое ферромагнитное упорядочение.
При сильной легкоплоскостной анизотропии в параметризации поля M углами 0, Ф:
M = M0(sin 0 cos Ф, sin © sin Ф, cos 0),
даже в возбужденных состояниях геликоидальной структуры угол 0 близок к значению 0 = я/2, ^Ф ~ O(1/l0). Воспользуемся этим обстоятельством для построения упрощенной модели. В терминах 0, Ф уравнения Ландау—Лифшица квазиодномерного ферромагнетика имеют вид:
12
sin ©dtФ + адz© + sin © cos © х
(yM0 )2P '
M0
В безразмерных переменных Z = z^jH¡(aM0), t = = jyJp HM0t это уравнение примет стандартный вид
д2ф -д2'Ф + sin Ф = 0.
(1.4)
"Штрихи" над новыми переменными далее опускаем. В основном приближении распределение намагниченности определяется формулой M ~ M0(cos Ф, sin Ф, 0). В безразмерных переменных
плотность энергии ферромагнетика w = w /(MH) описывается выражением
w = - [(5,Ф}2 + (5^)2] + qd,Ф + (1 - cos Ф), (1.5)
где q = Ку] M0/(all).
Заметим, что выделить направление в базисной плоскости xOy может не только магнитное поле, но и остаточная квадратичная или кубическая анизотропия. Тогда в уравнении (1.4) аргумент синуса заменяется соответственно на 2Ф или на 4Ф. Постоянные остаточной анизотропии изменяются с температурой, поэтому параметр q в выражении (1.5) будет зависеть не от магнитного поля, а от температуры. В любом случае, после масштабных преобразований, теоретическое описание нелинейной динамики квазиодномерной спиральной структуры сводится к решению волнового уравнения sine-Gordon (1.4). Мы полагаем, что модель (1.4) дает упрощенное описание нелинейной динамики спиральных структур в таких соединениях как CuB2O4 и Cr1//3NbS2 [10, 11].
Отметим, что инварианты Лифшица могут быть индуцированы внешними полями [12, 13]. Например, свободная энергия антиферромагнетиков CoTiO3 и FeTiO3 содержит слагаемые c к ~ E, где E — компонента напряженности внешнего электрического поля вдоль тригональной оси Oz. В соединении ZnCr2Se4 инварианты Лифшица возникают под влиянием внешнего магнитного поля или деформации [4].
В зависимости от величины q основному состоянию системы отвечает либо однородное распределение параметра порядка Ф = 0 (mod2n), либо периодическая структура, для которой:
Ф = Фо(х) = п - 2am(x, k), х = z/k;
5хФо (L6)
cos 20 = sn(x, k), sin 20 = cn(x, k)
-dn(x, k),
где ат(х, к), 8п(х, к) и т.д. — эллиптические функции Якоби с модулем к (к2 < 1) [14, 15]. На периоде Ь0 = 2Кк функция ф0 изменяется на 2я, где К = К(к) — полный эллиптический интеграл первого рода. Согласно разложению [9],
5хФо = -2dnx = -K Е sech (х - 2Kp)
где р — целое, К = К(к'), к = - кизменения поля ф0 сосредоточены вблизи точек г = 2Ккр. В окрестности каждой из них с характерным размером 10 ~ 2Кк/п функцию ф0 можно аппроксимировать 2я-кинком, поскольку:
П K
; Id х'
sech (ж) =
п
= 4arctg I exp (-
L \ 2K'k !J
(1.7)
+ const.
nqk - 4E = 0,
(1.8)
где Е = Е(к) — полный эллиптический интеграл второго рода. Анализ показывает, что при q < 4/я реализуется соизмеримая ферромагнитная фаза (Ф = 0 (тоё2я)), а при q > 4/я — несоизмеримая геликоидальная структура. Период спиральной структуры можно изменять, меняя внешнее поле или температуру. При наличии магнитного поля, перпендикулярного оси магнитной спирали, вблизи точки Нс = (кя/4)2М0/а перехода по полю из несоизмеримой фазы в соизмеримую, период геликоидальной структуры в размерных переменных имеет вид:
Lo
aM0
ln
1
Hc U HJ H - 1
H < Hc.
вые задачи двух типов. Первый из них характеризуется условиями:
Ф(г, t) ^ ф20)(х) = Фо(х) при z ^ +да;
Л0),
Таким образом, решение (1.6) определяет одномерную решетку из 2я-кинков (1.7), разделенных протяженными областями Ь0, в пределах которых ф0(х) ~ 2^, где « — целое число.
Значения к и Ь0 определяются из условия минимума энергии единицы длины структуры [4, 9]
(1.9)
Ф(г, о ^ ф(0)(х) = 2яст + ф0(х + А) при г ^ -да,
где а = ±1. При а = 1 спиральная структура испытывает сжатие на период и дополнительное смещение вдоль оси Ог на расстояние кД, меньшее периода решетки кинков. В результате в одной из ячеек решетки кинков обязательно появится со-литон — лишний 2я-кинк поля Ф (доменная стенка) — с тем же топологическим зарядом (хираль-ностью), что и у остальных кинков (доменных стенок) структуры. Когда а = —1, происходит локальное расширение геликоидальной структуры на период и сбой при образовании полосовой структуры, такой, что в одном из ее доменов возникает лишняя доменная стенка с хиральностью, противоположной хиральностям остальных стенок структуры. При краевых условиях (1.9) в спиральной структуре может существовать н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.