УДК 551.461.24(262.81)
Нелинейные модели для оценки плотности распределения вероятности многолетних колебаний уровня Каспийского моря
А. В. Фролов*
Рассматривается нелинейная модель многолетних колебаний уровня Каспийского моря. Оценивается влияние испарения с Северного Каста и оттока морской воды в запив Кара-Богаз-Гол на многолетние колебания уровня моря. Приводятся плотности распределения уровня моря, полученные на основе решения уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова.
Введение
Моделирование многолетних изменений уровня Каспийского моря представляет задачу, важную в теоретическом и прикладном аспектах. Теоретический аспект задачи выражается в развитии теории стохастического резервуара как базовой модели многих гидрологических процессов, таких как колебания уровней проточных и бессточных водоемов, изменений запасов воды на водосборе, многолетних колебаний стока озерных и неозерных рек [5, 8, 9, 16, 21].
Интенсивное хозяйственное освоение прибрежной шельфовой зоны моря вызывает необходимость расчета характеристик уровенного режима моря, который выполняется на основе модели колебаний уровня моря [2, 14, 18]. Для моделирования многолетних колебаний уровней естественных водоемов (озер, внутренних морей) часто применяются линейные модели [8, 13, 14, 16]. Характерной особенностью таких моделей является наличие в них только отрицательной обратной связи в механизме колебаний уровня водоема, обусловленной переменностью площади зеркала водоема и (или) наличием оттока из водоема.
В то же время, по крайней мере, теоретически, можно допустить, что в формировании процесса колебаний уровня водоема в некоторых случаях возможно участие положительной обратной связи, обусловленной, например, зависимостью испарения с поверхности водоема от уровня воды в нем. На возможность существования такой зависимости указывалось, например, в [5, стр. 45]: "... высота слоя видимого испарения ... зависит, при прочих равных условиях, еще и от уровня моря".
Гипотеза о нелинейной зависимости испарения от уровня Каспия была высказана в [3, 7]. В работах [19, 20] впервые был предложен теплофизи-ческий механизм формирования указанной нелинейной зависимости. В сущности действие этого механизма заключается в том, что на мелководье
* Институт водных проблем Российской академии наук.
вода сильнее прогревается, причем чем меньше глубина, тем в большей степени она прогревается, что влечет за собой увеличение слоя испарения с уменьшением глубины.
Вид плотности распределения уровня Каспийского моря в общем случае зависит от типа модели, описывающей колебания уровня. Одномо-дальная плотность распределения уровня — свойство линейных моделей. Нелинейные модели с положительной обратной связью могут давать как одномодальное, так и бимодальное распределение. При бимодальном распределении уровень моря имеет два устойчивых состояния, в этом случае не только усложняется методика определения вероятностей уровня моря, но изменяются и сами эти вероятности. Поэтому определение вида плотности распределения уровня Каспия имеет особое значение для решения прикладных задач, связанных с расчетом характеристик многолетнего уро-венного режима моря.
В данной работе исследуется роль испарения с поверхности мелководной части моря — Северного Каспия — и оттока морской воды в залив Кара-Богаз-Гол в формировании важнейшей характеристики уровенного режима моря — плотности распределения уровня моря.
Основные определения, предположения и уравнения
В данной работе используются следующие определения.
1. Под глубиной моря будем понимать его максимальную глубину.
2. Критической глубиной водоема будем называть глубину начиная с которой слой испарения с поверхности водоема не зависит от глубины, т. е. становится постоянным.
3. Водоем будем называть глубоким, если его глубина превышает критическую глубину, и мелководным, если его глубина меньше критической.
4. Отметка уровня проточного водоема называется равновесной, если весь объем поступившей в водоем речной воды расходуется на испарение и (или) отток из водоема.
5. Отметка уровня водоема называется устойчивой (неустойчивой), если плотность распределения уровня моря имеет при такой отметке максимум (минимум).
6. Эффективным испарением с поверхности водоема называется разность между слоями испарения и осадков по отношению к зеркалу моря. Для краткости далее будем использовать термин "испарение".
При моделировании колебаний уровня Каспия в данной работе принимаются часто используемые следующие предположения:
— стационарность климатических условий на водосборе и в пределах акватории моря. Следствием этого предположения является выбор модели речного стока в море в виде стационарного случайного процесса (белый шум, авторегрессия первого порядка);
— зависимость между уровнем Каспия и площадью поверхности моря принимается близкой к линейной;
— техногенные изъятия из речного стока в море принимаются постоянными во времени;
— гидравлические условия в проливе, соединяющем море и залив Кара-Богаз-Гол, принимаются неизменными. Зависимость годовых объемов оттока от уровня моря задается в общем случае неубывающей функцией. 60
Особо стоит вопрос об определении зависимости слоя испарения от глубины моря. При использовании линейных моделей уровенных колебаний Каспия слой испарения считается не зависящим от уровня моря. В случае, когда рассматривается модель, приводящая к полимодальности плотности распределения уровня, зависимость испарения от глубины водоема должна иметь существенно нелинейный характер, причем под "существенностью" нелинейности понимается достаточно быстрое уменьшение слоя испарения с ростом уровня моря для некоторого интервала отметок уровня. При такой зависимости объем испаряемой воды уменьшается, несмотря на увеличение площади испаряющей поверхности.
Анализ многолетних изменений испарения с поверхности Каспийского моря [1, 11] показывает, что испарение с поверхности Каспийского моря имеет стохастическую природу вследствие непредсказуемых изменений природных условий над акваторией Каспия (ветер, поступление солнечной радиации, потери воды при нагонах и т. д.). Поэтому функция, описывающая зависимость слоя испарения от глубины водоема, должна иметь стохастическую составляющую. В рамках данного исследования эта составляющая принимается равной нулю, что обусловлено целью оценки влияния на колебания уровня моря именно детерминированной нелинейной зависимости испарения от глубины моря. Отчасти такой подход может быть также оправдан существенно меньшей многолетней изменчивостью испарения по сравнению с вариациями речного стока в водоем.
В Каспийском море выделяются мелководный Северный Каспий, Средний Каспий и Южный Каспий, имеющие соответственно максимальные глубины 25, 788 и 1025 м при отметке уровня -28,0 м БС. Очевидно, что зависимость испарения от глубины моря может существовать только для мелководий Каспия.
Северный Каспий выделяется естественным способом из-за морфомет-рических особенностей и наибольшего испарения по отношению к другим частям моря. Изменения площади зеркала всего Каспия практически полностью определяются Северным Каспием. В соответствии с данными [4], при изменении уровня моря от -31,0 до -28,0 м БС площадь Северного Каспия возрастает на 42 тыс. км2, а суммарная площадь Среднего и Южного Каспия на 5,9 тыс. км2. В данной работе для Северного Каспия принимается линейное приближение зависимости площади его зеркала от глубины,
FN{z) = aN+bNz, (1)
где aN = 50 тыс. км2, bN= 14 тыс. км2/м; площадь зеркала глубоководной части Среднего и Южного Каспия принимается постоянной и равной Fd = 280 тыс. км2 при отметке уровня -31,0 л, принимаемой за нулевую. Зависимость площади зеркала всего Каспия от уровня моря при данном приближении имеет такой же вид.
Среднемноголетний слой испарения для Северного Каспия равен 0,90 м/год, для Среднего и Южного Каспия — 0,74 и 0,66 м/год соответственно [1], среднее испарение для глубоководной части Каспия — 0,70 м/год.
Рассмотрим как меняется плотность распределения уровня гипотетического водоема, близкого по основным гидрологическим, морфомегриче-
ским и гидравлическим характеристикам к Каспийскому морю, при изменениях е(г), У(г) и математического ожидания речного стока в море. Уравнение водного баланса, описывающее колебания уровня всего Каспийского моря с выделением мелководного Северного Каспия и остальной глубоководной части и с учетом оттока морской воды в залив Кара-Богаз-Гол, запишем в виде нелинейного стохастического дифференциального уравнения
А F(z)
где V (г) — речной сток в водоем, рассматриваемый как стохастический процесс; у"(0 — отток воды из водоема; ел(г) — зависимость слоя испарения с поверхности Северного Каспия от его глубины г, отсчитываемой от отметки -31,0 м БС, Р{г) = а + Ьг — зависимость площади зеркала всего Каспия (тыс. км2) от глубины ж; а = 330 тыс. км1, Ь = 14 тыс. км2/м; Р^г) определяется по формуле (1); е^ — слой эффективного испарения с площади поверхности глубоководной части моря (Средний + Южный Каспий); / — время (год).
Уравнение водного баланса Каспийского моря в виде (2), т. е. с выделением мелководной и глубоководной частей моря, предлагается, возможно, впервые.
Каспийское море как бессточный водоем
Рассмотрим случай бессточного Каспийского моря, т. е. при отсеченном заливе Кара-Богаз-Гол (у"(г) = 0). Этот случай также описан в работе [19], что позволяет сравнить результаты, полученные ее авторами и представленные в данной статье.
Проблема определения зависимости слоя испарения от глубины моря является "центральной ..., так как остальные величины, входящие в уравнение водного баланса (Каспия
— авт.), более или менее известны" [19]. Из-за отсутствия необходимых натурных данных о испарении с поверхности Северного Каспия приходится использовать косвенные оценки и принимать более или менее обоснованные предположения относительно зависимости слоя испарения от глубины.
Будем предполагать, что зависимость слоя испарения от глубины Северного Каспия определяется формулой
еы(г) = -к,агс^[к2{г-с)] + е., (3)
где кь к2, с п е,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.